2.1 等式性质与不等式性质（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

数学必修第一册课堂学案 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 [学习目标]L,梳理等式的性质，理解不等式的概念，培养数学抽象的核心素养，2.掌握不等式的性质，发展逻 辑推理和数学运算的核心素养（重点）. 必备知识基础落实 答案见P 要点一不等关系与不等式 2.不等式的基本性质 1.用数学符号“ 4 4 (1)对称性：a>b台 “ ”连接两个数或两个代数式，以表示它们 (2)传递性：a>b,b>→ 之间的不等关系。 (3)可加性：a>b→ 2.含有 的式子，叫做不等式 (4)可乘性：a>b,c>0→ i4>b.c< 3.a≥b即为 :a≤b即为 0→ (5)加法法则：a>b,c>→ 要点二 实数的大小比较 (6)乘法法则：a>b>0,c>d>0→ 实数的大小比较常用作差法，其理论依据是 (7)乘方法则：a>b>0→ a-b>0台 =a<b:a-b=0= 辨析 要点三等式和不等式的基本性质 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” L等式的基本性质 (1)两个同向不等式可以同向相加，所以两个 (1)如果a=b,那么b=a. 同向不等式能够同向相减。 () (2)如果a=b,b=c,那么a=c. (2)在利用不等式的性质时，一定要注意性质 (3)如果a=b,那么a士c=b士c. 的前提条件是否具备。 () (4)如果a=b,那么ac=bc. (3)若a≤b,b<c,则a≤c. () (5)如果a=b,c≠0，那么4=b (4)若4>b,则ac2>b2. 关键能力素养提升 答案见Pm 探究一 用不等式（组）表示不等关系 (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 规律总结 文字 大于、高小于，低 大于等于 小于等于 语言 于、超过 于少于 至少，不低于至多、不超过 (1)将不等关系表示成不等式（组）的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量； 符号 ②用适当的不等号连接： 语言 ③多个不等关系用不等式组表示 ·22· 第二章一元二次函数，方程和不等式 (3)利用不等式表示不等关系时应注意的两点 探究二用作差法比较大小 ①必须是具有相同性质、可以比较大小的两 规律总结 个量才可用不等式来表示，没有可比性的两 个量之间不能用不等式来表示 作差法比较两个实数（代数式）大小的步骤 ②在用不等式表示实际问题时，一定要注意 第一步：作差并变形，其目标应是容易判断差 单位统一， 的符号，变形有两种情形：①将差式进行因式 分解转化为几个因式相乘：②将差式通过配 【例题1】下列说法正确的是 方转化为几个非负数之和，然后判断。 A.某人月收入x不高于2000元可表示为 第二步：判断差值与零的大小关系 “x<2000 第三步：得出结论 B.某变量y不超过a可表示为“y≤a” 【例题2】已知x<-1,比较x3+1与-2.x2一2x C.某变量x至少为a可表示为“x>a” 的大小 D.小明的身高为xcm,小华的身高为ycm, 则小明比小华矮可表示为“x>y” 【变式1】有粮食和石油两种物资，可用轮船和飞 机两种方式运输，每天每艘轮船可运输粮食 300t,石油250t,每架飞机可运输粮食150t, 石油100t.现在要在一天内至少运输2000t 粮食和1500t石油.写出安排轮船艘数和飞 【变式2】已知x∈R,m∈R,比较x2+x+1与 机架数所满足的所有不等关系的不等式组. 2m2+2m.x的大小. 444444444444444+444444444444444 23 数学必修第一册课堂学案 探究三利用不等式的性质证明简单不等式 【变式3】判断下列命题是否成立.若不成立，适 当增加条件使下列命题成立. 误区防错 (1)若a>b,则a≤bc: (2)若ac2>bc2,则a2>, 利用不等式的性质证明简单不等式 的方法及注意点 3若a>6.c>d.