2.2 基本不等式（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学 必修 第一册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见Pt 3.(参选)若a>b>0,c<d<0,则一定有( 1.雷电的温度大约是28000C,比太阳表面温度 ~ 的4.5倍还要高,设太阳表面温度为/C,那么 A.ac<bd B. ac>bd ( i应满足的关系式是 ### A.4.5128000 B.t<28000 C.4.5t28000 D./28000 2.已知实数a>b,M-a}-ab,N-ba-b,则M ~ 与N的大小关系是 a二的取值范围是 A.MN B.M<N 2 C.M-N D. 无法确定 l提示完成P,课时作业(七) 2.2 基本不等式 体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题,发展逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养 (难点). 必备知识 基础落实 答案见P 要点一:基本不等式 >思考:使用基本不等式求最值时需要注意的三 1.重要不等式:对于任意实数a,6,都有a^{②}十b 个条件是什么? 2ab.当且仅当 时,等号成立, 2.基本不等式:对于任意 a,,都有 ,当且仅当 时,等号成立: 3.几何平均数与算术平均数:对于两个正数a,b 析 6的算术平均数 判断正误,正确的画“、/”,错误的画“又” (1)基本不等式中的a,6可以是任意值为正数 的代数式. (2)两个正数的积为定值,它们的和一定有最 要点二 应用基本不等式求最值 小值. 如果x,y都是正数,那么 (3)在重要不等式中,“当且仅当a一b时,等号 (1)如果积xy等于定值P,那么当 成立”的含义是“a一6”是等号成立的等价 时,和x十y有 条件。 ) (2)如果和x十等于定值S,那么当 (4)多次使用基本不等式时,等号一定可以 时,积xy有 取到. ) .26: 第二章 一元二次函数,方程和不等式 关键能力素养提升 答案见P。 探究一 利用基本不等式证明不等式和比较 【变式1】已知a,b,c为正实数,且a十b十c一1,求 大小 证:(-1)(-1)(1-1)→8. 误区防错 利用基本不等式证明不等式和 比较大小时应注意的几点 (1)注意基本不等式##^成立的条件# 是a>0,b>0. (2)如果式子不具备基本不等式的特点,则需 通过加、减项的方法拼凑成可用基本不等式 的形式. (3)利用基本不等式比较大小时,要注意观察 其形式(和或积). (4)多次使用基本不等式时,要注意等号能否 【例题2】已知a,b,c都是非负实数,试比较 同时成立. a++v十+c+a与②(a+b十 (5)灵活应用基本不等式的变形形式,注重基 c)的大小. 本不等式的变形应用,基本不等式的常见变 形有:①a+b>2vab(a>0,b>0);②ab (a十)② n (a,同号). 【例题1】已知a>0,>0,a+=1:求证:(1 1).(1+)>9. / 【变式2】若a0,60,设A-。 a,C=ab,D- 大小关系为 .27. 数学 必修 第一册 课堂学案 探究二 利用基本不等式求最值 规律总结 基本不等式在求最值中的使用方法 (1)拆项、添项、配凑等方法常用在求分式型 。 的最小值. 函数的最值中. (2)常值代换,这种方法常用于“已知ax十 值”和“已知-1(a,b.x y均为正数); (x) 求r十y的最小值”两种类型。 (3)构造不等式,当和与积同时出现在同一个 等式中时,可利用基本不等式构造一个不等 式从而求出和或积的取值范围. 【例题3】(1)已知(>0,求函数y=7+1-4的最 小值. 【例题4】(1)已知正数x,y满足 81-1. 的最大值. 求x+2y的最小值 的最小值. ·28. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 【变式4】(1)设a,b>0,a+b-5,则 a+1+ 【变式5】函数g(x)=x+(n十1)x十n,若存在 /十3的最大值为 0<<使得不等式g(x)<-1成立,求实 (2)若a是正实数,2a^{}+3}-10,则av/2+ 数的取值范围 的最大值等于 探究三 利用基本不等式求参数 规律总结 利用基本不等式求字母或式子的取值范围分 两种情况. (1)若已知等式,则要用基本不等式进行放 缩,得出不等式,解该不等式 (2)若已知不等式,则要先将参数分离出来, 转化为求函数的最值(恒成立或存在性)问 题,若a f(x)恒成立,则a f(x)m;若a f(x)恒成立,则a二f(x).若存在x使a f(x)成立,则af(x);若存在工使a f(x)成立,则a二f(x)m:求最值时可能用到 基本不等式 立,求的取值范围. 探究四 基本不等式的实际应用 规律总结 应用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)仔细阅读题目,透彻理解题意. (2)分析实际问题中的数量关系,引入未知 数,并用它表示其他的变量,把要求最值的变 量设为函数,并确定使函数有意义的自变量 的取值范围. (3)在自变量的取值范围内应用基本不等式 求出函数的最值,当函数不具备使用基本不 等式求最值的条件时,可考虑用函数的单 调性. (4)还原实际问题,作出解答, .29. 数学 必修 第一册 课堂学案 【例题6】如图,某人计划用篱色围成一个一边靠 【变式6】某单位安装1个自动污水净化设备,安 墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园,设菜园 装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管 的长为xm,宽为ym 线、主体装置的占地面积x(单位,平方来)成 正比,比例系数为0.2,为了保证正常用水,安 装后采用净水装置净水和自来水公司供水方 补的用水模式,假设在此模式下,安装后该单 (1)若菜园的面积为162m{,则x,y为何值 位每年向自来水公司缴纳的水费为c(x) 时,可使所用篱色总长最小? 45 备的费用与安装设备后每年向自来水公司缀 最小值. 纳的水费之和 (1)写出v关于:的函数表达式; (2)求x为多少时,y有最小值,并求出y的 最小值 随堂检测学以致用 答案见Pa 1.(参选)设a,6是正实数,则以下不等式恒成立 为a,第三年产量的增长率为,这两年产量的 的是 ( ( 平均增长率为x,则 ) ) 2ab B.# A.vab B.a>a-bl-b A.-a-6 a十b D# C._a 2 C.a?+4ab-36} D.二a6 2 4.若-4<r<1,则/(r)--22 ( 2r-2 ) 为 A A.有最小值1 B.有最大值1 A.6 B9 C.12 D.15 C.有最小值-1 D.有最大值一1 3.某工厂第一年产量为A,第二年产量的增长率 l提示完成P.课时作业(八)和P:培优训练(三) .30.(①正确.周为a<<0,所以a6>0,所以品>0， 吾所以-<-号<所以-<<登又 所以六所以<即日> 1 所以0，所以-吾<0 2 [变式3]解析(1)不成立.原命题改为“若a>b且c≤0，则 ac≤hc”,即增加条件“c≤0” (2)不成立.由a2>b2可得a>b,但只有b≥0时，才有 a>仔，即增加条件“≥0” 2.2基本不等式 （3不成立，晋>名成立的条件有多种（知a>0>0,>D 必备知识·基础落实 0),因此可增加条件“b>0,0” 要点一 [例题4们正朋因为c<<0,所以一c>一d>0, 1.≥ a=b 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0, 2.正数 vm<生 a=h 所以(a-c)2>(b-d)>0, 4.