3.2.2 奇偶性（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第三章函数的概念与性质 随堂检测学以致用 答案见P 1.函数f(x)(一2≤x≤2)的图象如图所示，则函 (2)若y=-f(x)在区间[一5,5]上是单调函数， 数的最大值和最小值分别为 求实数a的取值范围. A.f(2),f(-2) Bf2-1) cf2)-) D.f().fo) 2函数在区间[2,3]上的最小值为 ( A.2 B号 c D.-2 3.已知函数y-a.x十1在区间[1,3]上的最大值 为4，则a= 4.已知函数f(x)=x2+2ax十2，x∈[-5,5]. (1)当a=一1时，求函数f(x)的最大值和最 小值： 提示完成P课时作业（十五） 3.2.2 奇偶性 第一课时 函数奇偶性的概念 [学习目标]1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，培养数学抽象的核心素养.2.掌握函数奇偶性的 判断和证明方法，提升逻辑推理和数学运算的核心素养（重点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一偶函数、奇函数的定义 那么函数f(x)就叫做 1.一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果Hx∈ 要点二判断函数奇偶性的变形技巧 D,都有 ,且 ,那么函数 当f(x)的函数值恒不为零时，若对于定义域 f(x)就叫做 内的任意一个，都有-1或(-) 2.一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果Hx∈ D,都有 f(x)=0,那么这个函数就是偶函数：若对于定 ,且 ·57· 数学必修第一册课堂学案 义城内的任意一个x,都有号=-1或 (2)对于函数y=f(.x),若存在x,使f(一x) 一f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数. f(一x)十f(x)=0,那么这个函数就是奇 ( 函数. (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函 辨析 数不是奇函数，就是偶函数 () 判断正误，正确的画“/”，错误的画“X”, (4)不存在既是奇函数又是偶函数的函数 ( (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称.( 关键能力素养提升 答案见P 探究一简单函数的奇偶性判断 【变式1】判断下列函数的奇偶性。 1)fx)=-x x-i 解题技巧 (2)f(x)=x2-x3: 函数奇偶性的判断方法 (3)f(x)=|xl. (1)定义法： 之义战是否关是 f凡-x)=一f)-x 于原点对森 是否成立 移夺非锅瑞发 守西数或何面紧 (2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则 函数为奇函数；若函数的图象关于y轴对称， 则函数为偶函效此法多用在选择、填空题中 【例题1】判断下列函数的奇偶性， (1)f(x)=x3+3.x,x∈[-4,4)： (2f)=1, 探究二 分段函数的奇偶性判断 (3)f(x)=|x-2-|x+2: 解题技巧 (4)f(x)=x-1·√x+1. 判断分段函数奇偶性的方法 (1)一般用定义法分段处理.分段函数的奇偶 性应分段说明f(一x)与f(x)的关系，只有 当对称区间上的对应关系满足同样的关系 时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数 既不是奇函数也不是偶函数.要特别注意，若 x∈[a,b],一x∈[-b,一a],在求f(-x)时， 需代入区间[一b,一a]上的解析式. (2)分段函数的奇偶性也可通过图象的对称 性加以判断。 58 第三章函数的概念与性质 x2+x十1，x0, 【例题3】已知函数f(x)不恒为0，当x,y∈R时， 【例题2】已知函数f(x)= 判 -x2+x-1,x>0. 恒有f(x十y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是 断f(x)的奇偶性. 奇函数. x-2,x<0, 【变式2】判断函数f(x)= 0,x=0, 的奇 x-2,x>0 偶性 【变式3】已知函数f(x),x∈R,若对任意实数 x1,x2都有f(十m)十f(-)=2f()· f(x),求证：f(x)是偶函数. 