第三章 函数的概念与性质 综合测评（配套试卷）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第三章综合测评 答案见P (时间：120分钟满分：150分) 四 题号 二 15 16 17 18 19 总分 : 得分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） L.函数y= 3x () 驶 w2x2-1 十(x一5)°的定义域为 地 A{>,且x≠5 c>号我心 D>或<，且x5 2.下列函数是偶函数且在区间（一∞，0）上单调递增的是 A.y=2x B.y=1 C.y=lxl D.y=-x2 训 长 3.函数f(.x)=√x的图象大致为 -2-1123 2-10123x -2-1(0 123 2-1d123 A B D x2+2x+3,x≤0， 指 4.设函数f(x)= 若f(f(a)=3,则a= -x2,x>0. 拟 A.0或√2 B.0或-√2 C.0或-√2或w2 D.2 5已知u=(得)6（传）=(》则6c的大小关系为 A.a<c<b B.a<b<c C.K<c<a D.b<a<c 6.函数f(x)=√x一x的单调递增区间为 A.[0,1] R(-o,] c[2 D.[o.] 制 7.已知函数f(2-x)=√4一x,则函数f(Vx)的定义域为 A.[0,+∞) B.[0,16] C.[0,4] D.[0,2] 8.若函数f(x)=x2十4x十6，则f(x)在[一3,0)上的值域为 ( A.[2,6] B.[2,6) C.[2,3] D.[3,6] ·397+ 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知幂函数f(x)=(m2-3)x的图象过点(2，)，则 A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)在（一∞，0）上单调递减 D.f(x)在(0，十∞)上单调递减 10.函数y=f(x)是R上的偶函数，且在（一∞，0]上单调递增，若f(a)≤f(2-a),则实数a的可能取 值是 () A.2 B.1 C.0 D.-1 山.某同学在研究函数f)=x十时，分别给出下列四个结论，其中正确的结论是 A.函数f(x)的定义域是R B.函数f(x)的值域为[0，十∞) C.函数f(x)在R上单调递增 D.方程f(x)=2有实根 选择题 题号 1 3 4 5 6 8 9 10 11 答题卡 答案 三，填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设f(x)是定义在R上的函数，且f(x+2)=f(x),当x∈[一1,1)时，f(x)= -4x2+2,-1≤x<0, 则多) x,0≤x<1, 13.已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(一x)=一f(x),若方程f(x)=0有2025个实数解，则这些 实数解之和等于 14.若f(x)=(m一1)x2十6mx十2是偶函数，则f(0),f(1),f(一2)从小到大的顺序是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(.x)+x十1，试求f(x)的解析式. (2)设f(x)是定义在R上且满足f(x十2)=f(x)的函数，在区间[一1,1]上，f(x)= ax+1,-1≤r<0, 2+7,01, br+2 其中a,beR,若f)=f(),求a+3b的值 ·398* 16.(15分)已知函数f(x)在定义域(0，十c∞)上单调递增，且满足f(xy)=f(x)十f(y),f(3)=1. (1)求f(9),f(27)的值： (2)解不等式f(x)十f(x-8)<2. 17.(15分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率进行市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益 「(x)与投资额x成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益g(x)与投资额x的算术 平方根成正比，其关系如图2. 0.123 0.5 图1 图2 (1)分别写出两种产品的年收益f(x)和g(x)的函数关系式： (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最 大年收益是多少万元？ ·399· 18.17分)已知y=fx)是偶函数，当x>0时，f)=x+,且当x∈[-3，-1时fx)∈[n,m]恒 成立，求m一n的最小值. 19.(17分)已知函数f(x)=a+(2a-1)z-3在区间[-号，2]上的最大值为1，求实数a的值 ·400·(#+#)+(++(+)/>3+2+2+ 所以f(x)-ax*}+1+(-), 2-9.当且仅当a-b-c- 17.