1.3.1 并集与交集（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章 集合与常用逻辑用语 【例题3】(1)已知M-a-3,2a-1,a*+1,N- 【变式3】(1)#知A-{-<<2h B-(xr -2,4a-3,3a-1,若M-N,求实数 的值. 13.A-B.求实数的值 (2)若集合A-{x|r+x-6-0),B= xl (2)已知集合A-x-3< <4 ,B= x 2m-1<xm+1,且BCA,求实数m满足 r*+x十a=0,且BCA,求实数a满足的 的条件. 条件. 随堂检测学以致用 答案见Pat 1.已知集合A--1,0,1,则下列关系中正确 4.若集合A=1,4,x,B=(1.:且BCA,求 的是 ( ) x的取值集合 A.ACA B.0A C./0)-A D.A 2.已知集合A=1,B=(1.2.3),则满足条件 ( ACC二B的集合C的个数为 ) A.1 B. 2 C.3 D.4 3.设a,bER,集合1,a+b=0,,则6 l提示 完成Ps课时作业(二) 1.3 集合的基本运算 1.3.1 并集与交集 [学习目标]理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集,提升数学抽象和直观想象的核 心素养(重难点). .7. 数学 必修 第一册 课堂学案 必备知识基础落实 答案见P 要点一 并集、交集的概念及表示法 并集的运算性质 交集的运算性质 A= 符号语言 A- 名称 文字语言描述 Venn图表示 表示 ACBAUB= ACB-AOB= 对于两个给定的集 A(B)C(AUB) (ACB)CA(B) 合A.B,由 AUB- 集 的元 辨析 素组成的集合 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” 对于两个给定的集 AB (1)并集中的“或”与生活用语中的“或”是同样 合A,B,由 A□B- 的含义. 的元 素组成的集合 (2)交集概念中的“且”即是“同时”的意思 , 要点二 并集与交集的运算性质 (3)若两个集合A与B没有公共元素,则A,B 并集的运算性质 交集的运算性质 没有交集. AUB BUA AB_ BOA (4)两个集合A与B没有公共元素时,不能说 AUA- A□A- 两个集合没有交集,而是AOB一.( ) 关键能力素养提升 答案见Pr 探究一 集合的并集运算 (2)(2021·北京)已知集合A-(x-1< x1,B-x0x2,则AUB-( ) 规律总结 A.x-1x2 B.x-1x2 求集合并集的两种方法 C.(x0x1 (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以 D. x0x2 直接利用并集的定义求解 (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由 实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求 解,此时要注意集合的端点能否取到 【例题1】(1)(2022·浙江)设集合A=1,2). B-2,4,6,则AB- ( ) A.2 【变式1】已知集合M-0,1,3,N-xx-3a. B.1,2{ ( aGM,则MUIN- C./2,4,6 A./0) B.(0,3 D. 1,2,4.6 C.(1,3.9) D. 0.1,3,9 .8. 第一章 集合与常用逻辑用语 探究二 集合的交集运算 探究三 并集和交集性质的应用 规律总结 解题技巧 求交集的常见类型 利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)若集合A,B的元素是方程的根,则应先 (1)在利用集合交集,并集的性质解题时,常 解方程求出方程的根后,再求两集合的交集 常会遇到AOB-A,AB-B等这类问题, (2)若集合A,B的元素是有序数对,则AOB 解答时常借助于交、并集的定义及集合间的 是指两个方程组成的方程组的解集,交集是 关系去分析,如AOB-A-ACB,AUB 点集。 BACB等,解答时应灵活处理。 (3)若集合A,B是无限数集,可以利用数轴 (2)当集合B二A时,如果集合A是一个确定 来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含 的集合,而集合B不确定,运算时要考虑B一 有端点的值用实心点表示,不含有端点的值 的情况,切不可遗漏. 