探究三 抽象函数的奇偶性判断 高考拓展 (1)抽象函数奇偶性的判断通常用定义法，主 要是充分运用所给条件，寻找f(x)与f(一x) 之间的关系，此类题目常用到∫(0)，可通过 给式子中的变量航值，构造出0，把f(0)求 出来。 (2)在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商 (分母不为零)仍为偶函数，奇函数的和、差仍 为奇函数，两个奇函数的积（商）为偶函数，一 个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 ·59· 数学必修第一册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P L.下列函数是偶函数的是 A.f(x)g(x)是奇函数 A.y=2x2-3 B.y=x B.f(x)g(x)是偶函数 C.y=x2,x∈[0,1] D.y=x C.f(x)g(x)是奇函数 2.如果定义在区间[1一a,4]上的函数f(x)为偶 D.|f(x)g(x)是奇函数 函数，则a= ( 4设函数f(x)= 1一三，则下列函数中为奇函数 A.1 B.2 的是 () C.4 D.5 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 3.(多选)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且 C.f(x+1)-1 D.f(.x+1)+1 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中 正确的是 ( 提示完成Pm课时作业（十六） 第二课时 函数奇偶性的应用 [学习目标]1，会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题，发展直观想象的核心素养，2.掌握用奇偶性求解 析式的方法，强化逻辑推理和数学运算的核心素养（重点），3，理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小， 求最值和解不等式，强化逻辑推理和数学运算的核心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见Pm 要点一奇函数，偶函数的图象 ,且有 1.奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象 2.若偶函数f(x)在[a,b们上单调递增（减），且有 关于 对称：反之图象关于 的 最大值M,最小值N,则f(x)在[一b,一a]上 函数一定是奇函数，图象关于y轴对称的函数 ,且有 一定是 辨析 2.由于奇、偶函数的图象具有某种对称性，因此 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 研究奇、偶函数时，为方便起见，往往只需研究 (1)奇函数的图象一定过原点. ( 它在y轴右侧部分的性质，就能根据对称性得 (2)偶函数的图象与x轴交点的个数一定是 到该函数在y轴左侧部分的性质，从而得到整 偶数 () 个定义域内的函数性质 (3)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 要点二函数奇偶性与单调性（最值）之间的 致，偶函数在关于原点对称的区间上的单调 关系 性相反， () 1.若奇函数f(x)在[a,b们上单调递增（减），且有 (4)奇函数在定义域内一定有最大值和最小值. 最大值M,最小值N,则f(x)在[一b,一a]上 () ·60· 第三章函数的概念与性质 关键能力素养提升 答案见Pn 探究一利用函数的奇偶性求解函数图象问题 探究二利用函数的奇偶性求函数解析式 规律总结 规律总结 (1)依据：奇、偶函数图象的对称性，奇函数曰 (1)已知函数奇偶性及其区间上的解析式，求 图象关于原点对称，偶函数曰图象关于y轴 该函数在整个定义域上的解析式的步骤： 对称。 ①求谁设谁，求哪个区间的解析式，x就设在 (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以 哪个区间内：②要利用已知区间的解析式进 解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的 行代入：③利用f(x)的奇偶性写出一f(x)或 问题. f(一x),从而解出f(x). (2)奇函数f(x)的定义域内含0，则必有 【例题1】设奇函数f(.x)的定义域为[一5,5]，当 f(0)=0,但f(x)若为偶函数，则未必有 x∈[0,5]时，函数y= f(x)的图象如图所古方 f(0)=0. 