1.2 集合间的基本关系（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语 1.2集合间的基本关系 [学习目标]1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，提升数学抽象和直观想象的核心素 养（重点），2.在具体情境中，了解空集的含义，提升数学抽象的核心素养（易混点）， 必备知识基础落实 答案见P 要点一 子集、真子集、集合相等的概念及 2.规定：空集是任何集合的 ,空集 表示法 是任何非空集合的 概念 定义 符号表示 图形表示 >思考：(1)符号“二”与符号“∈”有什么区别？ 如果集合A中 ⊙ (2){0},0,{0}之间有什么区别与联系？ 元 (或B 子 素都是集合B A),读作“A 集 中的元素，就称 包含于B” B(A) 集合A为集合 (或“B包含 B的子集 A") 如果集合A三 真 B,但存在元素 B(或 子 A) 集 就称集合A是 要点三子集的有关性质 集合B的真子集 1.任何一个集合是它本身的 ,即 集 如果 2.对于集合A,B,C,如果ACB,B二C,那么 合 ,那么就说 B 相 A网 集合A与集合 辨析 婚 B相等 判惭正误，正确的画“/”，错误的画“×” 在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表 (1)空集中不含任何元素，所以心不是集合： 集合，这种图称为Venn图，如表中右列的图形. 要点二空集 (2)符号“二”和“”表示相同的含义.() (3)集合{0}与⑦是相等集合。 1.定义：一般地，把 的集合叫做空集， 用符号 (4)子集具有传递性 ( 表示 关键能力素养提升 答案见P 探究一 集合间关系的判断 (2)集合元素特性法：首先确定集合的代表元 解题技巧 素是什么，弄清集合元素的特性，再利用集合 元素的特性判断关系.一般地，设A=《x 判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列 p(x)},B={x|q(x)},若由p(x)可推出 出集合中的全部元素，通过定义得出集合之 q(x),则A二B:若由q(x)可推出p(x),则 间的关系 B二A:若p(x),q(x)互相可以推出，则A=B: 数学必修第一册课堂学案 若由p(x)推不出q(x),由q(x)也推不出 探究二集合的子集和真子集 p(x),则集合A,B无包含关系 规律总结 (3)数形结合法：利用数轴或Venn图表示出 集合，再观察图形判断关系】 (1)假设集合A中含有n个元素，则①A的 子集的个数为2：②A的非空子集的个数为 【例题1】指出下列各对集合之间的关系. 2一1：③A的真子集的个数为2一1：④A的 (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1), 非空真子集的个数为2”一2. (1,-1),(1,1)}: (2)求给定集合的子集的两个注意，点：①按子 (2)A={xx是等边三角形，B={xx是等 集中元素个数的多少，以一定的顺序来写： 腰三角形}： ②在写子集时注意不要忘记空集和集合 (3)A={x|-1<x<4},B={xlx-5<0}: 本身 (4)M=xx=2n-1,nEN),N=xlx= 2n+1,n∈N°}. 【例题2】写出满足{a,b}至A二{a,b,c,d}的所有 集合A. 【变式2】已知集合N={1,3,5},则集合N的真 子集个数为 A.5 B.6 C.7 D.8 探究三 已知集合间的关系求参数 高考拓展 (1)根据集合间的关系求参数范围的步骤：①化 简所给集合：②用数轴表示所给集合；③列出 不等式解集端点之间的关系；①解不等式。 【变式1】（选）集合M={xx=3k-2,k∈Z, (2)A二B包含三种可能：①A为⑦：②A不 P=(yly=3n+1,nEZ),S=(zlz=6m+1, 为0，且AB:③A不为0，且A=B.只写其 m∈Z)之间的关系是 中一种是不全面的，如果A,B是确定的，就 A.SP B.S=P 只能有一种可能，此时只能写出一种形式 C.P=M D.MS 第一章集合与常用逻辑用语 【例题3】(1)已知M={a-3,2a-1,a2+1},N {-2,4a-3,3a一1}，若M=N,求实数a 【变式31已知A=女k-长<2，B=✉ 的值. 1≤≤3}，A=B,求实数k的值， (2)已知集合A={x|一3<x<4},B={x (2)若集合A=《xx2十x-6=0},B={x 2n一1≤x≤m十1}，且B二A,求实数m满足 x2+x+a=0},且B二A,求实数a满足的 的条件. 条件 444444444444 随堂检测学以致用 答案见P 1.已知集合A={一1,0,1}，则下列关系中正确 4.若集合A=(1,4,x,B=(1,x2},且B二A,求 的是 x的取值集合 A.A∈A B.0=A C.{0}∈A D.A 2.已知集合A={1},B=1,2,3,则满足条件 A二C二B的集合C的个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 3.设a,b∈R,集合{1，a+b}={0,b},则b一 a= 提示完成P课时作业（二） 1.3集合的基本运算 1.3.1并集与交集 [学习目标]理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，提升数学抽象和直观想象的核 心素养（重难点）. 