3.2.1 函数单调性与最大（小）值（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 第一课时函数的单调性 [学习目标]借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，并理解其作用和实际意义，培养数学抽象、直观 想象，逻辑推理和数学运算的校心素养（重点）， 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一 定义域为D的函数f(x)的单调性 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具 有（严格的）单调性，区间I叫做y=f(x)的 I二D,对任意+x∈I 当n<时，都有 当<时都有 条件 辨析 f(x1)<f(x) K()>fr:) 判断正误，正确的画“、√”，错误的画“X” 函数x)在区间 函数fx)在区间I 结论 I上 (1)如果f(x)在区间[a,b]和(b,c]上都单调递 增，则f(x)在区间[a,c]上单调递增.() Y fxi (2)函数f(x)的定义域为D,如果定义域内某 :A 图示 个区间I上存在两个自变量x1,x2,当x1<x 时，有f()<f(x),则f(x)在区间I上单调 特别地.当函数f(x)在它 特别地，当函数民x)在它 递增。 的定义域D上单调递增 分类 的定义城D上单调递诚 (3)若f(x)在区间I上单调递减，则在此区间 时，我们就称它是增函数 时，我们就称它是减函数 上函数值随自变量的增大而减小 () 要点二函数的单调区间 (4)若函数y一f(x)在区间I上单调递增，则 如果函数y=f(x)在区间I上 函数y=一f(x)在区间I上单调递诚.() 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一 证明或判断函数单调性 【例题1】已知函数fx)=a十1，满足f-2)=0. 规律总结 (1)求实数a的值： (2)试判断此函数f(x)在(0，十∞)上的单调 证明或判断函数单调性的步骤 性并利用定义给予证明. 设xx是区何内的任嘉两公位凡x<x, 作差)ft)战a)-*山并道过时式分 作 形 彩、配方，有理化方法向有利到新 差的答节的方向变形 列定差月t)一成)-ix的符号，当碎 号不确定时，进行分关讨论 论 没据定义浮班然论 ·50· 第三章函数的概念与性质 【变式】判断函数f)=在区间1，十) 【例题2】(1)写出函数y=一x2十2|x|+1的单 调区间. 上的单调性，并用单调性定义加以证明. (2)求函数f)=x+9(x>0)的单调区间. 。+。 -x-31, 【变式2】(1)作出函数f(x)= 的 (x-2)+3,x>1 图象，并指出函数f(x)的单调区间. (2)求函数)=卡的单调区间， 探究二 求函数的单调区间 规律总结 (1)函数单调区间的两种求法 ①图象法：先画出图象，根据图象求单调 区间： 44444444444444444444444444444444444 ②定义法：先求出定义域，再利用定义进行判 断求解 (2)函数的单调性是在定义域内的某个区间 上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数 出现两个以上的单调区间时，单调区间之间 可用“，”或“和”分开，不能用“U”:在单调区 间D上，函数要么单调递增，要么单调递减， 不能二者兼有 ·51· 数学必修第一册课堂学案 探究三函数单调性的应用 【变式3】(1)已知f(x)在实数集上单调递减，若 a十b≤0，则下列各式正确的是 () 解题技巧 A.f(a)+f(b)<-[f(a)+f(b)] 由函数单调性求参数的方法 B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) (1)由函数解析式求参数 C.f(a)+f(b)-[f(a)+f(b)] ①若为二次函数，则先判断函数图象的开口 D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-6) 方向和对称轴，再利用单调性确定参数满足 (2)(选)函数y=a.x2十bx+3在（一c∞，一1] 的条件： ②若为一次函数，则由一次项系数的正负确 上单调递增，在（一1，十∞）上单调递诚，则下 定单调性，从而确定参数满足的条件： 列说法正确的是 ③若为复合函数y=|f(x)|或y=f(x), A.b>0,且a>0 B.b<0,且a<0 则由数形结合法探求参数满足的条件， C.b=2a D.b=a (2)当函数「(x)的解析式未知时，欲求解不 探究四 抽象函数的单调性 等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将 符号“∫”脱掉，列出关于未知量的不等式 (组)，然后求解，此时注意函数的定义域 高考拓展 【例题3】(1)(2022·1月浙江)已知函数f(x)= 解决抽象函数单调性问题的思路 x2-2a.x十b在区间（一o∞，1]上单调递减，则 抽象函数一般由方程（不等式）确定，这类函 实数a的取值范围是 数的单调性问题一般用单调性的定义来处 A.[1,十o∞) B.(-∞，1] 理，但要注意运用好所给条件，判断出函数值 C.[-1,+o∞) D.(-∞，-1] 之间的关系。常见思路是先在所证区间上设 (2)已知函数f(x)是定义在[一1,1]上的增函 出任意x1,2(x<x2),然后利用题设条件向 数，且f(x一2)<f(1一x),求x的取值范围. 已知区间上转化，最后运用函数单调性的定 义解决问题 注意：若给出的是和型(f(x十y)=…)抽象 函数，判定符号的变形为f(x2)一f(x1) f(x一x)十x)-f(x),f(x)-f(x1)= f(x）-f((x-2)十x): 若给出的是积型(f(xy)=…)抽象函数，判 定符号时的变形为f()一f(）= f·会-f,f)-fn)=f) f·） 52· 第三章函数的概念与性质 【例题4】已知函数f(x)对任意的x∈R,总有 【变式4】函数f(x)对任意的a,b∈R,都有 f(x)十f(y)=f(x+y),且当x>0时， f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时. )0=-景 f(.x)>1. (1)求证：f(x)是增函数： (1)求证：f(x)是减函数： (2)若f(4)=5,解不等式f(3m-2)<3. (2)求f(x)在[-3,3]上的值域. 444444444444444444444444 随堂检测学以致用 答案见P 1.函数y=f(x)的图象如图所示，其单调递增区 (2b1).x+b-1,x>0, 4.若函数f(x) 为R 间是 -x2+(2-b)x,x≤0 A.[-4,4] 上的增函数，求实数b的取值范围. B.[一4，-3]和[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 2.(多选)若函数f(x)=(2a一1).x十b是R上的 减函数，则a的值可以是 A司 B.0 C.-1 D.-2 3.函数y=x2一2.x的单调递减区间是 ,单 调递增区间是 是示完成P课时作业（十四） ·53· 数学必修第一册课堂学案 第二课时函数的最大值、最小值 [学习目标]1，借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义，强化数 学抽象的核心素养.2.会借助单调性求最值，强化逻辑推理和数学运算的核心素养（难点）.3.掌握求二次函数 在闭区间上的最值的方法，强化逻辑推理和数学运算的核心素养（重点）， 必备知识基础落实 答案见P0 要点函数的最值 辨析 L.最大值 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果 (1)函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无 存在实数M满足： 限多个 () (1) ,都有 (2)任何函数f(x)都有最大值和最小值. (2) ,使得 ( 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. (3)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则 2.