3.1.1 函数的概念（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 [学习目标]1，在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻函函数，建立完整 的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，培养数学抽象的核心素养，2.了解构成函数 的要素，能求筒单函数的定义域，培养数学运算的核心素养（重点）， 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一 函数的概念 要点二 区间与无穷的概念 1.函数的概念 1.区间的定义及表示 前提：A,B是 的 设a,b是两个实数，而且a<b.在数轴上表示 时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空 集合A中的 B中都有 心点表示不包括在区间内的端点。 对应： 对应关系 (对应) 定义 名称 符号 数轴表示 个数x 的数y xa≤r≤b 闭区间 a,b 结论：：A→B称为 的 (xa<x<b 开区间 (a,b) a 一个函数，记作 左闭 (xa≤xb [a,b) 2.函数的定义域与值域 右开 函数y=f(x)中，x叫做自变量， 叫做 左开 xa<xsb (a.b 函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做 右闭 ,函数值的集合 叫做 这里的实数a与b都叫做相应区间的 函数的值域.显然，值域是集合B的 2.无穷的概念及无穷区间的表示 >思考：(1)在函数的概念中，如果函数y=f(x) 定义 {xlz≥aexx>a{rl.x≤a} Irlz<al 的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确 定吗？ 符号 La,十) (-o0a) (2)如果函数y=f(x)的定义域、值域确定，那 表格中的“∞”读作“无穷大”，“一∞”读作“负 么对应关系确定吗？ 无穷大”，“十∞”读作“正无穷大” 要点三函数的三要素 L.函数的三要素是函数的 2.同一个函数：因为函数的值域是由 和 决定的，所以如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即 40 第三章函数的概念与性质 相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两 (2)已知定义域和对应关系就可以确定一个 个函数是同一个函数。 函数 () 辨析 (3)定义域中的某一个x可以对应着不同的y. 判断正误，正确的画“/”，错误的画“X” (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系 (4)区间不可能是空集， () 关键能力素养提升 答案见P6 探究一 函数概念的应用 B.x表示年份，y表示对应的某地区的GDP (国内生产总值) 规律总结 C.x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y 判断函数关系的步骤 表示该地区学生对应的考试号 首先，观察两个实数集A,B是否非空：其次， D.x表示某人的月收入，y表示对应的个税 验证在对应关系下，集合A中数x的任意性 探究二 求函数的定义域 和集合B中效y的唯一性，也就是既不能没 有数y对应数x,也不能有多于一个的数y 规律总结 对应数x 不同类型函数的定义域 【例题1】下列对应关系是否为集合A到集合B (I)f(x)为整式型函数时，定义城为R. 的函数？ (2)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母 (1)A=R,B={xx≥0}，f:xy=x: 不为零的实数的集合。 (2)A-R.B-R,f:r-y-1 (3)f(x)为二次根式（偶次根式）型函数时， 定义城为使被开方数非负的实数的集合。 (3)A=R,B=Z,f:→y=: (4)函数y=x°中的x不为0. (4)A=[-2,2],B={10,f:x→y=1. (5)如果函数是一些简单函数通过四则运算 结合而成的，那么它的定义域是各个简单函 数定义域的交集 (6)由实际问题建立的函数，还要符合实际问 题的要求 注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区 间表示数集，则不能用“或”连接，而应用并集 符号“U”连接 【例题2】(1)函数f(.x)= 【变式1】（多选）下面选项中，变量y是变量x的 x一2的定义域是 函数的是 ( A.x表示某一天中的时刻，y表示对应的某 A.{x.x<2} B.xa>2) 地区的气温 C.R D.{xlx≠2 ·41· 数学必修第一册课堂学案 (2)函数y=+D的定义域为 () √W2-x 【例题311尼知fx)≠-D.则f0)= A.{xx≤2，且x≠-1} 》 B.{xx≤2，且x≠1} C.{xx<2,且x≠-1} (2)求下列函数的值域. D.{xx<2,且x≠1} ①y=Vx-1: (3)已知函数f(x)的定义域为[0，+∞)，则 ②y=.x2-2x+3,x∈[0,3)： f(2x-3)的定义域为 ③y=2x十1 -3: ④y=2x-√x-I. 【变式2】(1)已知函数f(x)的定义域为（一1,0）， 则f(2x十1)的定义域为 A.(-1,1) B(-1,-》 C.