则号>名. (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利 用不等式的性质，通过对不等式变形得证 (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况， 直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将 不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件 确定每一个因式（式子）的符号，利用符号法 则判断最终的符号，完成证明 (3)注意点：①记准，记熟不等式的基本性质： ②注意不等式成立的条件，切不可省略条件或 跳步推导，更不能随意构造性质与法则：③为 了说明关于不等式的结论不成立，特殊值法 也是非常有效的方法。 【例题3】判断下列命题是否正确，并说明理由. 【例题4】若a>b>0,c<d<0,e<0,求证： (1)若ac2>b2,则a>b: e (2②若a<0.则2>号： a-c)>(b-d0 (3若>6<dcd≠0，则>治： 4若a<0,则后> 24 第二章一元二次函数，方程和不等式 【变式4】已知u>b>0,e>f,c>0,求证：f 【例题5】设f(x)=a.x2+b.x,且-1≤f(-1)≤ ac<e-bc. 3,1≤f(1)≤5，求f(一2)的取值范围. 【变式5】设2<a<3,-4<b<-3,求a十b,ab, 位的取值范围。 探究四 利用不等式的性质求取值范围 规律总结 利用不等式的性质求取值范围是一类常见的 问题，对于这类问题要注意同向（异向）不等 式的两边可以相加（相减），这种转化不是等 价变形，如果在解题过程中多次使用这种转 化，就有可能扩大其取值范围，所以我们在解 题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体 与已知范国的整体的等量关系，再利用不等 式的性质进行运算，求得待求的范围，这是避 免错误的一个有效途径， ·25· 数学必修第一册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度 3.(多选)若a>b>0,c<d<0,则一定有() 的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t℃，那么 A.ac<bd B.ac>bd t应满足的关系式是 A.4.5128000 B.t<28000 c> C.4.5>28000 D.>28000 2.已知实数a>b,M=a一ab,V=ba一，则M 4已知一晋≤a<≤受，则时的取值范围是 2 与N的大小关系是 。一的取值范围是 A.MN B.M<N C.M=N D.无法确定 提示完成P课时作业（七） 2.2基本不等式 [学习目标]1，掌握基本不等式√a≤0中(a,b>0),发展数学抽象和直观想象的核心素养（重点）.2，结合具 体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，发展逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养 (难点) 必备知识基础落实 答案见Pa 要点一基本不等式 >思考：使用基本不等式求最值时需要注意的三 1.重要不等式：对于任意实数a,b,都有a2十 个条件是什么？ 2ab,当且仅当 时，等号成立 2.基本不等式：对于任意 a,b,都有 ,当且仅当 时，等号成立 3.几何平均数与算术平均数：对于两个正数a,b, √ab叫做a与b的几何平均数，叫做a与 2 辨析 b的算术平均数 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 4用文字语言表述基本不等式，历<艺为 (1)基本不等式中的a,b可以是任意值为正数 的代数式 () (2)两个正数的积为定值，它们的和一定有最 要点二 应用基本不等式求最值 小值 () 如果x,y都是正数，那么 (3)在重要不等式中，“当且仅当a=b时，等号 (1)如果积xy等于定值P,那么当 成立”的含义是“a=b”是等号成立的等价 时，和x十y有 条件 () (2)如果和x+y等于定值S,那么当 (4)多次使用基本不等式时，等号一定可以 时，积xy有 取到. () ·26·(2)不等式m一f(x)0,可化为nf(x),若至少存在一个 并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”,所以“小迪是巴布亚企 实数x使不等式m>f(x)成立,只需m>f(x)n. 鹅”是“小迪会游冰”的充分不必要条件,故选B项. 