最小值 f(x)在区间[a,b们上的最小值是f(a),最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果 是f(b). () 存在实数m满足： (4)函数图象最高点的纵坐标为该函数的最大 (1) ,都有 值，函数图象最低点的纵坐标为该函数的最 (2) ,使得 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 小值 关键能力素养提升 答案见Pm 探究一 利用图象法求函数的最值 f(x)的最大值和最小值分别是 规律总结 图象法求最值的一般步骤 作出函数的图京 在网象上找到函数的单调区间 碗定函教的最大（小）位 x,-1x≤1， 【变式1】用min{a,b}表示a,b两个数中的较小 【例题1】已知函数f(x) 1 则 值，设f(x)=min{x十2,10-x}(x≥0)，则 x>1. f(x)的最大值为 ·54· 第三章函数的概念与性质 探究二利用单调性求函数的最值 探究三求二次函数的最值 规律总结 解题技巧 函数的最值与单调性的关系 二次函数最值的求法 (1)如果函数y=f(x)在区间(a,b们上单调递 (1)探求二次函数在给定区间上的最值问题， 增，在区间[b,c)上单调递减，则函数y= 一般要先作出y=f(x)的草图，然后根据图 f(x),x∈(a,c)在x=b处有最大值f(b). 象判断函数的单调性.特别要注意二次函数 (2)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递 的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解 减，在区间[b,c)上单调递增，则函数y 二次函数在已知区间上最值问题的主要依 f(x),x∈(a,c)在x=b处有最小值f(b). 据，并且最大（小）值不一定在顶点处取得. (3)如果函数y-f(x)在区间[a,b们上单调递 (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的 增（减），则在区间[a,b]的左、右端点处分别 位置通常有三种关系：①对称轴在定义城的 取得最小（大）值和最大（小）值 右侧：②对称轴在定义域的左侧：③对称轴在 【例题】求函数y一告在x∈[2.3]上的最值 定义域区间内. 【例题3】已知函数f(x)=3.x2-12.x十5，当自变 量x在下列范围内取值时，求函数的最大值 和最小值. (1)R:(2)[0,3:(3)[-1,1]. 【变式2】已知函数f(x)=x2+2 (1)用定义证明函数f(x)在(1，十∞)上是严 格增函数； (2)设函数g(x)=f(x2+1),x∈[0,2]，求 g(x)的值域. 55 数学必修第一册课堂学案 【变式3】已知f(x)=x2-2.x十3，x∈[t,1+1], 【例题4】如图，某地要修建一个 求f(x)的最小值g(t). 圆形的喷水池，水流在各个 方向上以相同的抛物线路径 落下，以水池的中央为坐标 x/m 原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立 平面直角坐标系，那么水流喷出的高度 h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函 数关系式为h=-2+2z+号x[0,],求 水流喷出的高度h的最大值是多少？ 探究四 实际应用中的函数最值 规律总结 解实际应用题的步骤 (1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知 条件，确定自变量和因变量的条件关系 (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式 【变式4】绿园商店每月按出厂价每瓶3元购进 (3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究 种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定 问题的结论（一定要注意自变量的取值 为每瓶4元，每月可销售400瓶：若零售价每 范围). 降低（升高）0.5元，则可多（少）销售40瓶，在 (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案 每月的进货能当月销售完的前提下，为获得 最大利润，销售价应定为 元/瓶. ·56· 第三章函数的概念与性质 随堂检测学以致用 答案见P 1.函数f(x)(一2≤x≤2)的图象如图所示，则函 (2)若y=-f(x)在区间[一5,5]上是单调函数， 数的最大值和最小值分别为 求实数a的取值范围. A.f(2),f(-2) Bf2-1) cf2)-) D.f().fo) 2函数在区间[2,3]上的最小值为 ( A.2 B号 c D.