培优训练(3)（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

培优训练(三) 答案见P: (范围:2.1~2.2) II基础训练I 8.已知a>0,60. 1.将一根长为5m的绳子截成两段,已知其中一段 (D)求证.+32(+); 的长度为xm,若两段绳子长度之差不小于1m (2)若x+-2a,求a的最小值 则:所满足的不等关系为 0 ) (2-50. A. B.2x-51或5-2x>1 0<5 [5-2>1. [12x-51>1, C. D. 10r<5 10<<5 2.设x-2a(a+3),-(a-3)(a+3),则有( A.x>y B.x>y C.xy D.xy 3.已知0 x2,则=xv4-r的最大值为 ) A.2 B.4 C.5 D.6 4.已知正实数a,b满足。+-,若(a+)· 9.(1)设x,yER,比较(一y)与xy(x一y)的 (6+)的最小值为4,则实数n的取值范围是 大小. ( ) (2)已知1<a+<4,-1<a-<2,求4-2 A.{2 B mm2 的取值范围. C.n0m2 D. nn0 5.(参选)下列说法中,正确的有 A.若a>b,cER,则a+c>b十c B.若a>b.cER,则ac^>be C.若a,b,cER,则a十b+c>ab+ac+be D.若a,b,cE(0,十oo),则(a十b)(b十c)(a十 c)>8abc 7.已知xo.y>0.且2+1-1,若2r+y恒 成立,则实数的取值范围是 .193. Il能力提升lI B.6+a 2 10.(参选)某公司一年购买某种货物800吨,现分 C.b<va十ab 次购买,设每次购买x吨,运费为8万元/次.已 #a++6 知一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总 2 2 运费与总存储费用之和y最小,则下列说法正 14.某建筑队在一块矩形地块AMPN上施工,规划 确的是 C ) 建设占地如下图中矩形ABCD的学生公寓,要 A.当x-40时,y取得最小值 求点C在地块的对角线MN上,点B,D分别在 B.当x一45时,v取得最小值 边AM,AN上. C.ymn-320 ## D. yi-360 11.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石 一书中首先把“一”作为等号使用,后来英国数 (1)若AM-30m,宽AN-20m,求长度AB和 学家哈利奥特首次使用“<”和“”符号,并逐 宽度AD分别为多少米时,矩形学生公寓ABCD 渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发 的面积最大?最大值是多少m{? 展影响深远,若不相等的两个正实数。,5满足 (2)若矩形AMPN的面积为600m{,问学生公 寓ABCD的面积是否有最大值?若有,求出最 大值?若没有,请说明理由: 范围是 12.已知a,b.cER,a+b+c=0,a+bc-1-0,则a 的取值范围是 II拓展探究l 13.(参选)公元3世纪末,古希腊亚历山大时期的 一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型(如 图所示):以线段AB为直径作半圆ADB,CDl AB,垂足为C,以AB的中点O为圆心,OC为 半径再作半圆,过O作OE OD,交半圆于E 连接ED.设BC=a,AC=b(0 a b),则下列$ 不等式一定正确的是 ~ #A.ba 2 .194.国为xN,所以r+6≥2√.西=12，当且仅当r 等号成立，所以若a,b,c∈R,则a2+十c2≥ab十ac十bx,故C 项正确：若a,b,e∈(0，十∞)，则a十b≥2√ab>0,b十c≥ 即=6时等号成主，所以之<35 2√>0，a+c≥2√ac>0,则(a+b)(b+c)(a+c)≥ 故这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大年平均利 8√aC=8abc,当且仅当a=b=c时，等号成立，故D项正 润为35万元. 