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 将上式两边同乘以a=(h-d得a-c<(一dD 要点二 又因为<0，所以a-c>(b一D (1)z=y最小值2/P [变式4]证明因为a>b,c>0,所以ac>bc,即一ac<一bc.又 (2)x=y最大值号 e>f,即f<e,所以f-ac<e-x, [思考]腿灵1)一正：符合基本不等武“>品成立的前提 [例题5]解析方法一f(一1)=a一b, 2 f(1)=a+b,f(-2)=4a-2h, 条件，即a>0,b>0. 设f(-2)=mf(-1)+nf(1), (2)二定：化不等式的一边为定值. 则4a-2h=m(a-b)十n(a十b)=(m十n)a-(m-n)b, (3)三相等：必须存在“=”成立的条件. [辨析]提示(1)√(2)×(3)√(4)× 手是解释则-》=-+， 关键能力·索养提升 因为-1≤f(-1)≤3，所以-3≤3f(-1)≤9. [例题1门国翻周为a,b为正教，a十b=1,所以ab≤（色空艺） 又因为1≤f1)≤5，所以-2≤3f(-1)十f(1)≤14. 故（一2）的取值范围为-2≤f(一2)≤14. 于是品>≥4品>≥8：所以(1+日)(1+7)=1++ 方法三由女” [a-KD+f(-D 2 名+品=1+出+品=1+品≥1+8=9，当仅当a D-f(-D 2 b=合时，等号成立. 则f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). [变式1]证明因为a,b,c为正实数，且a十b十c=1, 因为-1≤f(-1)≤3，所以-3≤3f(-1)≤9， 又因为1≤f(1)≤5，所以-2≤3f(-1)+f(1)≤14. 所以上-1=14_中>2匹>0， aa 故-2≤f(-2)≤14. 所以f(-2)的取值范围为一2≤f(-2)≤14 同理，名-1>2严>0，-12>0 b [变式5]解析因为2<a<3,一4<<-3，所以-2<a十b<0. 由-4<<-3，知3<一b<4,所以6<a(一b)<12,所以 所以（日-（分-）（日-≥2，.2匹= -12<aK-6由3<-6K4,知9<(-b<16,又号< 8,当且仅当a=b=c=号时，等号成立. <片以3 [例题2]解析因为a°十心≥2ab,所以2(a+B)≥(a+b), a 综上，a十b的取值范围为一2<a十b<0,ab的取值范围为 所以v后牛≥号a+b -12<aK-6,名的取值范周为3<仁<8 月理，v于>号叶e.v于≥号e+a. 随堂检测·学以致用 1,A解析因为雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度 所以v后+不+V作+7VP+T≥a++(叶e)+ 的4.5倍还要高，所以4.51<28000.故选A项. 2.A解枥因为M-N=(d-ab)-(ba-B)=(a-b),又a> (c+a)]=√2(a+b+c). b,所以(a一b)>0,即M>N.故选A项. 故√a++√+2+√+a≥2(a+b+),当且仅 当a=b=c时，等号成立. 3D服团由<dK0得-7>->0，d>0,又a>b>0, [变式2]服团周为a>0,6>0,所以“告>√瓜，当且仅当a=b 故由不等式性质，得一号>-名>0，所以号<名所以号 时，等号成立 b<0,即aL<0,所以ac-bd<0,即ac<d.故选 a+b_ dc 因为A-B=W 牛亚-=√“2 2 2 +E-N 4 AD项. +a++6 a+b+2ab 团因为一吾≤a<K受，所以一<号<，一章< 4 且a+B≥2ab>0,所以A-B≥0 号<导两式相加仔一吾<<受又周为一吾<号 所以√艺与且仅a=6时，等号成立 ·291· 2 a干6且a>0,b>0,所以a+b>2a品. 2ab [变式4幻解扬(1)(va+Π+w+3)=a+b+4+2a+· 4 V6肝3<9+2.a百(vF》=9+a+b+4=18. 2 所以0< 1 a+b2√ab 元所以2≤2a a+b 2Jab _=/ab. 