-2 3.已知函数y-a.x十1在区间[1,3]上的最大值 为4，则a= 4.已知函数f(x)=x2+2ax十2，x∈[-5,5]. (1)当a=一1时，求函数f(x)的最大值和最 小值： 提示完成P课时作业（十五） 3.2.2 奇偶性 第一课时 函数奇偶性的概念 [学习目标]1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，培养数学抽象的核心素养.2.掌握函数奇偶性的 判断和证明方法，提升逻辑推理和数学运算的核心素养（重点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一偶函数、奇函数的定义 那么函数f(x)就叫做 1.一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果Hx∈ 要点二判断函数奇偶性的变形技巧 D,都有 ,且 ,那么函数 当f(x)的函数值恒不为零时，若对于定义域 f(x)就叫做 内的任意一个，都有-1或(-) 2.一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果Hx∈ D,都有 f(x)=0,那么这个函数就是偶函数：若对于定 ,且 ·57·同理可知，BC所对应的函数解析式为y=x一2,2<x≤6. 要点二 1-2.x+4,0≤x≤2， 综上，j(x)={x-2,2<r≤6. 单调递增或单调递减单调区间 [辨析]提示1)×(2)×(3)√(4)√ [例题2]解析(1)因为1∈[-1,1门，所以f(1)=3×1=3.又 关键能力·素养提升 3∈(1,5)，所以f(3)=32-4×3+6=3,即f(f1))=3. (2)若x≤-1，则x十2=3，解得r=1>-1(会去)：若-1< [例题1服扬1)一2)=兰2十1=0，解得a=2 x<2,则x2-3,解得x-士3，由于-√3<-1，故x-3.综 (2)函数f(x)在(0，十∞)上单调递减，理由如下： 上，x=. 任取2∈(0，十∞)，且<2， 俗3(1)3(2)W3 则)-j()=2+1-2-1=2n-2 I [变式21竖1)易知(-受）=(-是+1)=(-2） 因为∈(0，十o心)，且<2，所以>0，一m>0, 所以fn)f)=2二>0，即fn)>f), f(-号+1)=f(2)=2×号+1=2，所以f(-号)的值 故函数f(.x)在(0，十∞)上单调递减. 为2. (2)当0<a<2时，由f(a)=2a+1=4得a=2:当a≥2 [变式1门解扬函数f代x)=与在区间1，十○)上单调递减. 证明如下： 时，由f(a)=a-1=4,得a=5或a=一√5（舍去）. 任取1,2∈(1，+∞)，且x<, 综上所述a的值为号或5 1 则f(x)-f(x)= -1-1 [例题3]解扬由题意可知，①当0≤x≤5时，y=2.4x: - (x十T)(-x1) ②超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收100%， =(G-1)(-D=(G-1)(-1) 即当5<x≤6时，y=2.4×5+(x-5)×4.8=4.8x-12: 因为x<,所以上一>0， ③超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收200%， 又2∈(1，十∞)， 即当6<x≤7时，y=2.4×5+1×4.8+(x-6)×7.2= 所以十x>0,.-1>0.x-1>0. 7.2x-26.4. 2.4x,0≤x≤5， 所以气瓷0，甲心>s 所以y=4.8x一12,5<≤6， 所以函数f(x)在区间(1，十∞)上单调递减. 7.2x-26.4,6<x≤7. -x2+2.x+1,x≥0， [变式3]解扬因为260÷52=5(h),260÷65=4(h),所以当0≤ [例题2]解扬1)y-{-2-2x十1x<0, t≤5时，s=521:当5<1≤6.5时，s=260:当6.5<t≤10.5 (x-1)+2,x≥0， 即y 时，s=260+65(1-6.5)=651-162.5. -(x+1)2+2,x<0. 521,015. 所以s=260,5<16.5, 651-162.5.6.5<t≤10.5. 随堂检测·学以致用 1.AD解析对于B项，取x=2,得(2)=3或4：对于C项，取 x=1,得(1)=5或1，所以B,C项都不特合分段函数的定 函数的大致图象如图所示，单调递增区间为（一⊙∞，一1]， (0,1],单调递减区间为(-1,0]，(1，十o∞). 