2八5 (3)当已知两函数之间的关系式，求解这两个 示.作出函数在[一5， 函数的解析式时可使用方程组法求解，就是 0]上的图象，并求使函数值y<0的x的取值 根据已知条件，建立有关变量与常量之间的 集合 关系，通过解方程（组）得到函数的解析式 【例题2】(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当 x>0时，f(x)=x(1一x),求函数f(x)的解 析式 (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)十 gx)=一求函数f(x,g(x)的解析式 4444小44444444444444中444 【变式1】设偶函数f(x)的定义域为[-6,6]，若 当x∈[0,6们时，f(x)的图象如图所示，则不 等式f（x)<0的解集是 ·61· 数学必修第一册课堂学案 【变式2】(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数， 【例题3】(1)(2021·全国甲)设f(.x)是定义域为 且x>0时，f(x)=xx-2|,求f(x)的解 R的奇函数，且f(1十x)=f(一x).若 析式 f-3）)=3则f） () (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)十g(x)=x2十2x,求函数f(x),g(x)的 A-哥 B号 解析式 c号 (2)若fx)=+D+@为奇函数，求a 的值。 探究三利用函数的奇偶性求函数值或参数 规律总结 利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法 【变式3】(1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上 (1)把一些函数转化为奇（偶）函数，再利用奇 的偶函数和奇函数，且f(x)十g(x)=x3十 偶性的定义f(一x)=f(x)或f(一x)= x2+1,则f(-1)-g(一1)= 一f(x)可求函效值 (2)已知函数f(x)是奇函数，当x∈（一o∞，0） (2)比较f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x) 时，f(x)=x十mx,若f(2)=一3，则m的值 的系数可求参数值 为 ·62· 第三章函数的概念与性质 探究四函数奇偶性与单调性的综合应用 D.f(2<f(-)<f-D (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在 解题技巧 区间（一∞，0）上单调递增.若f(一3)=0，则 函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函 fx<0的解集为 数在关于原点对称的两个区间上具有相同的 单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间 上具有相反的单调性 (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知 的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2) 或f(x1)<f(x)的形式，再根据函数的奇偶 【变式4】(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇 性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定 函数，当x∈[0,1]时，f(x)单调递减，且满足 义战对参数的影响。 f(1+x)=f(1-x),则 () 【例题4】(1)若偶函数f(x)在(-∞，一1]上单调 A.f(1)<f(2)<f(3) 递增，则 B.f(2)<f(3)<f(1) C.f(3)<f(2)<f(1) Af(-2)<f-1)<f2) D.f(1)<f(3)<f(2) Bf-1)<f-)f2) (2)已知y=f(x)在定义域（一1,1）上单调递 减且为奇函数，若f(1一a)十f(1-2a)<0, Cf2)<f-1)<f(-) 则实数a的取值范围是 随堂检测学以致用 答案见P 1.函数f()=】-x的图象关于 3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥ 0时，f(x)=x2一2x,则f(x)在R上的解析式 A.y轴对称 为 B.直线y=一x对称 C.坐标原点对称 4.已知f(x),g(x)均为奇函数，且F(x)= D.