3.1.2 函数的表示法（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 3.1.2 函数的表示法 第一课时函数的表示法 [学习目标]在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法，列表法、解析法）表示函数，理解函 数图象的作用，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养（重点）， 必备知识基础落实 答案见P 要点函数的三种表示方法 >思考：函数三种表示法的优缺点是什么？ 解析四州数学化达式长示内个变量之小的对应关 的表 列出表格米衣小州个变量之的对盛关系 图象泗 用以参表示两个变量之间的对应关系 关键能力素养提升 答案见P 探究一 函数解析式的求法 【例题1】(1)已知f(x)=x2+2,求f(x-1), f(x+2). 解题技巧 (2)已知f(x+1)=x2+2x,求f(x). 求函数解析式的常用方法 (3)已知fx)+2f1 =x(x≠0)，求f(x). (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待 定系数法求解，即由函数类型设出函数解析 式，再根据条件列方程（组），通过解方程（组） 求出待定系数，进而求出函数解析式。 (2)换元法（有时可用“配凑法”）：已知函数 f(g(x)的解析式求f(x)的解析式，可用换 元法（或“配凑法”），即令g(x)=t,反解出x, 然后代入f(g(x)中求出f(t),从而求出f(x). (3)方程组法：分析数学问题中变量间的等量 关系，建立方程或方程组，或应用方程的性质 去分析，转化解决问题.已知∫(x)满足某个 等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其 他未知量，如f(一x)(或f()》,可根据已 知等式再构造其他等式组成方程组，通过解 方程组求出f(x). ·44 第三章函数的概念与性质 【变式1】(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)= (2)“费用c是次数n的函数”还是“次数n是 4x一1，则f(x)的解析式为 费用c的函数”？ (2)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足 f(x)+2f(一x)=3.x一2，则f(x)的解析式 为 探究二 函数列表法的运用 规律总结 用列表法表示函数，不需要经过计算，就可以 直接看出与自变量的值相对应的函数值，但 它只能表示自变量个数较少的函数关系，而 且从表中不易看出自变量与函数间的对应关 系，也不能直观反映函数值的变化规律 【例题2】已知函数f(x),g(x)分别由两个表格 给出. 之 2 3 f(x) 3 1 1 2 3 g(x) 3 2 1 f(g(1)的值为 :满足f(g(x))> g(f(x)的x的值是 探究三 函数图象的作法及应用 误区防错 作函数图象的注意事项 (1)应先确定函敏的定义域，在定义域内 【变式2】在某洗衣店中，每洗一次衣服需付费4 作图 元，如果在这家洗衣店洗衣满12次，则其后 (2)图象是实线或实，点，定义域外的部分有时 可以免费洗1次，假设某人在这家店中洗了 可用虚线来衬托整个图象 16次衣服. (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端 (1)根据题意填写表格： 点、与坐标轴的交点等 洗衣次数n 5 8 12 13 16 (4)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是 洗衣费c/元 直线、折线、离散的点等 45· 数学必修第一册课堂学案 【例题3】作出下列函数的图象，并求其值域 (1)y=2.x2-4x-3(0≤x<3): 【变式3】画出两数y士产气的图象，并根据 2y=6≥n. 图象指出函数的值域。 4+444444+44444444444+444444444444444444444444+444444444444 随堂检测学以致用 答案见P 1,某同学在一学期的5次大型考试中的数学成 3.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的 绩（总分150分）如表所示. 定义域是 ,值域是 考试次数x 1 2 3 4 5 成绩y/分 120 132 136 135 136 下列说法正确的是 A.成绩y不是考试次数x的函数 B.成绩y是考试次数x的函数 4.(1)一次函数y=f(x),f(1)=1,f(-1) C.考试次数x是成绩y的函数 -3,求f(3). D.