义：A,D项符合分段函数的定义.故选AD项. 2.C解析因为5.2>4，所以f(5.2)=1.06×(0.5×5+2)= (2)设，是(0，十∞)上的任意两个实数，且x<x, 4.77.故选C项. 则)-)-(+只)-(+是)--) 3.照团/-2)=(-2)=4.-2)=f0=4+号-1= 9(2)_（-)(-9） TTz 号当6<1时=4属=士2，所以么=-2：当6>1时。 因为0x1<4,所以1一x<0,12>0. 由于一9的待号不能确定，因此需要对，的取值进 五+6-1=4，即店-5西十6=0，所以=2或x=3.故 行讨论.当x,x∈(0,3]时，有xx一9<0， %=-2或2或3. 即f(x)一f(x2)>0,所以f(x)>f(), 所以f(x)在区间(0,3]上单调递减： 答累号 -2或2或3 当，x2∈(3，十o∞)时.有x12一9>0. 4爵团当-1长≤1时，)=≥，脚<<1： 即f(x1)一f(x)<0,所以f(E）f(), 所以f(x)在区间(3，十∞)上单调递增. 当>1或K-1时)=1-≥，即K-1 所以画数fx)=x十9(r>0)的单调递减区间是(0,3]，单 故x的取值范围是（一○，一 U[小 调递增区间是(3，十∞). [变式2]解析(1)f(x)= /-x-3,x≤1， 的图象如图所示 3.2函数的基本性质 1(x-2)°+3，x>1 3.2.1单调性与最大（小）值 第一课时函数的单调性 必备知识·基础落实 要点一 单调递增单调递减 ·298· 由图可知函数f(x)= 一x-3,11, 1(x-2)2+3,x>1 的单调递减区间 2.BCD解析由一次函数性质知2a一1<0，所以a<7.故选 为（一∞，1]和(1,2），单调递增区间为[2，十∞). BCD项. (2)由题意可知f(x)的定义战为（一0，一1）U(-1,+∞)， 3.解析由函数y=x一2x的图象知，抛物线开口向上且对称轴 Hn2∈(-1，+o),且<x,有f(）-f(x) 为x=1,所以函数的单调递减区间是（一©∞，1]，单调递增区 2(x-x1) 间是(1，十∞). (1十)(1十 倍案(-∞，1](1，十∞) 图为>>-1， 4解析要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)= 所以3->0,1十>0,1十>0， (2b-1).x十b-1在(0，十∞)上单调递增，函数h(x)= 所以f()一f(.2)>0,即f(.4)>f(n), 一x2+(2-b).x在(-o∞，0]上单调递增，且满足h(0)≤g(0), 所以f(x)在（一1，十o)上单调递减， 2b-1>0. 同理可得f(.x)在（一o∞，一1）上也单调递减.故f(x)的单调 根据一次函数和二次函数的单调性可得 2-b 递减区间为（一∞，一1），（一1，十∞）. 2X(-D≥0，解 [例题3]解析(1)f(x)=x一2a.x十b的开口方向向上，对称轴 0b-1, 为x=a,因为f(x)=2-2a.x+b在区间(-oo,1]上单调递 得1≤≤2.即实数b的取值范围是[1,2]. 减，所以a≥1.故选A项 第二课时函数的最大值，最小值 含率A 必备知识·基础落实 (2)因为函数f(x)是定义在[一1,1门上的增函数，且f(x 要点 -1≤x-2≤1. 1.Hx∈Df(x)≤M3x∈Df(.x)=M 2)<f(1-x).所以有 -11-1,解得1<<是所以 2.Hx∈Df(.x)≥m3.x∈Df(x)=m x-2<1-x, [辨析]提示(1)√(2)×(3)√(4)/ x的取值范周是[1，) 关键能力·素养提升 [例题1]解析作出f(x)的图象，如图所示， [变式3]解扬(1)因为a+b≤0，所以a≤-b,b≤-a.又f(x) 34 在实数集上单调递减，所以f(a)≥f(一b),f(b)≥f(一a), 故f(a)十fb)≥f(-a)+f(-b).故送D项. (2)由题意得，二次函数图象的开口向下，直线x=一1是函 a<0, 数图象的对称轴，剥有 6 =-1, 即b=2a<0.故选 由图象可知，当x=土1时，(x)取最大值为1. 2a 当x=0时，f(x)取最小值为0， BC项. 