直线y=x对称 af(x)十bg(x)+2在(0，十∞)上的最大值为 2.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x) 5,则F(x)在（一∞，0）上的最小值为 2x2-1,则f(-8)的值是 提示完成P,课时作业（十七）和P,培优训练（四） 3.3 幂函数 [学习目标]1，通过具体实例，结合y=x,y= 云y=xy=,y=x的图象，理解他们的变化规律，了解幂函 数，培养数学拍象的核心素养（重点）.2.理解和掌握暴函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处 理幂函数的有关问题，培养逻辑推理和直观想象的核心素养。 ·63·所以2<2，所以(G十) 2>0 4.解析(1)当a=一1时，f(x)=x-2x十2=(x-1)+1.因为 T2 x∈[一5,5]，故当x=1时，f(x)取得最小值，最小值为1：当 所以（一）（十）- 27 <0,所以fx)<f(x), x=一5时，f(.x)取得最大值，最大值为37： 工1Tg (2)函数f(x)=(x十a)P十2-a的图象的对称轴为直线 所以函数y=f(.x)在(1，十∞)上是严格增函数. x=一a.因为f八x)在[一5,5]上是单调函数，故一a≤-5或 (2)设t=x2+1,因为x∈[0,2]，所以t∈[1,5]， -a≥5.即实数a的取值范围是(-o,一5]U[5,十∞). 由1)得f)=f+子，1∈[1.5]单调递增。 3.2.2奇偶性 所以1)<6，即3<0<号 第一课时函数奇偶性的概念 必备知识·基础落实 所以g)=+1)的值城为[3，号] 要点一 [例题3]解扬f(x)=3.x2-12x十5=3(x-2)2-7,作出函数 L.一xEDf(一x)=f(x)偶函数 y=f(x)的图象，如图所示 2.一x∈Df(一x)=一「(x)奇函数 [辨析]提示(1)√(2)×(3)×(4)× 关键能力·索养提升 [例题1]解析(1)因为定义域不关于坐标原点对称，即一4∈ [一4,4)，而4任[一4,4)，所以f(x)=x十3x,x∈[一4,4) 既不是寺函数也不是偶函数 (2)定义城关于原点对称，且f(-x)=一)-1 一x =-x,所以)=亡是奇函数 (1)当x∈R时，f(x)=3(x-2)-7≥-7，当x=2时，等号 成立.故当x∈R时，函数(x)的最小值为一7，无最大值. (3)定义城为R,关于原点对称，且f(一x)=|一x一2|一 (2)由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x=0处取得最大值 |-x+2|=|x+2|-1x-2|=-(|x-2-1x+2|)= 最大值为5：在x=2处取得最小值，最小值为一7. 一f八x),所以f(x)=|x一2-x十2是奇函数. (3)由图可知，函数f(x)在[一1,1门上单调递减，在x=一1 (4)定义域为[1，十∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是 处取得最大值，最大值为20：在x一1处取得最小值，最小值 奇函数也不是偶函数. 为一4. [变式订服翻1)周为画教)=芹的定义找为{任x [变式3]解扬①当>1时，f(x)在[，1+1门上单调递增， R,且x≠1)，定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇 所以g(t)=f(t)=-2十3： 函数也不是偶函数 ②当t十1<1，即10时，f(x)在「t,1十1]上单调递减， (2)f(x)的定义城为R,关于原点对称.因为f(一x) 所以g()=f(t+1)=+2: (一x)一（一x)=x十x2,又一f(x)=一x十x,所以 ③当t≤1t+1,即0≤≤1时，g(t)=/(1)=2. f（-x)≠f(x),且f(-x)≠一fx).故f(x)=x2-x既不 t+2,t0, 是奇函数也不是偶函数. 综上可得，g(t)=2,0≤≤1， (3)函数f(x)=|x的定义域为R,关于原点对称.国为 2-21+3,t>1. f(一x)=」一x=x=f(x),所以f(x)=x是偏函效. [例题幻留团由函：h=一+2+，∈[0，号]的因象可 [例题2]解析函数f(x)的定义城为（一c∞，0）U(0,十o),关于 原点对称 知，函数图象的顶，点就是水流喷出的最高点，此时函数取得 ①当x<0时，-x>0,f(-x)=-(-x)2+(-x)-1= 最大位，对于画数A=-+2十号x∈[0，号]，当x=1 -x2-x-1=-(.x2+x+1)=-fx): ②当x>0时，-x<0,f(-x)=(-x)+(-x)十1= 时，函数有最大值h)=一P+2X1+号=号(m.