成绩y不一定是考试次数x的函数 (2)已知f(x)=x2+.x+q,若f(1)=f(2)= 2.某学生从家去学校，由于怕迟到，所以一开始 0,求f(-1). 跑步，等跑累了，再走余下的路，如图中y表示 该学生与学校的距离，x表示出发后的时间， 则符合题意的图象是 捉示完成P课时作业（十二） 46 第三章函数的概念与性质 第二课时 分段函数 [学习目标]通过具体实例，了解筒单的分段函数，并能简单应用，强化数学运算的核心素养（难点） 必备知识基础落实 答案见P 要点分段函数的概念 (2)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值 的对应关系，但它们是一个函数. () 范围，函数有着不同的对应关系，这样的函数 (3)分段函数各段上的函数值集合的交集 通常叫做分段函数 为0. () 辨析 (4)分段函数的定义域是各段上自变量取值的 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (1)分段函数的“段”都是等长的， 并集. 关键能力素养提升 答案见P 探究一 分段函数的图象及应用 (2)画出该函数的图象： (3)写出该函数的值域 规律总结 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图 象，在作每一段图象时，先不管定义域的限 制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象 即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保 证不重不漏. (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首 先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将 函数转化为分段函数，然后分段作出函数 图象。 【例题1】已知函数fx)=1+2(-2< x≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数： ·47 数学必修第一册课堂学案 【变式1】如图所示，函数f(x)的图象是折线 x+2z≤-1， (2)已知函数f(x)= 若fx)=3, ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4)，(2， x,-1x2. 0),(6,4) 则x (1)求f(f(0)的值： f(x+1),-2<x<0. (2)求函数f(x)的解析式. 【变式2】已知f(.x)= 2x+1,0≤x<2, x2-1,x≥2. 1)求-)的值： (2)若f(a)=4,且a>0,求实数a的值 探究二 分段函数的求值方法 解题技巧 分段函数的求值方法 在求分段函数值∫(x)时，分清x所在的区 间是关键，然后选择相应的解析式代入即可 反之，由f(x)的值求x,可通过图象得出x0 探究三分段函数的实际应用 所在的区间，再选择相应的解析式列方程求 解：也可以利用每一区间上的解析式列方程 高考拓展 求x,然后检验x是否属于相应区间. 某些实际问题的函效解析式常用分段函数表 示，需针对自变量的分段变化情况，列出各段 3r,-1≤1. 【例题2】(1)已知函数f(x) 不同的解析式，再根据自变量的不同取值范 x2-4x+6,1<x5, 围，分段画出函数的图象，最后求解有关问题 则f(f1)= ·48· 第三章函数的概念与性质 【例题3】我国北方许多城市缺水，为了节约用 【变式3】某汽车以52km/h的速度从A地行驶 水，某市出台了一项水费政策，规定每人每季 到距A地260km处的B地，在B地停留 度用水量不超过5吨时，每吨水费2.4元，超 L.5h后，再以65km/h的速度返回A地，试 过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加 将汽车离开A地后行驶的路程s(单位：km) 收100%，超过6吨而不超过7吨时，超过部 表示为时间t(单位：h)的函数. 分的水费加收200%，如果某人本季度实际 用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交 的水费y(单位：元). 年44444444444444444444444444444 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.(多选)下列给出的函数是分段函数的是 x2,≤1， 3.已知函数fx) x+6-1x>1 则f(f一2) x2+1,1<x≤5， A.f(x)= ,若f(x)=4,则x= 2.x,x≤1 x,-1≤≤1， x+1,x∈R, 4.