(1,0) D.(号 (2)函数y=百的定义域为 x 探究三求函数的值及值域 解题技巧 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域：②再根据 函数的具体形式及运算确定其值域。 (2)常用方法 ①观察法：对于比较简单的函数，其值域可直 接观察得到： ②配方法：求二次函数型值域的基本方法： ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值 域易确定的函数而求得原函数的值域.对于 【变式3】(1)已知函数f(x)=x2+1,则f(a+1) f(x)=a.x十b+√cx+d(a,b,c,d为常数，且 的值为 ac≠0)型的函数常用换元法： A.a2+a+2 B.a2+1 ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式， C.a2+2a+2 D.a2+2a+1 即将有理分式转化为“反比例函数类”的形 (2)求下列函数的值域： 式，便于求值域 ①y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}； ·42· 第三章函数的概念与性质 ②y=-x2-2.x十3，-5≤x≤-2： 【例题4】判断下列各组函数是否是同一个函数 ③y=√5+4x-x2. (1)f(x)=x2-x+1,g(t)=-t+1: (2)f(x)=x-1·√x+1,g(x)√x-1 探究四同一个函数的判断 误区防错 【变式4】下列四组函数中，f(x),g(x)表示同 同一个函数的判断应注意的问题 个函数的是 () (1)判断两个函数是否为同一个函数，不仅要 Af(x)=x-1,g(.x)=(x-I) 看函数的解析式化简后是否相同，还要注意 B.f(x)=x-3|,g(x)=√(x-3) 定义域是否相同，只有定义域、对应关系都相 同的两个函数才是同一个函数 C./()-(2 (2)应注意的问题：①与用哪个字母表示无 D.f(x)=√(x-1)(x-3),g(x）=Vx-1· 关：②化简解析式必须是等价变形 Vr-3 随堂检测学以致用 答案见Pa L.(多选)下列四组函数中，f(x),g(x)表示同一 图象可以是 个函数的是 A.f(r)=x,g(x)=() B.f(r)=x.g(x)=VI 十个照南 C.fx)=1,g(x)= 3函数=√的值城为 D.f(r)=Vz.g(x)=xl 4.已知函数y=f(2x一3)的定义域是[一2,3]， 2.设M={x-2≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，函 则函数y=f(x+2)的定义域为 数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的 提示完成P课时作业（十一） ·43·4.解要满足f(x)=r+mxr-1<0对于任意m x m+1 (2)因为-2是2r+(2+5)x+5k<0的解, (f(n)_o. 12nr-1<0. 恒成立,只需 即 所以2x(-2)+(2+5)x(-2)+5k-k-2<0.$ f(n十1)0. (m+1)+m(m+1)-1<0. 所以2,--2- (七+)(2+5)<0的解集为{-<<一. 图 1一#o#}# 又--2>0的解集为(x-1或x 2), 所以一2<一k<3,所以 的取值范围为(^|-3 k<2》. 章末复习方案 答案(1)BD(2)(b-3k2) [真题1]解析(1)因为-1<b 0,a<0,所以ab>0,b<0 1. [真题5](1)由题意知文+-(x+)(1+4)-2十 <1.所以ab-a=ab(1-b)>0,ab-a=a(-1)>0$$ 所以ab>ab>a.故选C项. (2)设a+3{-m(a+③+n(a+2③-(m+n)a+(m+2n) 3) {m=]从而解出m-1.n-2.分 比较a,8的系数,得 #2/ n+2n-3. (-1<十1. ,得-1<-a-1,2<2+46,两 别由 -8时,等号成立,所以x+-二4,所以a}-3a 4,解得 1<+23 式相加得1 a+33 7.故a+33的取值范围是1<a+33 -1<a4.故选B项. 7.故选A项. (2)将^+bx+c→2x+b整理为x+(b-2)+c-b>0,因 智翻(1)C(2)A 为}十bx十c2x十b对任意xER恒成立,所以△<0,即 [真题2]解期(1)因为0<x1,所以4-3x>0,则x(4 ($b-2){-4(c-b)<0,整理得-4c+4<0,故A项正确; 3)-×3x(4-3-r)<寸×(3-+4-3)-分.当且 令$-1,c-2,则△-(1-2)-4$(2-1)-1-4--30 满足题意,故B项错误;由A项知4c→十4,即c 仅当3x-4-3x,即x-时,等号成立,故xr(4-3x)的最 大值为.故选C项. 项正确,故选ACD项. 智(1)B(2)ACD ##&+-1+-1-(-+4)>× [真题6](1)设该种破璃的售价提高到x(x>25)欧元/平 5 5 方米, 由题知[80-2(x-25)]x>2000. 即-65x+1000 0,解得25 r40. 成立。所以十y的最小值是. 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. (3)因为a→0.b→0,所以++□→·+b- 黑(1)C(2) 7 (3)2/2 n [真题3]解(1)-4x0→x(x-4)<0,解得0<x<4.故 选A项. 