于是 -(-x2+x-1)=-fx). 水流喷出的最大高度是是m 综上可知，f(一x)=一f(x),所以f(x)是奇函数. [变式2]解析函数f(x)的定义城为R,关于原点对称。 [变式幻解析设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y=(x ①当x>0时，一x<0,f（一x)=一x一2=f(x): ②当x<0时，一x>0,/八一x)=-(一x)-2=x-2=f(x): 3)·(400+号×40）=80(x-3)(9-0=-80 ③当x=0时，f(一x)=0=f(x). 6)2+720(x≥3)，所以x=6时，y取最大值. 综上，f(一x)=fx),所以∫(x)是偶函数 答累6 [例题3)证明函数定义城为R,其定义城关于原点对称. 随堂检测·学以致用 因为f(x+y)=f(x)十f(y), 令x=y=0,则f(0)=f0)十f(0),得f(0)=0, 1.C解析根据函数最值的定义，结合函数图象知，当x= 3 再令y=-x,则f(0)-f(x)十f(-x)=0, 所以f(一x)=一f(x),所以fx)是奇函数. 时，有最小值f(-号)：当〔=2时，有最大值f(号).故选 [变式3]证明函数定义城为R,关于原点对称， C项。 令1=0，=x,得f(x)十f(一x)=2f(0)f(x). 令n=0,=x,得f(x)+f(x)=2f(x)f(0). 2.B解扬函数y厂一在区间[2,3]上单调递诚，故当x=3 ① 由①②得f(一x)=f(x),所以f(x)是偶函数 时，y有最小值ym=之故选B项。 随堂检测·学以致用 L,A解析A项中f（-x)=2(-x)2-3=22一3=f(x）,所以 3.解析若a<0,则函数y=ax十1在区间[1,3]上单调递诚，在 f(x)是偶函数：B,D项中f(一x)=一(x),所以函数都为奇 区间左端点处取得最大值，即a十1=4，解得a=3,不满足a< 函数：C项中函数的定义域不关于原，点对称，既不是奇西数， 0:若a>0,则函数y=a.x+1在区间[1,3]上单调递增，在区 也不是偶函数.故选A项， 间右端，点处取得最大值，即3a十1=4，解得a=1,满足a>0. 2.D解析因为f八x)是偶函数，所以定义域关于原点对称，所 综上，a-1. 以1一a=一4，所以a=5.故选D项. 俗率1 3.ABC解析因为函数f(x)是奇函数，所以f(一x)= ·300· 一f(x):因为函数g(x)是偶函数，所以g(一x)=g(x).因为 则f（-x)=-x|-x-2=-xx十2|， f（-x)·g(-x)=-f(x)g(x),所以函数f(x)g(x)是奇函 又f(x)为奇函数，所以f(x)=-f(一x)=xx十2|， 数，故A项正确：因为|f(一x)|g(一x)=|一f(x)川g(x)= 而f(x)的定义域为R,所以f(0)=0, |f(x)g(x),所以函数f(x)g(x)是偶函数，故B项正确： 图为f(-x)g(一x)=一f(x)g(x),所以函数f(x)· 维上o g(x)川是奇函数，故C项正确：因为|f(一x)g(-x)| (2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函效，所以f(一x) |f(x)g(x),所以函数f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误. f(x),g(-x)=一g(x),用-x代替x,由f（x)+g(x)= 故选APC项. 2.x+x2①，得f(一x)+g(-x)=-2x+(一x),所以 4B服霸由随志可得)=-1+子对于A项， f(x)-g(.x)=-2x+x2②，（①+②）÷2，得f(x)=x2: (①-②)÷2，得g(x)=2x,所以函数f(x),g(x)的解析式 fx-1)-1=2-2,令g(x)=2-2,则g(-x)=- 2 分别为f（x)=x2,g(x)=2x. 2≠-g(x),不是奇画数：对于B项，f(x一1)十1= 2 [例题3)解扬1)由题意可得（号）=(1+号）=(-号) h)=是，期h(一)=一是=-h(x,是奇高载：对于C项， 号)两（号）=-）=（号）=-(-3) 十)-1=异2一2定又城不关于原点时称，不是奇画 号故（号）=子故选C项 俗累C 载：对于D项+1十1=子2定又战不关于原点对#。 (2)因为f(x)是奇函数，所以f（一x)=一f(x), 不是奇函敛.故选B项。 即-+l)(-+@=_r+l)(x+@,里然≠0， 第二课时 函数奇偶性的应用 整理得x2-(a+1).x十a=x+(a+1)x十a.故a+1=0,解 必备知识·基础落实 得a=一1 要点一 [变式3]解析(1)在f(x)十g(x)=x+x2+1中，令x=1,得 1.