所以√a++√+3≤32，当且仅当a十1=b+3且 2 所以而≥上十工，当显权当a=方时，等考成立. a十6=5，即a=子6=受时，等号成立，所以Va币+ +3的最大值为3√2 所以11bN E,当且仅当a=b时， 2 (2)由基本不等式得a2+F=三(2a)(3,√2+F)≤ 等号成立.所以A≥B≥CD. 2红+9+-治+6-19若=当且仅 6 2 答率A>BC>D 26 26 [例题3]服团(D依题意得y=1+}-4>≥2√·-4 当2a=原·V2牛F,即a=2,6=号时，等号成立 一2，当且仅当1=1时，等号成立.脚函：y=1什}-4> 圈a3反24 0)的最小值是一2 [例题5]解析由a>b>c,知a-b>0,a-c>0,b-c>0, (2)依题意，因为>0，y>0,芳+￥=1，所以号+音 所以原不等式等价于日二十公二>m 要使原不等式恒成立，只需二+二的最小值不小于 n即可. y=2时，等号成主，即√写≤1，解得3，所以y的最 所以a二+a=S=a-)+(h-2+a-b)+(h-d a-bb-s a-b b一 大值为3. =2++2+2云层4 a+b 2 a>0, 当且仅当名合名之即26-a十c时，等号成立.所以m≤ 0, 4,即m的取值范围为{m≤4}. a+b-8 [变式5可服团存在0<r<号使得不等式+(m十1)x十m≤ 2 a+b' 等号成立，因光六十品十的最小值为4 一1成立，即存在0长<号使释不等式-m>成 [变式3解析(1)因为x<0,所以-x>0,所以y=x十2云 主所以-m≥（生） -[【-+2a]k-2√0…2=，当且 周为=十=+1+h一1≥， x+1 当且仅当x十1=1，即，x=0时，等号成立，所以一m≥1，解 仅当号时，等号成主所以一巨 得m≤一1.故实数m的取值范围为(mm≤一1}. [例题6们解析(1)由已知可得xy=162,而篱笆总长为x十2y. (2)因为x>3,所以x-3>0, 又x+2≥2√2ry=2/2X162=36,当且仅当x=2y,即 所以y点+十-3)+3≥5，当且仅当 x=18,y=9时，等号成立， 所以莱园的长x为18m,宽y为9m时，可使所用篱笆总长 3=即=4时，等号成立，所以=5 最小 (2)由题意知x+2y=60. （8由a+6=+古-出得ab=l 国为(+号)+20 则日+>2√日×名=-2，当且仅当a- 2 ,b=2时， =1+2y+g+4>5+2√图 /2y×24 x 等号成立所以+号的最小值为22 y =5+2×2=9, [例题4解扬1)周为x>0,y>0,8+1=1. 当且仅当x=y=20时，等号成立， x y 所以+2y-(受+)(+2)=10+号+1≥10+ 所以十号>品-易当且仅喜一y一20时等号成立 x 8+1=1, 所以士+子的暖小值为易 工.16=18，当且仅当 r y jx=12时， [变式6]解析(I)由题意可得，y关于x的函数表达式为y= -16y 即y=3 +0>0 1 等号成立，故当x=12,y=3时，(x十2y)m=18. (2公周为y=+0=（x+10)十。-2≥ (2②)国为>0>0，+=，所以}+号=+ y 片-5++5≥9，当且仅些子脚一 2V号+10)…8-2=4 x y 3y 吉时，￥号成立，故上十的最小值为. 当且仅当号十10)=0即=5时，等号成主， y 所以当x=5时，y有最小值4. ·292· 随堂检测·学以致用 (2)原不等式可化为2.2一x十6>0， 1上D强由题意知a>0,b>0A项中，V函第可化为 因为方程2.72-x+6=0的判别式△=（一1）2-4×2×6< 0,所以函数y=2x2一x十6的图象开口向上，且与r轴无交 a十b>2√ab,缺少两者相等的情况：B项中，因为ab>0,所以 点，所以不等式的解集为R (a十b)>a-bP,所以a十b>a-b成立，所以a>a (3)因为9.x2+6.x+1=(3.x+1)2>0, b-b:C项中，a2十>4ab-3W可化为a2十4>4ab.缺少 两者相等的情说：D项中ab叶品>2√·品-2，>2故 所以原不等式的解集为{女时一吉 (4)原不等式可化为x2-10.x十25≤0，即(x-5)≤0， 选BD项. 