用空心圈表示, 【例题3】已知集合A=xx-1或x4,B= 【例题2】(1)(2023·新高考I改编)已知集合M x 2a xa+3),若AUB-A,求实数a的 -2,-1,0,1,2,N=(xlx<-2或x3). 取值集合C. 则MON- ( ) A.-2,-1,0.1 B./0.1,2 C./-2 D.[2 (2)(2023·北京)已知集合M=xx十2 0).N-(xx-1<0,则MON- _ A.(-2<x<1 B(l-2r<1) C.(xx-2) D.(xlx<1 【变式3】设集合A-x2a+1 x 3a-5 ,B= x 3 x<22,求使AC(AOB)成立的a的 取值集合. 【变式2】(1)已知集合P-0.1,2),Q-1,2. ( 3.则POQ- ) A./0 B.10.3 C./1,2) D. /0.1.2.3) (2)已知集合A-1.2,3,5.7,11).B-xl3 x15,则A0B中元素的个数为 -_ ) A.2 B.3 C.4 D.5 .9. 数学 必修 第一册 课堂学案 合AB的所有元素之和为 探究四 集合中的新定义问题 ) A.0 B.66 C.70 解题技巧 D. 72 集合新定义问题的求解技巧 准确理解题意对解决新定义问题是至关重要 的,解决此类问题可按以下步骤进行:利用信 息→理解定义→转化为已掌握的知识 【变式4】定义集合A-B-xxA且xB,若集 【例题4】定义集合运算:AB一(c=xy(x十y). xA.yEB.设A-1,2),B-0.1,2,3),则集 集合A-B- 随堂检测学以致用 答案见Pg 1.设集合A=x1<x<3,B=2<<4 . (1)若AOB一B,求实数a的取值范围; 则AUB- _ f (2)若AUB一B,求实数a的值 A.xl2<x3 B.x|2<x<3 C.x14 D. x1x4) 2.(2022·全国乙)集合M-2,4,6,8.10).N x -1 x6,则MON _ A.(2,4) B.(2,4,6 C.(2,4.6,8) D./2,4,6,8.10 3.设A.B是非空集合,定义AxB-x lxE(AU B且x(AB),已知A=xl0 3),B 1 yly1),则A*B= ) A. x1<x3 Bx1<r3 C.xl0r<1或x3 D. x0x1或x3 4.设A-xlx+4x=0 ,B-xr+2(a+1) a-1-0. l提示 完成P.课时作业(三) 1.3.2 补集 [学习目标]1.在具体情境中,了解全集的含义,强化数学抽象的核心素养,2.理解在给定集合中一个子集的补 集的含义,能求给定子集的补集,培养数学运算的核心素养(重).3.能使用Venn图表达集合的基本关系与 基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用,强化直观想象的核心素养. .10.3.C 解A.B,D项表示的集合都是(1》,而C项表示含有一 ③当△-1-4a>0,即a<时,若B二A,则B=(-3.2》, 个方程的集合,故选C项. 4.ABD原方程组的解为x一1,y一2,其解集中只含有一 所以a--3X2--6. 综上,实数a满足的条件为a>士或a--6. 个元素,可表示为A,B.D项,C项不符合,故选ABD项. 1.2 集合间的基本关系 随堂检测·学以致用 必备知识·基础落实 1.D“C”用来表示元素与集合之间的关系,故A,C项错 误;“二”用来表示集合与集合之间的关系,故B项错误;而 要点一 任意一个 二rB且xA 二 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故D项正确. 故选D项. ACB.且BCA 2.D 因为集合A-1),B-{1,2,3,所以当满足条件 要点二 ACB时,集合C中一定含有元素1,所以集合C可以为 1.不含任何元素 (1.(1,2),1,3,(1,2,3),故集合C有4个.故选D项。 2.子集 真子集 3.由{1,a+b}=0,b知a+b=0,且b-1,所以a=-1. [思考](1)符号“二”表示集合与集合之间的包含关系,而 b-1,所以b-a-2. 符号“C”表示元素与集合之间的从属关系。 智翻2 (2)(0)是含有一个元素0的集合,②是不含任何元素的集 4.因为BA,所以^*-4或r^*-x,解得x-士2或x -1$ 合,因此②二(0),而②)是含有一个元素的集合. 或r一0.经检验,当r一1时,不满足元素的互异性,故工的取 要点三 值有一2.0,2.