原点y轴原点对称偶函数 f(1)十g(1)=3,因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以 要点二 f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1)=3. 1.单调递增（减）最小值一M,最大值一V (2)因为f(x)是奇函数，且f(2)=一3，所以f(一2)= 2.单调递减（增）最大值M,最小值N 一f(2)=3.又当x∈(-o∞，0)时，f(x)=x2+r,所以 [辨析提示(1)×(2)×(3)/(4)× f-2)=(-2)-2m=3,解得m=,所以m的值为号 关键能力·素养提升 [例题1门解析由于函数是奇函数，所以y=f(x)在[一5,5]上 器图1)32)号 的图象关于坐标原，点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，知 它在[一5,0们上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0 [例题4]解析(1)因为f(x)是偶函数，所以f(2)=f(-2),又 的x的取值集合为(-2,0)U(2,5). f八x)在(-∞，一1门上单调递增，一2<-号 <-1，所以 f-2)<f(-号)<f(-1),即f(2)<f(-2)< f(一1).故选D项. (2)因为f(.x)是定义在R上的偶函数，且在区间（一∞，0） [变式1门解析利用偶函数的图象关于y轴对称，画出函数的草 上单调递增，所以f(x)在区间(0，十∞)上单调递减.又 图如图所示，根据图象观察可知不等式f(x)<0的解集为 f(一3)=0，所以f(3)=f(一3)=0.当x>0时，由f(x)< (-6.-3)U(3.6) 0,解得x>3:当x<0时，由f(x)>0,解得-3<x<0.故所 求解集为{x-3<x<0或x>3% 倍3(1)D(2)(x-3<x<0或x>3} [变式4们解析(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以 f(0)=0,因为当x∈[0,1]时，f(x)单调递减，所以f(x)在 x∈[一1,1]上单调递减，因为f(1十x)=f(1一x),所以函 答案（一6.一3）U(3,6) 数(x)的图象关于x=1对称，所以f(x)在x∈[1,3]上单 [例题2]解析(1)①当x=0时，由f(一x)=一∫(x)得 调递增，所以f(1)<(2)<f(3).故选A项. f(0)=0: (2)由f(1-a)+f1-2a)<0,得f1-a)<-f(1-2a). ②当x<0时，一x>0,所以f(一x)=(一x)[1一（一x)] 因为f(x)在定义城（一1,1）上单调递减且为奇函数， 又因为f(-x)=一f(x),所以-f(x)=(-x)(1十x), 所以f(1-a)<f(2a-1). 所以f(x)=x(1十x). 所以函数fx)的解析式为fx)={I-x小，>0， 1-a>2a-1, -2 a<3' 1x(1十x),x0. 所以二a:解得02，所以0<a<号 (2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇西数，所以f(一x) -12a-1<1, 0a<1, f(x),g(一x)=一g(x),用-x代替x,由f(.x)十g(.x)= ①，得-+g-=所以)- 故实数口的取值范围是(0，号) x-1 @,①+@)÷2.得u)-(@-@)÷2, 圈1A(2(0,号) 随堂检测·学以致用 得g()=一 LC解析函数f(x)= -x的定义战为(-，0)U(0, 所以画数f(x),g(x)的解析式分别为f(x)=2白 十∞)，关于原点对称：又八-)=-子十x=一，所以 8() x)为奇函数，所以fx)=上-t的图象关于原点对称.故 [变式2]解析(1)x<0时，一x>0, 选C项， ·301· 2.解析由已知得f(-8)=-f(8)=-(2X8-1)=-127. 经计算知2>2叶>2+>21，所以相应于曲线C,C2,C, 答秦-127 1 3.解析设x<0,则一x>0,所以f(一x)=(一x)2一2· C的a的值依次为4，子，一子，一4故选B项 (-x)=x2+2x. [变式3]解析设∫(x)=x,g(x)=x,则 又因为y=f(x)是R上的奇函效，所以f(一x)=一f(x). 2)°=2，(-2)=-号，所以。=29 1 所以f(x)=-f(-x)=一x-2x, 故f(x)= x-2x,x≥0， 一1.所以f(x)=x,g(x)=x -x-2x,<0. 