又f(x)=(x-1){}+4,所以f(x)=4,所以m 4 警(1)B(2)B 所以所求实数m的取值范围为mm4). [真题4]ACD命题“VxR,使得3”中含有“V” [变式3]解易知全称量词命题“对于任意xR,x*十ar十 所以是全称量词命题,故A项正确,B项错误;方程2r{= 10”的否定形式为“存在xER,r十ar十1<0” 5x-2的解是x-或x=2,故C项正确;命题的否定既要 由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形 式的命题是真命题 改变量词“V”和“当”,又要否定结论nr*,故D项正确,故 选ACD项. 由于函数f(x)一r^{}十ax十1的图象开口向上,借助二次函 数的图象(图略)易知,△-a^{}-4>0,解得a<-2或a>2 第二章 一元二次函数、方程和不等式 所以实数a的取值范围是(ala-2或a2). 随堂检测·学以致用 2.1 等式性质与不等式性质 1.D 由于所给的等式对任意a,bER均成立,所以D项 必备知识·基础落实 正确,故选D项。 要点一 2.C 解全称量词命题的否定是存在量词命题,故C项正确. 1. ) 故选C项. 2.不等号 3.D 翻A项中对量词处理不当,且没有否定结论;B项中没 3.>b或a-ba<b或a-b$ 有否定结论;C项中对量词处理不当;D项正确,故选D项. 要点二 4.BD A项中,锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称 ba-b<0 a=b 量词命题;B项中,x-0时,r}-0.所以B项既是存在量词命 要点三 题又是真命题:C项中,因为3十(一③)一0.所以C项是假 2.(1)ba(2)a>e (3)a+c>b十c (4)ac>be acbe (5)a+c>b+d (6)ac>bd (7)a”>>o(nEN,n2) [辨析]腿(1)×(2)(3)×(4)× 词命题又是真命题,故选B)项 关键能力·素养提升 章末复习方案 [例题1]B 解对于A项,某人月收入x不高于2000元可 表示为x2000,错误;对于B项,某变量y不超过a可表 [真题1]解析(1)由题意可得M一(2,4,5),对比选项知,A项 示为ya,正确;对于C项,某变量x至少为a可表示为x 正确,B.C.D项错误.故选A项. a,错误;对于D项,小明的身高为xcm,小华的身高为ycm. (2)由题意可得MUN-xx2),则C(MUN)=xlx 小明比小华矮可表示为1y.错误,故选B项. 2),故A项正确;CM-{xlx1,则NU(CM)-xx [变式1]设需安排x艘轮船和y架飞机, 32010071500,即 300.x+150y2000. 一1,故B项错误;MON=(xl-1<x1),则C(MON) [6x+3y40. -1或x1),故C项错误;CN-{xlx-1或 5.r+2y30. 则 r0.xN. 2 .则MU(CN)-xlx1或x2),故D项错误.故选A项 r>0,xN. y0.yN. (3)因为整数集Z-{xlx-3k,k乙Uxlx=3+1, 0.yCN. $=3k+2,EZ,-Z,所以C(MUN)=xlx=3k, [例题2]解同+1-(-2r-2x)-+2+2x+1 乙.故选A项. =(+^)+(+2x+1)=(x+1D)(r++1 (4)由A二B可得,若a-2-0,解得a-2,此时A-(0,-2. #+1)[()+]# B-(1,0,2,不符合题意;若2a-2-0,解得a-1,此时A- (0.一1,B-(1,-1,0,符合题意,故a-1.故选B项 . 因为x-1,所以x十1<0. 又因为(+)+3→0 答案(1)A(2)A (3)A(4)B [真题2]解(1)由题设得A⑧B-(0.1.2,故1EAB,且共 所以(x+1)[(+){}3]]<0. 有3个元素,故子集有8个,故A,D项正确,C项错误;A A-(-1,0,1),则(A⑧A)⑧B--2.-1,0],而A⑧(A⑧ 所以+1<-2-2x. B- -2.-1.1,2.3,显然(A⑧A)⑧BA(AB).B项 [变式2]解砺因为×+x+1-(-2n+2m) 错误,故选AD项. #2-)-(211)△20 1 --(2n-1)r+2n+1 (2)结合差集的定义,由集合A-4,5,6,7,9),B-(3,5,6. 8.9),得B-A-3,8),故A项错误;集合A-xlx-1 或$3),B- x-2 x4 ,则A-B-xl-2或$ 4,故B项正确;若ACB,则对于任意xA,都有xB,所 #-+)}(1+)#}+→0 以xA且xB一,即A一B-,故C项正确:由题 设中全集U、集合A,B的关系图可知,根据集合的新定义, 集合A一B所表示的区域即为集合AO(C.B)表示的区域, 所以+x+1-2n+2nx. 