所以n一102,故该种玻璃的销售量n(单位:万平方米)至少 (2)不等式9^}-6x+1>0,可化为(3x-1)}→0,不等式的$$ 达到102万平方米时,才可能使2024年的销售收入不低于 解集为R,A项正确;-r+2r-3<0变形为^-2x+3 2023年销售收入与2024年投入之和,此时的售价为30欧 0.即(r-1)+20,不等式的解集为R,B项正确;^}-3x$ 元/平方米。 40的解集为xlr4或x一1,解集不是R.C项错误; 第三章 函数的概念与性质 +r*+1*十1,即文0,故不等式的解集为R,D项正 3.1 函数的概念及其表示 确.故选ABD项. 智(1)A(2)ABD 3.1.1 函数的概念 [真题4]解(1)A项,当a-0时,有r2,无论取何值,不能 (a0. 必备知识·基础落实 使不等式的解集为x|x2,错误;B项,当 =-8_。时 要点一 不等式的解集是R,正确;C项,令f(x)-ar{一bx十2,显然 1.非空 实数集 任意 唯一确定 从集合A到集合B f(0)一20,故不等式的解集不可能是,错误;D项,当a y-f(c)xA -1时,r*-x-2=(x-2)(x+1)<0,解集是 xl-l 2.x的取值范围A 函数值 (f(x)xA) 子集 x2),正确,故选BD项. [思考]题(1)确定,一一对应. .295. (2)不确定,例如函数的定义域为A-{一1,0,1),值域为 图象,如图所示,可得函数的值域为[2,6). B- 0,1),则对应关系为f(x)=r*或f(x)=|xl均可, 要点二 1.端点 要点三 1.定义域 对应关系 值域 2.定义域 对应关系 定义域 对应关系 寸23-: [辨析]醍(1)×(2)/(3)×(4) 关键能力·素养提升 ,-3 2-3 [例题1](1)A中的任一元素按照对应关系y= x,在B y2.故函数的值域为(-oo,2)(2.+c). 中都有唯一确定的元素与之对应,故此对应关系是集合A ④设(- x-T,则 0且r-*+1. 到集合B的函数. 所以可以得到y-2(r+1)-1= (2)A中的元素0在B中没有对应元素,故此对应关系不是 2(-)+1由!=0再结合画 集合A到集合B的函数, (3)负数没有平方根,故A中的负数元素在B中没有对应的 数的图象,如图所示,可得原函数的 值战为[1+). 元素,且x不一定是整数,故此对应关系不是集合A到集合 B的&数 (4)对于集合A中任意一个实数工,按照对应关系f:x→ [变式3]解(1)f(a+1)-(a十1)+1-a*+2a+2.故选 y-1,在集合B中都有唯一一个确定的数1与它对应,故此 C项. C 对应关系是集合A到集合B的函数. [变式1]ABD解析根据函数的定义可知,A,B.D项均满足函 (2)①将1,2,3,4,5分别代入y-2x十1计算得,此函数的 值域为(3,5,7,9,11). 数的定义;C项,同一个分数可以对应多个考试号,不满足对 ②因为y--(r+1)+4,-5<-2 于任意的x,都有唯一的y与之对应,故C项错误,故选 ABD项. 所以-4<x+1<-1,1<(r+1<16. 所以-16<-(r+1)<-1,-12 -(x+1)+4<3. [例题2](1)要使函数有意义,自变量工的取值必须满足 所以此函数的值域为[-12,3]. r-2-0,即x2.故函数的定义域为{xlx2).故选D项. {10.解得x<2且x+ ③因为y- -(x-2)+9,所以0-(r-2)+9<9 (2)要使函数有意义,需满足 2--0. 所以此函数的值域是[0,3]. 一1.故函数的定义域为xx2,且x一1).故选C项 [例题4](1)虽然表示自变量的字母不同,但定义域、对应 (3)因为函数y-f(x)的定义域为[0,十c),即函数y 关系均相同,因而f(x)与g(t)是同一个函数。 f(2x-3)中2x-3的范围与函数y=f(x)中x的范围相 (2)因为f(x)的定义域为{x|x1),而g(x)的定义域为 xx一1,或x1),两函数的定义域不同,所以f(x)与 g(r)不是同一个函数. 定义域为[,十~). [变式4]B 解A项中g(x)=( x-I)=x-1(x>1: C项中/(c)-一4 -2 翻(1)D(2)C(3)[3,+) =x十2(x学2);D项中f(x)= (x-1)(r-3)的x需满足(r-1)(x-3)0,即x1或 [变式2]解(1)因为函数f(x)的定义域为(一1,0),所以 r3,而g(x)=r-I·x-3中x需满足 -1<2十1<0,解得-1<r<一 --3>0 定义域为(-1.一).故选B项. r3.故表示同一个函数的一组是B项,故选B项. 随堂检测·学以致用 (+10. '所以函数的定义域 (2)要使函数有意义,需满足 1.BD解析对于A.C项,函数定义域不同;对于B.D项,两函 70. 数对应关系相同,定义域也相同,故表示同一个函数,故选 为xx>-1,且x0). BD项. (1)B(2)(xlx-1,且x0) 2.B A项定义域为[-2.0],D项值域不是[0,2],C项对 ## 定义域中除2以外的任意一个工都有两个y与之对应,都不 符合条件,故选B项. x-1且x1,故y0且y/2.故函数的值域为[0,v②) (/2,十o). 需1 智[ov②)U(②.+o) 4.解因为x[-2,3],所以2x-3[-7,3],即函数y (2)①因为v:0,所以v--1-1 f(x)的定义域为[-7.3],令-7x+2 3,解得-9<x1. 所以y--1的值域为[-1,十o). 所以函数y-f(x十2)的定义域为[一9,1]. ②y-r-2x十3-(x-1)+2,由x[0,3),再结合函数的 [-9,1] .296.