确.故选ACD项. 13.醒扬由题意可知丘十下≤“V+y可化为a≥工土 6霸若>1，则=+吕=一D+吕+1≥ 十y 2√一D·号马十1=7，当且仅当x=4时，等号成立，因 Vx+y Vr+y 此中9的最小值为7， x-1 答案7 以十≤2· )+』 x+yx干y 7.解扬因为>0y>0,且2+1=1，所以2十y=(2x十)· y √2，当且仅当x=y时，等号成立，所以a>2,故a的最小值 为v瓦 （停+）=5+号+>5+2√停·空=9，当且仅当x 靥率V2 y=3时，等号成立，故2x十y的最小值为9.因为2x十y>m恒 14.解析因为y≠0，所以对原不等式两边同时除以y,得到 成立，所以(2x十y)=9 答案{mm<9》 2(号)广-a·+1≥0，令1=号，则不等式变为2r-a1+ 8.解析(1)证明：因为a2+3-2b(a+b)=d-2ab+=(a 1≥0，其中1由红，y的范国可知宁<<2，则原不等式恒成 b)2≥0，所以a+36≥2b(a十b). (2)因为a>0,b>0, 立转化为2F-a+1≥0在号≤1≤2时恒成立.由2r-al+ 所以2ab=a+b>2√ab,即ab≥√ab, 120得0<中，即a<+,当且仅当1=号时，2+ 所以√ab≥l,所以ab≥1. 当且仅当a=b=1时，等号成立，此时ab取最小值L 二取得最小值2区，且此时1-号满是1的范国，所以< 9.解扬(1)因为(x2-y)-xy(x-y)2=x十y-xy-xy= x2(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x2-y)=(x-y)(x2+ 2√2.故实数a的取值范围为{ala≤2√2. y+)=-wr[(+)+是]≥0， 培优训练（三） 当且仅当x一y时，等号成立， 1,D解析由题意，知另一较绳子的长度为(5一x)m.因为两段 所以当x=y时，(x2一y)2=xy(x-y)2 当r≠y时，(x-y)>xy(x-y) 绳子长度之差不小于1m,所以儿一5一)引化简得 10<r<5, (2)令4a-2b=x(a十b)十y(a-b),所以4a-2b=(x十y)a+ 2x-5引≥引·故选D项. （红一h,所以T十y4,解得 lx-y=-2.1 1y=3. 10x<5. 因为1≤a十≤4，一1≤a-b≤2，所以-3≤3(a-b)≤6，所 2.B解析因为x-y=[2a-(a-3)](a+3)=(a十3)≥0，当 以一2≤4a-2b≤10. 且仅当a=一3时，等号成立，故x≥y.故选B项. 10.AC解析一年期买某种货物800吨，每次购买x吨，则需要 3.A解析因为0<x<2,所以4-x>0,则y=x√4一x= F·4-7<+1-2,当且仅当2=4-，即 购买800次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4红 x 2 x=2时，等号成立，故选A项. 万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为y=800×8+ 4B爵罚因为a,b为正实数，(a十方)(+)=ab+品 4r万元，周为y-89×8+4≥2√50·4=320，当且 2>2√b~品+2=4，当且仅当b-办即ab=1时，等号 仅当5400=4r,即x=40时，等号成立，所以当x=40时，y 成立，此时有a=方，又因为是十=m,所以a+日 取得最小值，%m=320.故选AC项. =m,由 基本不等式可知a+日≥2（当且仅当a=1时，等号成主，所 山.暖团因为>0,6>0，且a+6=4,所以日+右=（日十 以m≥2.故选B项. 2)a+6)=(2++号)≥寸(2+2√合·号) 5.ACD解析若a>b,c∈R,由不等式的性质可得a十>b+ (b a c,故A项正确：当c=0时，a2=c2,故B项错误：因为a2+ 1,当且仅当a6'即a=b=2时，等号成立.