所以x的取值集合为-2.0.2. 1.子集 ACA 2.ACC 1.3 集合的基本运算 [辨析]醍(1)×(2)X(3)×(4) 关键能力·素养提升 1.3.1 并集与交集 [例题1]解析(1)集合A的元素是数,集合B的元素是有序实 必备知识·基础落实 数对,故A与B之间无包含关系。 要点一 (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相 所有属于集合A或属于集合B xxA,或xEB 等的三角形,故A二B. 所有属于集合A月属于集合B rxA,目xB (3)集合B-{x|x5,用数轴表示集合A,B,如图所示,由 要点二 图可知AB. =-AAA& BA [辨析]题(1)X(2)(3)X(4) 关键能力·素养提升 [例题1](1)AUB-(1,2)U(2,4.6-1,2,4.6).故选 (4)由列举法知M-(1,3.5.7...),N-(3,5,7.9...). 故N二M. D项 (2)在数轴上表示出集合A,B.如图所示 [变式1]AC 集合M,P表示被3除余1的整数集,集合 S表示被6除余1的整数集,且6是3的倍数,所以A项和 C项正确,故选AC项. 由图可知AB-{x|-1x2).故选B项 [例题2]解由题设可知,一方面A是集合a,b,c,d的子集, 智(1)D(2)B 另一方面A又真包含集合{a,,故集合A中一定含有两个 [变式1]D因为M-0,1,3,N-xx-3a,aM),所 元素a,b,且含有c,d两个元素中的一个或两个.故满足条 以N-0,3,9),所以MUN-0.1.3)U(0.3.9-0.1,3 件的集合有(a,b,c).a,b,d,a,b,c,d). 9.故选D项. [变式2]C 翻因为集合N中有3个元素,所以真子集的个 [例题2]解析(1)由题意可得MON一(一2).故选C项 数为2-1-7.故选C项. (2)集合M-xlx+2>0)-{xx>-2,集合N-rx [例题3]解(1)因为M-N,则(a-3)+(2a-1)+(a*+1) 1 0 -{xlx1,在数轴上表示出集合M,N,如图所示. -2+(4a-3)+(3a-1),即a-4a+3-0,解得a-1或 1 a-3. 当a-1时,M--2,1,2),N- -2.1,2),满足M-N; 由图可知MON-(x -2x1).故选A项 当-3时,M-(0,5.10),N-(-2,9,8),不满足M-N 答(1)C(2)A 故实数a的值为1. [变式2]解析(1)由题意可得P0Q-(1,2.故选C项. (2)由题意知B二A. (2)由题意得A0B-{5,7,11),所以A0B中元素的个数为 ①当B-时,m+1<2m-1,解得m>2; 3.故选B项. (-3<2n-1. (1)C(2)B ②当B≠时,有n+1<4. 解得-1<m2 [例题3]解因为AUB-A,所以BCA. m+1>2n-1. 当B-时,只需2a>a十3,即a3; 综上可知,n满足的条件是n一1. 当B时,根据题意作出如图所示的数轴. (2-3. #A# ##一1## [变式3]解析(1)因为A一B,所以 解得-. 20 +3-1 (2)A--3,2).对于r十r+a-0. □□ ①当△-1-4a<0,即a-时,B=,BCA成立; 4 2+3 {+32a·解得a<-4或2< 由图可得 ②当△-1-4a-0,即a-时,B-{ -),BA不 3. 成立; 综上,实数a的取值集合C为ala<-4或a2). ·287· [变式3]解析由AC(A0B),得ACB. C(AB-xl-2或2< 5. ①若A-,则2a+1>3a-5,解得a 6;$ (A)B-xl-3<-2或23. (2a+1<3a-5. [变式2]解A0B-(4),AUB-3,4,5,7,8. ②若A≠,则{2a十1>3, 解得6a9. 因为CA-(1,2,6,7,8),B-(1,2,3,5,6). 3-5<22. 所以(fA)O(f+B)-1.2.6),AO(CB)=3,5) 综合①②可知,使AC(AOB)成立的a的取值集合为 (fA)UB-1,2.4.6.7,8. aa9. [例题3]由题意可得CB=x x<1或x2,又A [例题4]B 由题意知,当x-1时,y=0,1,2,3,所以 (B)一R,用数轴表示如图所示。 $.2,6,12;当x-2时,y-0,1,2,3,所以 -0,6,16,30.故 AB-(0.2.6.12,16,30),所以所有元素之和为66.故选 B项. 