分别作出它们的图象，如图所示，由图象 x2-2.x,x>0, 答器fx)=-r-2xr<0 可知，①当x∈（一∞，0）U(1,十∞)时， fx)>g(x):②当x=1时，f(x) 4.解析由F(.x)=af(x)十bg(x)十2在(0，十oo)上的最大值为 g(x):③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x). 5,得F(x)-2=af(,x)+bg(x)在(0，十o∞)上的最大值为3. [例题4]解析(1)①因为暴函数y=x3在（一∞，0）上单调递 又f(x),g(x)均为奇函数，根据奇函数的性质可知F(x) 2=af(x)十bg(x)在(-oo,0)上的最小值为-3，故F(x) 减，且-2>-2.5，所以(-2)3<(-2.5)1 af八x)+bg(x)+2在(-∞，0)上的最小值为-3十2=-1. ②因为暴函数y=x在(0，十∞)上单调递增，一8十 答案一1 (日)，君>号，所以(g)广>（号）广，从两 3.3幂函数 必备知识·基础落实 (日)》<-（日）》产，即-8<-（日） 要点一 ③因为4.1>1=1,0<3.8<15=1，(-1.9)<0. y=xx a 所以4.1十>3.85>(-1.9)t 要点二 L.单调递增单调递减单调递减 单调递减 (2)因为暴函数y=x在定义城[0，十o∞)上单调递增，所以 2.(1)(1,1)(2)原点下凸上凸(3)a<0(4)y=x r3-2m≥0.， (5)小大 有m十1≥0. 解得-1<m<号，即m的取值花国 [辨析]提示(1)√(2)×(3)×(4)× 3-2m>m+1. 关键能力·素养提升 为[-1号) [例题门解析(1)由暴函数的定义及三个限制条件可知，y 3x中x的系数为3，不是暴函数：函数y=x十1的项数不 [变式4们解析(1)①因为函数y=x十在(0，十∞)上单调递减， 为1，不是幂函数：y=一1中x的系数是-1，不是冢函 又3<3.1，所以3>3.17 ②因为3+>1+=1,0<20+<1t=1,(-10)1<0.所以 数：y=x十是暴函数：y=上是暴函数.固此是幕函数的为 x (-10)+<20寸<3+ ④G⑤. (2)因为y=x+=(在定义域[0，十o∞)上单调递增，所以 (2)因为函数y=(t一m一1)x1为暴函数，所以m一m一 1=1,解得m=2或m=-1. 2m+1>≥0. m≥-立 答案(1)④⑤(2)2或-1 2+m-1≥0， 解得 [变式门解扬(1)设f(x)=,由国象过点(2，)，得} 2n十1>m十m-1, 2 -1<m<2, 2°，则a=一2，即函数的解析式为y=x】 (2)依题意，因为函数f(x)=a.x1十b十1是暴函数，所以 申生≤m<2故宾载m的取值花国是[生5.2）. 2 80.即么1.所以a+b-0 1b+1=0. 答累(1)①> ②<< 答累(1)y=x(2)0 2 [例题2幻愿团1)函数解析式化为)疗·所以所求的定义戏 随堂检测·学以致用 1.B 为(-o∞，0)U(0,十∞)，值域为(0，十∞). 服团===是系函数，故选B项 (2)因为y=x1=L ，所以所求的定义域为(0，十0，值 2.D照团设fx)=,由公=十，得。=一2，所以f()= 拔为(0，十∞). x,单调递增区间是（一∞，0）.故选D项. [变式]解粉(1)函数解析式化为y=云，所以所求函数的定 3.ABD解析A项中，图象是两条射线(x≠0)，故A项不正确： 义域为R.值域为[0，十∞). B项中，当a<0时，图象不过点(0,0)，故B项不正确：C项正 确：D项中，y=x是奇函数，但不是增函数，故D项不正确. (2)函数解析式化为y= 二，所以所求函数的定义域为 故选ABD项. {xx≠0}，值战为{yy≠0. 4,A解扬由暴函数的性质知，当a>0时，y=x在[0，十∞) ③》数解新式化为)一法·所以所求画纸的定又战为0。 上单调递增，所以y=x在[0,1门上单调递增.设f(x)=x÷, x∈[-1.1]，则f(-x)=(-x)t=一xt=-f(x),所以 十00)，值城为(0，十0∞. [例题3]B解析如图所示，作直线x=2, (x)=,x是奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称，所以 分别与4条幕函数曲线C,C2,C3,C 当x∈[-1,0]时，y=x也单调递增.故y=x在[-1,1]上 相交于A,B,C,D四点.设C,C,C, 单调递增且是奇函数.故选A项。 C所对应的函数分别为y=2,y x,y=xy=x,则A,BC,D的纵 3.4函数的应用（一） 坐标分别为2,2,2,2且大小关 必备知识·基础落实 系为24>24>25>24. [辨析]提示(1)√(2)×(3)√(4)× ·302·