即A一B-AO(C.B),故D项正确.故选BCD项. [例题3](1)正确,因为acb^*,所以子0且c0,所 (1)AD(2)BCD 以a>b. [真题3]解(1)由a-,得a-士b,当a=-b-0时,a”+= (2)错误,因为ab0,即-a-b0,所以一 $b不成立,充分性不成立;由a{}十一2ab,得(a一b){}-0. (-a-60. 即a一b,显然a}一成立,必要性成立,所以“a一”是“a^十 一2ab”的必要不充分条件,故选B项. (2)会游泳的鸟有很多种,巴布亚企鹅是其中的一种,则“小 迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”,但“小迪会游泳” .290. 2 [变式3](1)不成立,原命题改为“若ab且c<0,则 ac<b”,即增加条件“c0”. (2)不成立,由ac}b^}可得a→b,但只有b→0时,才有 r,即增加条件“>0”。 2.2 基本不等式 必备知识·基础落实 0),因此可增加条件“0,d0” 要点一 [例题4面明因为cd<0,所以-c-d>0. 1.a-b 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0, 2.正数 vah<a+b - 所以(a-c)>(b-d)>0. 1 4.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 要点二 。 )( 又因为e<0,所以 (1)x-y 最小值2vP (2)-y最大值 [变式4]面明因为ab,c0,所以ac>bc,即一ac<-bc.又 f,即f<e,所以f-ace-bc。 [思考](1)一正:符合基本不等式hVab成立的前提 2 [例题5]解析方法一f(一1)一a-b. f(1)-a+b.f(-2)-4a-26. 条件,即a>0,b0. 设f(-2)=nf(-1)+nf(1). (2)二定,化不等式的一边为定信 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b)-(m+n)a-(m-n)b. (3)三相等:必须存在“一”成立的条件。 [mn4解得{ {m-3则f(-2)-3f(-1)十/(1). [辨析](1) (2)X(3)(4)× 于是{-n一2 n-1. 关键能力·素养提升 因为-1<f-1) 3,所以-3 3f-1) 9. [例题1]因为a,b为正数,a十b-1,所以aáb<(“)第- 又因为1</1) 5,所以-2<3/-1)+f1)<14 故/(-2)的取值范围为-2</(-2) 14. [a-bf(-1)得 [f(1)+/(-1) # 方法二 由 {+ la十6-/(1). f(1)-f(-1) -时,等号成立. 则f(-2)-4a-2b-3f(-1)+f1). [变式1]匪明因为a,b,c为正实数,且a十b十c=1, 因为一1<f(-1)<3,所以-3<3/(-1) 9. 所以-1-1-20. 又因为1f1)<5,所以-2<3f-1)+f1)<14 d n n 故-2<f(-2)<14. 所以f(-2)的取值范围为-2f(-2) 14 -0 [变式5]因为2<a<3,-4<-3,所以-2<a+0. 由 4 b -3,知3<-b<4.所以6<a(-b) 12,所以$$ 所以(-1)(-1)(-1)2.22 / 8,当且仅当a-)-c-时,等号成立。 #$<1,所以3一#8.# [例题2]解因为a+b>2ab,所以2(a+)>(a+b). 综上,a十b的取值范围为-2<a十b<0,ab的取值范围为 随堂检测·学以致用 所以++→#(a+b)十(e)+ 1.A 解因为雷电的温度大约是28000C,比太阳表面温度 的4.5倍还要高,所以4.5t28000.故选A项. 2.A 解因为M-N=(a-ab)-(ba-)-(a-b),又a> (c+a)]-/2(a+b+c). 故++V6十++a→②(a+b),当且仅 b.所以(a-b)0,即MN.故选A项. 当a一b-c时,等号成立。 3.AD解由c<d<0得一 [变式2]因为a→>0,b>0,所以bab,当且仅当a-b 2 时,等号成立. ##<o.即ac-bd<o,所以ac-bd<o.即ac<bd.故选 因为A-B- /(十b) dc 2 2 AD项. +^十十 /+十2ab 4.因为一<<,所以-<<,-<# 4 且a+>2ab>0,所以A-B>0. #,当且仅当a-b时,等号成立。 所以 2 ·291·