解析(1)由题意知1一a<0,且一3和1是方 成立, 程(1-a)x^2}-4x+6-0的两根, 所以x<ax*+十(1-)<(1+*)对 (1-a~0. 4 一切xR都成立, 所以{1-a #(#一#)0 6 _-3. 所以 的解集为R. -d (2a-1)x*+x-2a<0 所以不等式2r^*}+(2-a)x-a>0,即为2r^*- a0. #& ##14()# [2-1<0. x-3>0,解得x<-1或x→3. 所以 2 (1+8a(2a-1)0 所以所求不等式的解集为{ #<-13# _# (a0, 即{ 且{# 解得a一 (2)ar^}+bx+3>0,即为3x{+bx+3>0, ((1-4a)?<0. (1-4a)2<0, 若此不等式的解集为R,则b2-4×3×30 1所以-.## 所以-6<b6. 18.解析(1)由题意知年平均维修和消耗费用为 t 等式x<f(x)<(1+x*)对一切xR都 成立. (2)由(1)可知,当a=112500,6-1000时, 第三章综合测评 t [22-1>0 500+500×2t15-15500 1.D 解析要使函数有意义,则有 解 x-5-0. 故这种设备的最佳更新年限为15年。 19.解析假设存在常数a,b.c满足题意 2.D 解析由函数为偶函数可排除A,B项;对于 因为函数f(x)的图象过点(一1,0) C项,函数y-x在区间(一,0)上单调递 所以f(-1)-a-b+c-0 ① 减,故不正确;对于D项,函数为偶函数,且在 区间(一,0)上单调递增,故正确,故选D项 都成立, 3.C 解因为f(一x)一一文一f(x),所以 所以当-1时,有1<f(1)<(1+1^*),即 f(x)为偶函数,排除A,B项;易知当x0时, f(x)一工为增函数,且增加幅度较为缓和,所 1<a十b+c1. ② 以D项不正确.故选C项. 所以a十b十c-1, 4.D 解析当a<0时,f(a)=a2+2a+3>0. 2. f(f(a))之0,显然不成立;当a>0时,f(a) .412. -^,f(f(a))-a -2a^+3-3,则a=士②$ 11.ABD 解由x*0且x+11知,定义域 a-0,故a-v2.故选D项 5.D 解析由于暴函数y=x在(0,十o)上单调 递增,又-(){③},6一(){③},c-一() 3<)(所({①}({)}#,则 #>>0,则f(x)-f(x)}} 2+1x+1 (π++r)(x-)#→0,所以f(x)在[0, ba<c.故选D项. (x十1)(+1) 6.D 解析由x->0得0<x<1.又x-*= 十)上单调递增,又因为f(0)=0,f(x) #()}+,故#()在[0,]上单调 增,故选D项. 近于十,所以函数f(x)的值域为[0,十×). 7.B 解由于函数f(2一x)=V4一r*的x满 由偶函数的对称性知f(x)在(-,0]上单调 足4-x→0,即-2<2,则0<2-x<4,所 递减,根据对称性知其值域为[0,十c),综 以函数f(x)的定义域为[0,4,所以0 x 上,f(z)在R上的值域为[0,十o),故A,B 4.解得0 x16,所以函数f(x)的定义域为 项正确,C项错误;由上分析知f(x)与y-2 [0.16.故选B项 有交点,即f(x)一2有实根,D项正确,故选 8.B 解因为函数f(x)=x{}十4x十6=(十 ABD项. 2)^*}+2,且x[-3,0),所以函数f(x)在区间 12.解析由题意可得3-#(2-#(1)= [一3,-2)上单调递减,在区间[-2,0)上单调 递增,因为f(-2)-2,f(-3)=3,f(0)-6 -4#(-){}+2-1.- 所以2 f(x) 6.故选B项. 智1 9.AD 解析根据寡函数的定义可得n{}一3-1 13.解析设m是方程f(x)一0的实数解,则 解得m一士2;又因为图象过点(2,),所以可 f(m)=0,则f(-m)一-f(m)=0,即一m也 是方程f(x)一0的解,这2025个实数解中的 2024个非零实数解之和等于0,又f(0)-0. 定义域为(0,十)lJ(-o,0),且满足f(一x) 所以这2025个实数解之和等于0 一f(x),所以/(x)是偶函数,故A 答0 项正确,B项错误;由暴函数的性质可得,当 14.解析因为f(x)=(m-1)x+6mx十2是偶 函数,所以m-0,所以f(x)一一x^2②}十2,易知 x(0,十)时,f(x)一x单调递减,再根据 偶函数的性质可得f(x)在(一o,0)上单调递 f(2) f(1)<f(0),而f(-2)=f(2),所以 f(-2)<f(1)<f(0). 增,故C项错误,D项正确.故选AD项. 10. AB 解析因为函数f(x)是偶函数,且在 智/(一2)</(1)</(0) (一,0]上单调递增,所以f(x)在[0,十) 15.解析(1)设f(x)=ar*十bx十c(a才0).因为 上单调递减,且f(x)一f(x)对任意实数 f$0)=c=0,所以f(x)=ax*}十bx,所以f(十 恒成立,由f(a)<f(2一a)可得f(lal) 1)=a(x+1)2}+b(x+1)=a^*+(2a+b)x+ f(|2-a),所以(2-a){②}<a^②},所以a>1.