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 率(1)D(2)BC 答案1,0 [例题4]解折(1)证明：任取x,x∈R,且1<，则x一> [变式1门解粉在问一平面直角坐标系 +) 0,所以f(x2一x)<0 中画出函数y=x十2和y=10一x 所以f()-f(.x)=f八)一f八-+王) 的图象.解方程x十2=10-x得x= =10- =f(x)-[f(r:-x)+f(n)] 4,此时y=6,故两图象的交点为 =-f(x2-x1)>0, (4,6). 所以f(1)>f(x2),所以f(.x)是减函数. 根据min{r+2,10-x}(x≥0)的含 10 (2)因为f(x)为减函数， 又可知，)=+2.0≤4“所以画数的图象为图 所以f(x)在[一3,3]上单调递减， 110-x,x>4, 所以f(3)≤f(x)≤f(-3). 中实线部分 令x=y=0,则2f(0)=f(0),所以f(0)=0. 观察图象知，两图象的交，点(4,6)即为f(x)图象的最高点， 令y=-x,则f(x+y)=f(0)=f(x)+f(-x)=0. 故f(x)的最大值为6. 所以f(-x)=一f(x), 答索6 所以f-3)=3f(-1)=-3f(1)=-3×(-号)=2. [例题2留霸画数y一名牛中=1十马气 x-1x-1 f(3)=-f(-3)=-2.所以f(x)∈[-2,2]，即f(x)在 设2≤x1<≤3， [-3,3]上的值域为[-2,2]. 3(x2-1) [变式4门解扬(1)证明：设，∈R,且<，则一x>0, -)马高3” f（一)>1. 因为2≤<x≤3，所以x->0,x-1>0,x-1>0. 所以f(x)一f(a)=f几（一）十n]-f（x) 所以f(m)一f()>0,即f(x)>f(). =f(一)+f()-1-f(x) =f(x-x1)-1>0. 所以画数y一告胃在[2上单调超戏 所以f(x)>f(x),故f(x)是增函数 所以=3)-导-喜· (2)因为f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, 所以f(2)=3.所以原不等式可化为f(3m一2)<f2). f(r)m=f(2)= -4 因为x)是增画数，所以3m一2<2，解得m<子 [变式2]解析(1)Vxm∈(1，十o∞)，x<x 故不等式的解集为（一©，号） ))=店+是-着-是=a十)国-)+ 随堂检测·学以致用 2=[a+品] TIT: L.C解析根据函数单调性定义及函数图象可知f(x)的单调 因为x1∈(1，十o∞)，<2，所以x1一<0，十x> 递增区间是[一3,1].故选C项. 2,x1>1, ·299· 所以2<2，所以(G十) 2>0 4.解析(1)当a=一1时，f(x)=x-2x十2=(x-1)+1.因为 T2 x∈[一5,5]，故当x=1时，f(x)取得最小值，最小值为1：当 所以（一）（十）- 27 <0,所以fx)<f(x), x=一5时，f(.x)取得最大值，最大值为37： 工1Tg (2)函数f(x)=(x十a)P十2-a的图象的对称轴为直线 所以函数y=f(.x)在(1，十∞)上是严格增函数. x=一a.因为f八x)在[一5,5]上是单调函数，故一a≤-5或 (2)设t=x2+1,因为x∈[0,2]，所以t∈[1,5]， -a≥5.即实数a的取值范围是(-o,一5]U[5,十∞). 由1)得f)=f+子，1∈[1.5]单调递增。 3.2.2奇偶性 所以1)<6，即3<0<号 第一课时函数奇偶性的概念 必备知识·基础落实 所以g)=+1)的值城为[3，号] 要点一 [例题3]解扬f(x)=3.x2-12x十5=3(x-2)2-7,作出函数 L.一xEDf(一x)=f(x)偶函数 y=f(x)的图象，如图所示 2.一x∈Df(一x)=一「(x)奇函数 [辨析]提示(1)√(2)×(3)×(4)× 关键能力·索养提升 [例题1]解析(1)因为定义域不关于坐标原点对称，即一4∈ [一4,4)，而4任[一4,4)，所以f(x)=x十3x,x∈[一4,4) 既不是寺函数也不是偶函数 (2)定义城关于原点对称，且f(-x)=一)-1 一x =-x,所以)=亡是奇函数 (1)当x∈R时，f(x)=3(x-2)-7≥-7，当x=2时，等号 成立.故当x∈R时，函数(x)的最小值为一7，无最大值. (3)定义城为R,关于原点对称，且f(一x)=|一x一2|一 (2)由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x=0处取得最大值 |-x+2|=|x+2|-1x-2|=-(|x-2-1x+2|)= 最大值为5：在x=2处取得最小值，最小值为一7. 