已知fx) B.f(x)= 1一xx>1或x<-1 若fx)> x2,x>2 求x的取值范围。 2x+3,1≤x5, C.f(r)= x2,x≤1 x2+3,x0, D.f(x)= x-1,x≥5 2.拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费由分段 3.71,0<m≤4， 函数f(m) 确定 1.06(0.5[m]+2),m>4 (其中[m]是不超过m的最大整数，如[3.74]= 3),则从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是 ( A.3.71 B.4.24 C.4.77 D.7.95 捉示完成P课时作业（十三） ·49·(2)由n=12,13时，c=48可知，次数n与费用是一个“多 3.1.2函数的表示法 对一”的对应，根据函数的定义，只能是“费用c是次数n的 第一课时函数的表示法 函数” 必备知识·基础落实 [例题3]解析(1)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线，如图 [思考]提示 ①，由图象知，函数值城为[-5,3). (2)当x=1时，y=1,所画函数图象如图②，由图象知，函数 表示法 优点 缺点 值战为(0,1]. 一是简明、全面地概 括了变量间的关系： 不够形象、直观，而且并 解析法 二是利用解析式可 不是所有函数都有解 求任一函数值 析式 1012345 不需计算，可以直接 列表法 看出与自变量的值 只能表示自变量取较少 ① 相对应的函数值 的有限值时的对应关系 [变式3]解损由题意，得y=+23_x+3)卫-x十 x-1 x-1 图象法 能形象、直观地表示 只能近似求出自变量的 3(x≠1)，画出函数图象如图所示. 函数的变化情况 值所对应的函数值，而 r 1=x+3 且有时误差较大 关键能力·素养提升 [例题1门解扬(1)f（x-1)=(x-1)+2=x-2x+3, f(x+2)=(x+2)2+2=x2+4x+6. (2)令t=x十1，则x=t-1, 所以f(t0=(1-1)2+2(t-1)=2-1,即f(x)=x2-1. 根据图象可知，该函数的值域为{yy∈R,且y≠4. (3)已知八)+2/()-，将原式中的x与上互换，得 随堂检测·学以致用 L,B解析题表中列出了考试次数和成绩这两个变量之间的对 f(1）+2fx)= 应关系，根据函数的定义可得B预正确.故选B项， 2.D解析由题意知该学生离学校越来越近.故排除A,C项， fx)+2f(）=x 又由于开始跑步，后来步行，体现在图象上是先“陡”后“竣” 于是得关于(x),(二)的方程组 故选D项. /()+2)= 3.解扬结合图象知，f(x)的定义域为[-3,3]，值域为[一2,2]. 答累[-3,3][-2,2] 解得f(x)= 2 4.解粉(1)设一次函数f(x)=a.x十b(a≠0)， [变式1门解析(1)依题意设f(.x)=ax十b(a≠0)， 因为f(1)=1,f-1)=-3, 则f八f(.x)=f(a.x十b)=a2x十ab+b=4x-1, 所以巴4-.新得任1.所以=2一山 a=2, +b-1，解得 所以f(3)=2×3-1=5. 1b=1. 所以f)=2红-青支f0)=-2x+1. a南0=@=n泽解好之 g=2. 故f(x)=x2-3x+2,于是f(-10=(-1)2-3×(-1)+ (2)由f(x)+2f(-x)=3.x-2.知f(-x)+2f(x) 2=6. -3一2联立方程组解得)=-3x-号，所以) 第二课时分段函数 必备知识·基础落实 [辨析]提示(1)×(2)√(3)×(4)/ 关键能力·素养提升 答案(1)f(.x)=2.x- 3或f(x)=-2x+1 [例题山解扬1)当0长≤2时，fx)=1+2=1, (2fx)=-3-号 当-2<x<0时，fx)=1+二11-x [例题2]解析由已知g(1)=3,所以f(g(1)=f(3)=1. f(g(x)与g(f(x)的对应值表如表所示. 所以f(x)= 11,0≤x≤2， 11-x,-2<x<0. 2 3 (2)函数f(x)的图象如图所示. f(g(x)) 3 1 (3)由(2)知，f(x)在(-2,2]上 的值城为口，3)， g(f(c)) 1 3 [变式1]解析(1)观察题中函数 由表可知满足f八g(x)>g(f(x)的x的值是2. f(.x)的图象，可得f(f(0)=f八4)=2. 答案1 2 (2)设AB所对应的函数解析式为y=kr十b(k≠0)，0≤≤ [变式2]解析(1)填表如下. 2#点(0,0与(2,0)代入上式，得信4.解得 洗衣次数n 5 8 12 13 16 b=4, 洗衣费c/元 20 32 48 48 60 k=-2 。