所以a的取值范围为ala二2》. [变式4]易知A={×x>,B={x<2),故A- [变式3](1)因为U=R,A=x1<8,B-xl2<9). 所以AUB-{xl1<r<),CA-xlr1或x8, B-x:2. 所以(CA)B=xlx1或x8xl2<x<9]-l 答(xx>2 89 随堂检测·学以致用 (2)因为AOC亡,所以a<8,所以a的取值范围为 1.C 福由题意知A-xl1 3,B=xl2 x4,由并 aa8. 集的定义知AUB-{xl1<x<4.故选C项. 随堂检测·学以致用 2.A 霸由交集的定义结合题意可得MON一{2,4).故选 1.B 由题意知A-2,所以lA-xN|x2.故选 A项. B项. 3.C 由题意知,AUB-xx>0,AOB=xl1<x3. 2.A 由题意可得CeN-(2,4,8),故MU(CeN)-(0,2. 所以A*B-xl0 x1或x3).故选C项. 4.6,8.故选A项. 4.解由题意可得A一(0,一4. 3.CD 解因为1P,1Q,所以P不是Q的子集,所以A (1)因为AOB-B,所以B二A 项错误;因为POQ-2.3二P,所以B项错误,C项正确:因 ①若0B,则a*-1-0,解得a-士1. 为Q-xlx2或x3,所以(CQ)OP=1Q,所以 当a=1时,B-(xl+4.x-0-A; D项正确.故选CD项. 当a--1时,B-(0)二A. 4.易知lB-xx2m),要使AC(CB),则2m 2,所 ②若-4-B,则a*-8a+7-0,解得a-7或a-1. 以n1. 当a=7时,B-lx+16xr+48-0 - -12,-4,不是A m1 的子集; 1.4 充分条件与必要条件 当a-1时,B-A. ③若B-,则△-4(a+1)-4(a-1)0,解得a -1. 必备知识·基础落实 综上所述,a的取值范围是(ala<-1或a-1》. 要点一 (2)因为AUB-B,所以ACB. 1.(1)→充分必要 充分必要 因为A-(0,一4,而B中最多有两个元素,所以A-B. 2.) 充要条件 即a-1. [练习]醍(1)①②→ (2)不唯一,例如“x1”是“x一0”的充分条件,也可以是 1.3.2 补 集 “2”“r3”或“2<x3”等. [辨析](1)(2)X(3)X(4) 必备知识·基础落实 要点一 关键能力·素养提升 所研究问题中涉及的所有元素 U [例题1](1)取a--1满足-<1.但得不到a>1,所以 要点二 a③;利用不等式的性质,对a一1两边同除以a,不等号方 不属于ACAxxEU.且xA 向不改变,所以③a.所以a是3的必要不充分条件。 [辨析]提示(1)× (2)×(3)(4)(5)(6)× (2)因为#~<1,可取x-,而→0,不满足<0,所以 关键能力·素养提升 [例题1门(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图 a→B,Ba.所以a是的充分不必要条件。 所示,由补集的定义可得fA={xl-3<x-2或1<x (3)因为AOB=A→ACB→AUB=B.所以→③;而AU 3.故选D项. B-B→A二B→AOB-A,所以3→a.所以a是B的充 要条件。 -3-2-101231 (4)若a为2-3,却没有4>9,所以a③;若8为(-3) (2)A-(1,3,5,7).A-2,4,6,所以U-1.2.3,4,5. 2*,却没有一32,所以Ba.所以a是B的既不充分也不 6.7).又CB-1,4.6),所以B-(2.3,5.7. 必要条件. 智翻(1)D(2)/(2,3.5.7) [变式1]B 解若a>2且b2,则a+b4,但当a-4,b-l [变式1]解(1)由A-(1,3,5,6),U-1,2,3,4,5,6,7),得 时也有a十b4,故“a十b4”是“a2且2”的必要不充 lA-(2,4,7).故选C项 分条件,故选B项. (2)因为A-C(CA)-(0,3),所以3十m·3-0,解得 [例题2]匪明①充分性:因为a十b-1,所以b-1-a, 所以a+b+ab-a--a+(1-a)*+a(1-a)-a^- n二-3. 智翻(1)C(2)-3 ($1-a)-a+1-3a+3a-+a-a-a-1+2a$ 一0. [例题2]解析如图,把全集U和集合 即a++ab-a--0. A,B表示在数轴上,由图可知, ②必要性:因为a^++ab-a}--0. lA-{l<-2或2<5. 所以(a十b)(a-ab十b)-(a-ab十)-0. AB-(l-2<x<2. -3-2 所以(a-ab+)(a+b-1)-0. ·288·