73.C解析A,B,D项表示的集合都是{1》，而C项表示含有一 ③当△=1-4a>0,即a<4时，若BCA,则B=-32, 个方程的集合，故远C项， 4.ABD解析原方程组的解为x=1,y=2,其解集中只含有一 所以a=一3×2=一6. 个元素，可表示为A,B,D项，C项不符合.故选ABD项 综上，实数口满足的条件为a>或a=-6. 1.2集合间的基本关系 随堂检测·学以致用 必备知识·基础落实 1.D解析“∈”用来表示元素与集合之间的关系，故A,C项错 要点一 误；“”用来表示集合与集合之间的关系，故B项错误：而团 任意一个二三x∈B,且x任A至星 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故D项正确. 故选D项 ACB.且BSA 2.D解扬因为集合A=1},B={1,2,3},所以当满足条件 要点二 A二C二B时，集合C中一定含有元素1，所以集合C可以为 1.不含任何元素心 {1,{1,2},{1,3},{1,2,3},故集合C有4个.故选D项. 2.子集真子集 3.解析由{1，a十b}={0,b知a十b=0,且b=1.所以a=一1， [思考]提示(1)符号“二”表示集合与集合之间的包含关系，而 b=1,所以b-a=2. 符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系. 答率2 (2){0}是含有一个元素0的集合，⑦是不含任何元素的集 4.解扬因为B二A,所以x=4或x2=x,解得x=士2或x=1 合，因此心二{0)，而{是含有一个元素0的集合. 或x=0.经检验，当工=1时，不满足元素的互异性，故x的取 要点三 值有一2,0,2.所以x的取值集合为{一2,0,2. 1.子集ACA 2.ACC 1.3集合的基本运算 [辨析]提示(1)×(2)×(3)×(4)/ 关键能力·素养提升 1.3.1并集与交集 [例题1门解析（门）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实 必备知识·基础落实 数对，故A与B之间无包含关系， 要点一 (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相 所有属于集合A或属于集合B{xx∈A,或x∈B) 等的三角形，故A丢B 所有属于集合A且属于集合B{xx∈A,且x∈B (3)集合B={xx<5},用数轴表示集合A,B,如图所示，由 要点二 图可知AB. =AAA②BA [辨析]提示(1)×(2)√(3)×(4)√ 2101234 关键能力·素养提升 (4)由列举法知M=1,3,5,7,…},V=(3,5,7,9,…}, 例题1解析(1)AUB={1,2)U{2,4,6}={1,2,4,6.故选 D项. 故NM. (2)在数轴上表示出集合A,B,如图所示 [变式1门AC解析集合M,P表示被3徐余1的整数集，集合 S表示被6除余1的整数集，且6是3的倍数，所以A项和 C项正确，故选AC项. 由图可知AUB={x一1<x2.故选B项. [例题2]解折由题设可知，一方面A是集合{a,b,c,d}的子集， 答累(1)D(2)B 另一方面A又真包含集合{a,b},故集合A中一定含有两个 [变式1]D解扬因为M={0,1,3},N={xx=3a,a∈M0,所 元常a,b,且含有c,d两个元素中的一个或两个.故满足条 以V={0,3,9},所以MUN={0,1,3}U{0,3,9}={0,1,3, 件的集合有{a,b,c.{a,b,d},{a,b.c,d}. 9}.故选D项. [变式2]C解析固为集合N中有3个元素，所以真子集的个 [例题2]解析(1)由题意可得M∩N=(一2.故选C项. 数为2一1=7.故逸C项. (2)集合M={xx十20)={xx≥-2}，集合N={xx [例题3]解析(1)因为M=N,则(a一3)+(2a-1)+(a+1)= 1<0}={xx<1},在数轴上表示出集合M,N,如图所示. -2+(4a-3)+(3a-1).即a2-4a+3=0,解得a=1或 a=3. 当a=1时，M={-2,1,2},N=(-2,1,2),满足M=N: 由图可知M∩N={x|-2≤x<1》.故选A项. 当a=3时，M=(0,5,10),N={-2,9,8},不满足M=N. 答案(1)C(2)A 故实数a的值为1. 变式2]解析(1)由题意可得P∩Q={1,2.故选C项. (2)由题意知B二A. (2)由题意得A∩B={5,7,11},所以A∩B中元素的个数为 ①当B=0时，m+1<2m-1.解得m>2: 3.故选B项. 〔-3<2m-1, 系(1)C(2)B ②当B≠0时，有{m+1<4, 解得-1<m≤2. [例题3]解析因为AUB=A,所以B二A. m+1>≥2m-1, 当B=☑时，只常2a>a+3,即a>3: 综上可知，川满足的条件是m>一1. 当B≠☑时，根据题意作出如图所示的数轴。 1,解得= 2k=3, B☐A [变式3]解扬(1)因为A=B,所以 2 2+3-1 (2)A=(-3,2).对于x2十x十a=0, AB口 ①当4=1-4a<0,即a>寸时，B=0,BCA成立： 42n+3 ②当△=1-4如=0，即a=子时，B={-},BCA不 由周可释{侣十822x侣太.20舞释a<-4或2< a3. 成立： 综上，实数a的取值集合C为{aa<一4或a>2. ·287·