所以y=-2x十4,0≤1≤2. ·297· 同理可知，BC所对应的函数解析式为y=x一2,2<x≤6. 要点二 1-2.x+4,0≤x≤2， 综上，j(x)={x-2,2<r≤6. 单调递增或单调递减单调区间 [辨析]提示1)×(2)×(3)√(4)√ [例题2]解析(1)因为1∈[-1,1门，所以f(1)=3×1=3.又 关键能力·素养提升 3∈(1,5)，所以f(3)=32-4×3+6=3,即f(f1))=3. (2)若x≤-1，则x十2=3，解得r=1>-1(会去)：若-1< [例题1服扬1)一2)=兰2十1=0，解得a=2 x<2,则x2-3,解得x-士3，由于-√3<-1，故x-3.综 (2)函数f(x)在(0，十∞)上单调递减，理由如下： 上，x=. 任取2∈(0，十∞)，且<2， 俗3(1)3(2)W3 则)-j()=2+1-2-1=2n-2 I [变式21竖1)易知(-受）=(-是+1)=(-2） 因为∈(0，十o心)，且<2，所以>0，一m>0, 所以fn)f)=2二>0，即fn)>f), f(-号+1)=f(2)=2×号+1=2，所以f(-号)的值 故函数f(.x)在(0，十∞)上单调递减. 为2. (2)当0<a<2时，由f(a)=2a+1=4得a=2:当a≥2 [变式1门解扬函数f代x)=与在区间1，十○)上单调递减. 证明如下： 时，由f(a)=a-1=4,得a=5或a=一√5（舍去）. 任取1,2∈(1，+∞)，且x<, 综上所述a的值为号或5 1 则f(x)-f(x)= -1-1 [例题3]解扬由题意可知，①当0≤x≤5时，y=2.4x: - (x十T)(-x1) ②超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收100%， =(G-1)(-D=(G-1)(-1) 即当5<x≤6时，y=2.4×5+(x-5)×4.8=4.8x-12: 因为x<,所以上一>0， ③超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收200%， 又2∈(1，十∞)， 即当6<x≤7时，y=2.4×5+1×4.8+(x-6)×7.2= 所以十x>0,.-1>0.x-1>0. 7.2x-26.4. 2.4x,0≤x≤5， 所以气瓷0，甲心>s 所以y=4.8x一12,5<≤6， 所以函数f(x)在区间(1，十∞)上单调递减. 7.2x-26.4,6<x≤7. -x2+2.x+1,x≥0， [变式3]解扬因为260÷52=5(h),260÷65=4(h),所以当0≤ [例题2]解扬1)y-{-2-2x十1x<0, t≤5时，s=521:当5<1≤6.5时，s=260:当6.5<t≤10.5 (x-1)+2,x≥0， 即y 时，s=260+65(1-6.5)=651-162.5. -(x+1)2+2,x<0. 521,015. 所以s=260,5<16.5, 651-162.5.6.5<t≤10.5. 随堂检测·学以致用 1.AD解析对于B项，取x=2,得(2)=3或4：对于C项，取 x=1,得(1)=5或1，所以B,C项都不特合分段函数的定 函数的大致图象如图所示，单调递增区间为（一⊙∞，一1]， (0,1],单调递减区间为(-1,0]，(1，十o∞). 义：A,D项符合分段函数的定义.故选AD项. 2.C解析因为5.2>4，所以f(5.2)=1.06×(0.5×5+2)= (2)设，是(0，十∞)上的任意两个实数，且x<x, 4.77.故选C项. 则)-)-(+只)-(+是)--) 3.照团/-2)=(-2)=4.-2)=f0=4+号-1= 9(2)_（-)(-9） TTz 号当6<1时=4属=士2，所以么=-2：当6>1时。 因为0x1<4,所以1一x<0,12>0. 由于一9的待号不能确定，因此需要对，的取值进 五+6-1=4，即店-5西十6=0，所以=2或x=3.故 行讨论.当x,x∈(0,3]时，有xx一9<0， %=-2或2或3. 即f(x)一f(x2)>0,所以f(x)>f(), 所以f(x)在区间(0,3]上单调递减： 答累号 -2或2或3 当，x2∈(3，十o∞)时.有x12一9>0. 4爵团当-1长≤1时，)=≥，脚<<1： 即f(x1)一f(x)<0,所以f(E）f(), 所以f(x)在区间(3，十∞)上单调递增. 当>1或K-1时)=1-≥，即K-1 所以画数fx)=x十9(r>0)的单调递减区间是(0,3]，单 故x的取值范围是（一○，一 U[小 调递增区间是(3，十∞). [变式2]解析(1)f(x)= /-x-3,x≤1， 的图象如图所示 3.2函数的基本性质 1(x-2)°+3，x>1 3.2.1单调性与最大（小）值 第一课时函数的单调性 必备知识·基础落实 要点一 单调递增单调递减 ·298·