2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(一)（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第二章一元二次函数，方程和不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（一） [学习目标]1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点 与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二 次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，培 养数学运算的核心素养（重点）.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培 养直观想象和逻辑推理的核心素养（难点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一一元二次不等式的定义 要点二 二次函数、一元二次方程、一元二次 不等式的关系 一般地，把只含有 未知数，并且未知 A=b-Aac 4>0 =0 △<0 数的最高次数是 的不等式，称为一元二次 不等式.一元二次不等式的一般形式是a.x2十 y=a.x2十hx+g (a>0)的图象 bx十c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为 ax+bx+c=0 两个不相等的 两个相等的 常数，a≠0. 没有实数根 (a>0)的根 实数根x1,x 实数根1z >练习：（多选）下列说法一定正确的是( ar'+br+c>0 (a>0)的解集 A.不等式a.x2+x-1<0(a为常数)是一元二 ax+bx+c<0 次不等式 (a>0)的解集 >思考：一元二次不等式a.x2十bx十c>0(a≠0) B.不等式x2一5y<0不是一元二次不等式 的解集何时为实数集R?何时为空集？ C.不等式-x2-2x+3>0是一元二次不等式 D.不等式x>0不是一元二次不等式 关键能力素养提升 答案见Pa 探究一 解简单的一元二次不等式 (2)求出一元二次方程a.x2十bx十c=0(a> 0)的根，或根据判别式说明方程没有根. 规律总结 (3)根据根的情况和二次函数的图象写出不 求简单一元二次不等式解集的一般步骤 等式的解集， (1)化一元二次不等式为标准形式a.x2十 当一元二次不等式为a.x十bx+c≥0或 b.x+c>0或a.x十bx+c<0(a>0). ax2十bx十c≤0时，要注意解集的端点 ·31· 数学必修第一册课堂学案 【例题1】求下列一元二次不等式的解集. 探究二解含参数的一元二次不等式 (1)x2-5.x>6: (2)4.x2-4x+1≤0： 规律总结 (3)-x2+7x>6: 解含参数的一元二次不等式与解一般的一元 (4)-x2+6.x-9>0. 二次不等式的基本思路是一致的，但要注意 分类讨论思想的应用，其讨论标准是： (1)对二次项系数进行大于零、小于零、等于 零的分类讨论： (2)当二次项系数不等于零时，再对判别式进 行大于零、小于零、等于零的分类讨论： (3)当判别式大于零时，再对两根的大小进行 讨论，最后确定出解集， 【例题2】解关于x的不等式a.x2+(1-2a)x 2>0(a∈R). 【变式1】求下列不等式的解集 (1)-2x2+3.x+2<0: (2)-2x2+x-6<0: (3)9.x2+6x+1>0: (4)x2+25≤10.x. 【变式2】解关于实数x的不等式x2一x+a<0 (a∈R). ·32· 第二章一元二次函数，方程和不等式 探究三三个“二次”之间的关系 【变式3】(1)已知不等式a.x2+3.x一2>0的解集 为{x1<x<b,则a,b的值等于 () 高考拓展 A.a=1,b=-2 B.a=2,b=-1 三个“二次”之间的关系 C.a=-1,b=2 D.a=-2,b=1 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数合 (2)已知一元二次不等式x十x十q<0的解 称为“三个·二次”，它们之间有着某种特定 集为-<<》，求不等式9r计pr十 的联系，这种联系使得我们可以对它们进行 1>0的解集。 相互联想，从多个角度来分析和思考有关的 问题.具体关系如图所示. r2+6x+r>0或<0a≠0)的解集端.点 方程ax2+hc+r=0(a≠0) 函数y=体x2+bx+(≠0j 的根 的要点 【例题3】若不等式a.x2十bx十c≥0的解集是 {女-≤2，求不等式cr+ba+a<0 的解集. 44444444 随堂检测学以致用 答案见P 1.一元二次不等式x2一3x一4<0的解集为 3.(多选)下列不等式中解集为R的是 () ( A.-x2+2.x+1>0 B.x2-25x+√5>0 A.{.x-1<x<4} B.{x-4<x<1 C.x2+6.x+10>0 D.2x2-3x+4>0 C.