故 a+b,f(x)+x十1=ar}+bx+x+1=ax*+ 选AB项. (1)x十1,因为f(x十1)=f(x)十x+1, ·413· 18.解析若x<0,则-x>0,f(-x)=--4 $a+b=b+1, 所以 解得 a+b-1, 又y=f(x)是偶函数, 所以f(x)-f(-x)--x- 即当x<0时,f(x)----4. (2)因为函数f(x)满足f(x十2)一f(x),所以 设xx0. T2 #(3)-/(-),所以# 12 1,联 (x-)十(4-4)-(x-)4(-) T1D2 立方程组解得a-2,b--4,所以a十3b-2- 12--10. r1r2 当 x<-2时,xx>4. 16.解(1)因为f(xy)=f(x)十fy),且f(3)=1. 所以f(x)-f(x)>0,即f(x)在(- 所以f(9)-f(3)+f(3)-2,f(27)-f(9)十 一2上单调递减;同理可证f(x)在(一2,0) f(3)-3. 上单调递增 (2)因为f(x)十f(x-8)=f(x(x-8))<f(9) 且函数f(x)在定义域(0.十)上单调递增 [x0. 所以当x[-3,-1]时,f(x)[4,5] 所以x-80. 解得8x9. 而f(x)n,m]恒成立, x(x-8)9. 所以[4,5]n,m],所以n4,m>5. 故原不等式的解集为x8x9. 所以n-n→5-4-1,即m-n的最小值 17.解析(1)由题意可设f(x)=mx,g(x)=n. 为1. 由图知,函数f(x)和g(x)的图象分别过点 19.解析当a=0时,f(x)=-x-3,f(x)在 (1,0.125)和(1,0.5). 代入解析式可得m-0.125,n-0.5. 所以f(x)=0.125x,g(x)=0.5. ar^*}十(2a-1)x-3(a+0)的对称轴为 (2)设用于投资稳健型产品的资金为x,用于投 1-20 2 资风险型产品的资金为20一工,年收益为y, [-3,2,因为<0#(co)最大,所以(-)一 x[0,20]. 1不合题意; 当1-2,即x-16时,ymx-3, 所以当投资稳健型产品的资金为16万元,风 险型产品的资金为4万元时,年收益最大,最 大值是3万元. 大,符合题意; ·414· ③令()=1,且<,[-,2],得a= 3a-1<0. 10.AB 3 解析由题意得 {3-1+4a>0,解得 0<a<1, AB项. 第四章综合测评 11.CD 解令h(x)一-x-a.则g(x)-f(x) h(x).在同一坐标系中画出y一f(x),y一h(x) 1.B 解原式-2\×2*-②×9=9 ②.故选 的图象,如图所示。 B项. 2.D 解析由题意得x*+2x-3>0,解得x>1 或x-3,所以函数的定义域为(-,-3) (1.十o).故选D项. y-h) 3.C 解当3x-2-1,即x=1时,y=log.1= 若g(x)存在2个零点,则v一f(x)的图象与 0.即点A的坐标是(1,0).故选C项. y-h(x)的图象有2个交点,平移y一h(x)的 4.C 解析根据题中所给函数模型,代入有关数 图象,可知当直线y=-x-a在y--x+1 据,以2023年的数量为初始值,所以x(10)一 下方或与y--x十1重合,即a二-1时,有2 -16006400~77, 1600 个交点,故a的取值范围为[一1,十),结合 83 20 选项可知C,D项符合题意,故选CD项 12.解析因为指数函数y一r是减函数,所以0 所以预计2033年底该水域的鱼类数量约为77 a<1.由此可知0<n 1,1<n{2.<0,故n 万条.故选C项 n> 智nm>) 13.解析由-2x0,知函数的定义域为(-,0) $2.+),因为=log(-2c)=log [(-1-1 所以由复合函数的单调性得函数y-log(r*- 2x)的单调递减区间是(2,十) 故选D项. 答案(2,十o) 6.D 解析对于A,B,C项,均有函数f(1)f(2) 14.解当x0时,f(x)=x*-2,令x-2-0,得$ 0.只有D项中f(1)f(2)0.故选D项. x2(舍)或x--2,即在区间(-,0上,函 7.C 解把y一f(x)的图象向下平移1个单位 数只有一个零点;当x0时,f(x)=2x-6+ 后,只有C项中的图象与工轴无交点,故选 ln .令2x-6+lnx-0,得lnx-6-2x.作出函 C项. 数y-lnx与y-6-2x在区间(0,十oo)上的图 8.B 解析由题意得/(0)一1,f(1)=2a,由函数 象(图略),则两函数图象只有一个交点,即在区 零点存在定理得f(0)f(1)-2a 0,所以a 间(0,十o)上,函数只有一个零点,综上可知,函 0.故选B项 数f(x)的零点个数是2 9.AC 解析分别作出这四个函数的图象(图 答2 略),其中①和③的图象与工轴只有一个公共 [1-x0, 15.解析(1)要使函数有意义,则有 解得 点,即只有一个零点,故选AC项. x十30. ·415·