一f八x),所以f(x)=|x一2-x十2是奇函数. (3)由图可知，函数f(x)在[一1,1门上单调递减，在x=一1 (4)定义域为[1，十∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是 处取得最大值，最大值为20：在x一1处取得最小值，最小值 奇函数也不是偶函数. 为一4. [变式订服翻1)周为画教)=芹的定义找为{任x [变式3]解扬①当>1时，f(x)在[，1+1门上单调递增， R,且x≠1)，定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇 所以g(t)=f(t)=-2十3： 函数也不是偶函数 ②当t十1<1，即10时，f(x)在「t,1十1]上单调递减， (2)f(x)的定义城为R,关于原点对称.因为f(一x) 所以g()=f(t+1)=+2: (一x)一（一x)=x十x2,又一f(x)=一x十x,所以 ③当t≤1t+1,即0≤≤1时，g(t)=/(1)=2. f（-x)≠f(x),且f(-x)≠一fx).故f(x)=x2-x既不 t+2,t0, 是奇函数也不是偶函数. 综上可得，g(t)=2,0≤≤1， (3)函数f(x)=|x的定义域为R,关于原点对称.国为 2-21+3,t>1. f(一x)=」一x=x=f(x),所以f(x)=x是偏函效. [例题幻留团由函：h=一+2+，∈[0，号]的因象可 [例题2]解析函数f(x)的定义城为（一c∞，0）U(0,十o),关于 原点对称 知，函数图象的顶，点就是水流喷出的最高点，此时函数取得 ①当x<0时，-x>0,f(-x)=-(-x)2+(-x)-1= 最大位，对于画数A=-+2十号x∈[0，号]，当x=1 -x2-x-1=-(.x2+x+1)=-fx): ②当x>0时，-x<0,f(-x)=(-x)+(-x)十1= 时，函数有最大值h)=一P+2X1+号=号(m.于是 -(-x2+x-1)=-fx). 水流喷出的最大高度是是m 综上可知，f(一x)=一f(x),所以f(x)是奇函数. [变式2]解析函数f(x)的定义城为R,关于原点对称。 [变式幻解析设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y=(x ①当x>0时，一x<0,f（一x)=一x一2=f(x): ②当x<0时，一x>0,/八一x)=-(一x)-2=x-2=f(x): 3)·(400+号×40）=80(x-3)(9-0=-80 ③当x=0时，f(一x)=0=f(x). 6)2+720(x≥3)，所以x=6时，y取最大值. 综上，f(一x)=fx),所以∫(x)是偶函数 答累6 [例题3)证明函数定义城为R,其定义城关于原点对称. 随堂检测·学以致用 因为f(x+y)=f(x)十f(y), 令x=y=0,则f(0)=f0)十f(0),得f(0)=0, 1.C解析根据函数最值的定义，结合函数图象知，当x= 3 再令y=-x,则f(0)-f(x)十f(-x)=0, 所以f(一x)=一f(x),所以fx)是奇函数. 时，有最小值f(-号)：当〔=2时，有最大值f(号).故选 [变式3]证明函数定义城为R,关于原点对称， C项。 令1=0，=x,得f(x)十f(一x)=2f(0)f(x). 令n=0,=x,得f(x)+f(x)=2f(x)f(0). 2.B解扬函数y厂一在区间[2,3]上单调递诚，故当x=3 ① 由①②得f(一x)=f(x),所以f(x)是偶函数 时，y有最小值ym=之故选B项。 随堂检测·学以致用 L,A解析A项中f（-x)=2(-x)2-3=22一3=f(x）,所以 3.解析若a<0,则函数y=ax十1在区间[1,3]上单调递诚，在 f(x)是偶函数：B,D项中f(一x)=一(x),所以函数都为奇 区间左端点处取得最大值，即a十1=4，解得a=3,不满足a< 函数：C项中函数的定义域不关于原，点对称，既不是奇西数， 0:若a>0,则函数y=a.x+1在区间[1,3]上单调递增，在区 也不是偶函数.故选A项， 间右端，点处取得最大值，即3a十1=4，解得a=1,满足a>0. 2.D解析因为f八x)是偶函数，所以定义域关于原点对称，所 综上，a-1. 以1一a=一4，所以a=5.故选D项. 俗率1 3.ABC解析因为函数f(x)是奇函数，所以f(一x)= ·300·