{x1<x<4} D.{x|-4<x<-1 4.如果A={xa.x2一a.x+1<0}=0,则实数a 2.若不等式az2+8a.x十21<0的解集是{.x 的取值集合为 -7<x<-1},则a= A.{a0a<4 B.{a0≤a<4} A.1 B.2 C.{al0<a≤4 D.{al0≤a≤4} C.3 D.4 提示完成Ps课时作业（九） ·33·随堂检测·学以致用 (2)原不等式可化为2.2一x十6>0， 1上D强由题意知a>0,b>0A项中，V函第可化为 因为方程2.72-x+6=0的判别式△=（一1）2-4×2×6< 0,所以函数y=2x2一x十6的图象开口向上，且与r轴无交 a十b>2√ab,缺少两者相等的情况：B项中，因为ab>0,所以 点，所以不等式的解集为R (a十b)>a-bP,所以a十b>a-b成立，所以a>a (3)因为9.x2+6.x+1=(3.x+1)2>0, b-b:C项中，a2十>4ab-3W可化为a2十4>4ab.缺少 两者相等的情说：D项中ab叶品>2√·品-2，>2故 所以原不等式的解集为{女时一吉 (4)原不等式可化为x2-10.x十25≤0，即(x-5)≤0， 选BD项. 所以原不等式的解集为{xx=5. 2B霸周为y为正实数，所以(x十)…(+号)-1十 [例题2]解析(1)当a=0时，不等式可化为x一2>0，解得x> 2,即原不等式的解集为{.xx>2. 4计十≥5+22：-9，收当立-当即y (2)当a≠0时，方程ar2+(1一2a).x一2=0的两根分别为2 r y 2x时，等号成立.故选B项. 和一 3.B解析因为这两年产量的平均增长率为x,所以A(1十 x)2=A(1+a)(1十b),所以(1+x)2=(1+a)(1+b),a>0, ①当a<-合时，解不等式得-日<<2，即原不等式的解 a b>0,所以1+x=V0+a0+万≤0+a)十+b=1+ 2 为-<2： 艺所以<空学，当且仅当1+a=1+6,即a=6时，等号 ②当。=一立时，不等式无解，即原不等式的解条为： 成立.故选B项. D霸易知f)22实-[-D+马]，因 ③当一<a<0时，解不等式得2<<日，即原不等式 2x-2 为-4<x<1,所以x-1<0,所以-(.x一1)>0.所以f(x)= 的解集为2<<： 2-红1)+-D]长-1，当且仅当x-1= 1「 x-1' ④当a>0时，解不等式得<-或x>2,即原不等式的 即x=0时，等号成立.故选D项 解集为{口心-日或>2 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 [变式2]醒扬由于△-1-4a,则当a>时，原不等式无解： 2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（一） 当a<}时，可解得上<<1+@ 2 2 必备知识·基础落实 要点一 综上可知，当a>}时，解集为空集： 一个2 [练习]BC解析A项，当a=0时，不等式ax十x一1<0是一 当a<时，解集为{<r<1 2 元一次不等式，故错误：B项，不等式中含有x和y两个未知 数，所以不是一元二次不等式，故正确：C项，不等式一x一 [例题3]照团由ar+br十c≥0的解集是{女-号<x≤2： 2x十3>0符合一元二次不等式的概念，故正确：D项，不等 式x>0符合一元二次不等式的概念，故错误.故选BC项. 知<0.又(-3)×2=合<0，则c>0, 要点二 x<或x>}{xx≠-a R 又-一子2为方程ar+ba十(=0的两个根， {xx<x<xn4}⑦ 3 [思考]提示当a>0,且△<0时，因为二次函数的图象总在x 2 轴的上方，所以此时的解集为R:而当a<0,且△≤0时，因为 又￡=一 . 二次函数的图象开口向下，且与x轴相切于一点或无交点， 所以此时的解集为空集。 待解不等式支为(-号a)k2+(-号ak+a<0. 关键能力·素养提升 即2.x+5ar-3a>0. [例题1门解析(1)由x2-5.x>6,得x2-5.x一6>0. 又因为a<0,所以2x+5x-3<0. 因为x2一5.x一6=0的两根是=一1和x=6, 所以原不等式的解集为{xx<一1或x>6} 所以所求不等式的解集为{-3<<2}： (2②)4r-4+1<0,即(2x-10<0,则x- [变式3]解析(1)因为不等式ax+3.x-2>0的解集为{x1< x<b,所以方程ax+3.x一2=0的两个根分别为1和b,根 故4r-4+1<0的解集为{=} 据根与系款的关系，得1十6=一豆山=-名，所以。=-1， a (3)由-x2+7x>6,得x2-7x+6<0, b=2.故选C项. 而2-7x十6=0的两个根是0=1和0=6. 答案C 所以不等式x2一7x十6<0的解集为{x1<x<6. (4)原不等式可化为x2-6.x十9<0，即(x-3)<0, (2为r十r十g<0的解条为{-<r<}，所以 所以原不等式的解集为②. [变式1]解扬(1)原不等式可化为2x-3.x一2>0， =一与=是方程 十9=0的两个实数根， 周为2r-3-2=0的两根是西=一号和=2。 1 3 由根与系数的关系可得 解得 所以原不等式的解集为{女《一或>2小。 ·293· 所以不等式4r+x+1>0即为-合e+日x+1>0,整 1 ∠0 理得x2一r一6<0，解得-2<x<3,即不等式x十px+ 40不等式即号-子<0，与 x+l x -1 x≠0， 同解， 1>0的解集为{x一2<x<3. x2-1≠0 随堂检测·学以致用 x-(x+1D<0, 一1 1.A解析M={xx2-3x-4<01={.x(x-4)(x+1)<0} x(x+1) 则 (x+1D≤0， {x一1<x<4.故选A项. x≠0， x≠0， 2.C解析依题意知一7，一1是方程a.2十8a.x十21=0的两 x2-1≠0， x2-1≠0， -7-1=-8 d 达与G同 根，且a>0,则有 -7×(-1)=24 解得a=3.故选C项. 故所求不等式的解集为(xx<一1或0<x<1或x>1 a [例题2]解(1)对所有实数x,不等式m.x一2x十m-2<0恒 3.CD解扬对于A项，由于不等式中二次项的系数为负，所以 成立，即盛数f(x)=mxr2一2.x十m一2的图象全部在x轴下 解集不可能为R:对于B项，不等式的判别式为△=20 方.当m=0时，一2x一2<0，显然对任意x不能恒成立： 4√>0，所以解集不可能为R:对于C项，不等式的判别式为 △=36-40=一4<0，所以不等式的解集为R:对于D项，不 当m0时，由三次面数的困象得公mm二2)0，解 等式的判别式△=(-3)一4×2×4=一23<0，所以不等式 得m<1一√②.综上，m的取值范围是{mm<1一√2}. 的解集为R故选CD项。 (2)设g(m)=(x+1)m-2.x-2,它是一个以m为自变量 4.D解析当a=0时，有1<0，故A=☑：当a≠0时，若A= 的一次函效，由x2十1>0知，g(m)在一2≤m≤2上单调递 ,则有公0-0.释0<a<旅上a的取位集合为 增，则只需g(2)<0即可.即2x2十2-2.x-2<0,解得0< x<1.故x的取值范围是{x0x1. {a0≤a≤4}.故选D项. [变式2]解析①当a2-1=0,即a=土1时 若a=1,则原不等式为一1<0，恒成立； 2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式（二） 若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<名，不符合题目 必备知识·基础落实 要点 要求，舍去 ②当a一1≠0，即a≠士1时，原不等式的解集为R的条件 1.(1)a>0△0a>0△0a<0△0a<0△0 (2)k>≥f(.x)mk≤f(.x) 是区+d-w 解得-<a<1 关键能力·素养提升 [例题1门解析(1)原不等式与(3十x)(2一x)>0同解， 游上所建，当一号<<1时，原不等式的解桑是企作实数 即与(x十3)(x一2)<0同解， [例题3]解析f(x)一g(x)=(-20x+60x十200)-(-30x+ 故所求不等式的解集是{x一3<x<2). 65.x+200)=10x2-5.x(0<x<1). 阳原不等式与（十0月解。 由10r-5>0,解得t≥号或r<0(合去. 故所求不等式的解集是{xx<一4或x≥I (③原不等式即千220 故当投入成本增加的比例x∈{r0<<2}时，选择乙 方案： 故2<0，即专0， x+2 当投入成本增加的比例x∈{女2<r<1时，选择甲 j(x十4)(x十2)≥0·同解 则原不等式与工十2≠0 方案： 故所求不等式的解集为{xx≤-4或x>一2}. 当授入成本增加的比例工一2时，选择甲或乙方案都可以 （0原不等式即3学-0，即3>0.即2>0， [变式3解析设每床每晚的租金提高10的n倍，即为(50+ 10n)元， 则原不等式与x(3一4x)>0同解.即x(4x一3)<0， 出租的床位会减少10的n倍张，即为(200一10n)张， 故所求不等式的解集为{0<<是} 由题意可得该旅店每晚的收入为(50+10n)(200-10m)> 15000, 堂式门面不等大与名一0月解， 整理可得n-15n十50<0，解得5<<10， 因为n∈Z,所以n可取6,7,8,9， ∫(x-5)(2x-1)≥0. 即2x一10： 此时每个床位的定价50十10m即为110,120,130,140， 所以每个床位定价的取值范国是{110,120,130,140%， 故所求不等式的解集为{红x<或≥5小 随堂检测·学以致用 ②)不等式脚2号-1>0，所以5中>0， 1.ABC解析由题意可得仔一4≤0，所以-2≤b≤2.故选 ABC项， 片以月，这与2-月标。 2A画由不等式品<0释经+0解得 故所泉不等式的解集为✉合<<2 <≤1，所以不等式的解集为✉-<≤1小.故选 （③)不等式即2各0，甲号>0，中0， A项. 3.B解析设该厂每天获得的利润为y元，则y=(160-2.x)x 这与不等式(3x一1)(3.x+2)>0同解.故所求不等式的解集 (500十30x)=-2.x2+130.x-500(0<x<80).由题意，知 -2.x2+130x-500≥1300，即x2-65x+900≤0，解得20≤ x≤45.故选B项. ·294·