所以原不等式的解集为{xx=5. 2B霸周为y为正实数，所以(x十)…(+号)-1十 [例题2]解析(1)当a=0时，不等式可化为x一2>0，解得x> 2,即原不等式的解集为{.xx>2. 4计十≥5+22：-9，收当立-当即y (2)当a≠0时，方程ar2+(1一2a).x一2=0的两根分别为2 r y 2x时，等号成立.故选B项. 和一 3.B解析因为这两年产量的平均增长率为x,所以A(1十 x)2=A(1+a)(1十b),所以(1+x)2=(1+a)(1+b),a>0, ①当a<-合时，解不等式得-日<<2，即原不等式的解 a b>0,所以1+x=V0+a0+万≤0+a)十+b=1+ 2 为-<2： 艺所以<空学，当且仅当1+a=1+6,即a=6时，等号 ②当。=一立时，不等式无解，即原不等式的解条为： 成立.故选B项. D霸易知f)22实-[-D+马]，因 ③当一<a<0时，解不等式得2<<日，即原不等式 2x-2 为-4<x<1,所以x-1<0,所以-(.x一1)>0.所以f(x)= 的解集为2<<： 2-红1)+-D]长-1，当且仅当x-1= 1「 x-1' ④当a>0时，解不等式得<-或x>2,即原不等式的 即x=0时，等号成立.故选D项 解集为{口心-日或>2 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 [变式2]醒扬由于△-1-4a,则当a>时，原不等式无解： 2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（一） 当a<}时，可解得上<<1+@ 2 2 必备知识·基础落实 要点一 综上可知，当a>}时，解集为空集： 一个2 [练习]BC解析A项，当a=0时，不等式ax十x一1<0是一 当a<时，解集为{<r<1 2 元一次不等式，故错误：B项，不等式中含有x和y两个未知 数，所以不是一元二次不等式，故正确：C项，不等式一x一 [例题3]照团由ar+br十c≥0的解集是{女-号<x≤2： 2x十3>0符合一元二次不等式的概念，故正确：D项，不等 式x>0符合一元二次不等式的概念，故错误.故选BC项. 知<0.又(-3)×2=合<0，则c>0, 要点二 x<或x>}{xx≠-a R 又-一子2为方程ar+ba十(=0的两个根， {xx<x<xn4}⑦ 3 [思考]提示当a>0,且△<0时，因为二次函数的图象总在x 2 轴的上方，所以此时的解集为R:而当a<0,且△≤0时，因为 又￡=一 . 二次函数的图象开口向下，且与x轴相切于一点或无交点， 所以此时的解集为空集。 待解不等式支为(-号a)k2+(-号ak+a<0. 关键能力·素养提升 即2.x+5ar-3a>0. [例题1门解析(1)由x2-5.x>6,得x2-5.x一6>0. 又因为a<0,所以2x+5x-3<0. 因为x2一5.x一6=0的两根是=一1和x=6, 所以原不等式的解集为{xx<一1或x>6} 所以所求不等式的解集为{-3<<2}： (2②)4r-4+1<0,即(2x-10<0,则x- [变式3]解析(1)因为不等式ax+3.x-2>0的解集为{x1< x<b,所以方程ax+3.x一2=0的两个根分别为1和b,根 故4r-4+1<0的解集为{=} 据根与系款的关系，得1十6=一豆山=-名，所以。=-1， a (3)由-x2+7x>6,得x2-7x+6<0, b=2.故选C项. 而2-7x十6=0的两个根是0=1和0=6. 答案C 所以不等式x2一7x十6<0的解集为{x1<x<6. (4)原不等式可化为x2-6.x十9<0，即(x-3)<0, (2为r十r十g<0的解条为{-<r<}，所以 所以原不等式的解集为②. [变式1]解扬(1)原不等式可化为2x-3.x一2>0， =一与=是方程 十9=0的两个实数根， 周为2r-3-2=0的两根是西=一号和=2。 1 3 由根与系数的关系可得 解得 所以原不等式的解集为{女《一或>2小。 ·293·