因为a≠b, a+6=4, 6+e-ab-ac-be-(2d'+26+2e-2ab-2ac-2be)- 所以十>1为+古>成立所以1 受[a-)+-c)+(a-c)]≥0，当且仅当a=b=c时 俗弱tt≤1 ·342· 12.解析①当6>0，c>0时，因为a十b+c=0,a十bx-1=0,所 以-a=b+c,b=1一a,可得-a>0,1一a>0,可得a<0,所 2√斋'六即≤AM:AN周为矩形APN的面积 以-a=b+c≥2√c=2-a,化为a+4a-4≥0，解得 为600m,即AM:AN=60,所以.xy≤150，当且枚当A a≤-2-22： ②当<0，c<0时，因为a十b+c=0,a十bc-1=0.所以a= 六，即x=兴y=公时，等子成立，所以学生公高ABCD (-b)+(-c),b=1-a,可得a>0.1-a>0.可得0<a<1. 的面积有最大值，且最大值为150m. 所以a=-b-c≥2V灰=2√1-a,化为a2十4a-4≥0，解得 课时作业（九） -2+22≤a<1: ③当b=0时，不妨取c=0,由已知可得a=1,b=一1，此时 L.D解析原不等式可化为(3.x十1)≤0，所以3x十1=0，所以 a=1: x=一子，故选D项 ①当r<0时，因为a十b+c=0,a十bc一1=0，所以a= -(b+c),a=1-bx>1. 2.B解粉因为A={xx2-4x<0}={x0<x<4}.B=0,1, 综上可得，a≥一2十2/2或a≤-2-22. 2,3},所以A∩B={1,2,3.故选B项. 3.A解析由不等式的解集与方程的根的关系知，方程ax十 答案{aa≥-2+2√2或a≤-2-2v2 13.AD解析图为AB是圆O的直径，则∠ADB=90°=∠DAB+ 如十2=0的两根分别为山=一合西=2.由根与系数的关 ∠DBA,因为CD⊥AB,则∠ACD=90°，所以∠DAB+ ∠AIDC=90°，故∠DBA=∠ADC,易证△ADC∽△DBC.故 =-1=2 a 部瓷即CD=AC,C=b,大国丰径R=生兰小国 系知 解得。2故选A项 3 b=3. 率径r=生老-a622,因为∠ACD=90,所以AC+ 4.AB解析由不等式的解集形式知m<0.故选AB项. 2 5.A解粉设f(x)=,2+(a2一1).r+(a-2),则f(1)<0,即 CD=AD,故AD=√AC+CD=√+ab,同理可得 a十a-2<0,解得-2<a<1.故选A项. BD=√BC+CD=√a+ab.A项中，显然当0<a<b时， 6.解析当=6时，不等式成立：当x≠6时，(x一6)2>0，则 ∠AOD是钝角，故ODAD,即大國半径R=OD<AD,故 x一4≤0，解得-2≤x≤2.综上，不等式的解集为(x|x=6 生岁<V十a,故正确：B项中，当∠B0D=60时，大圆丰 或-2≤x≤21. 径R=OD=OB=BD,有“=√+a山，故错误：C项中， 答率{xx=6或一2≤x≤2到 2 7.解析令x2-2a.x-3a=0,则x1=3a,.=-a.又a<0.所以 当∠BOD=60°时，BD=√a+ab=OD<AC=b,即b> 不等式的解集为{xx>一a或x3a}. V+a,故错误：D项中，大国半径R=OD=生中小国半 答案{xx>-a或x<3a 8.解扬由条件知1，x为方程x2-2ax一15a2=0的两根，则 径-c-分，剩v0D+C√产而vDC> x十x=2a,x=-15a,故(-)2=(x十)2 D故√受史故正确故选AD项 4a=(2aP-4X(-15c)=6d=28,解得a=子 14.解析(1)设AB=xm,依题意知△NDCc∽△NAM,所以 图号 %-识中斋-0D,则AD-20-号 9.解析(1)由2-4x十3>0，得(x-3)(x-1)>0. 20 故矩形ABCD的面积为S=20x-号r(0<<30)。 因为(x一3)(.x一1)=0的两根为n=3,.2=1, 所以x2一4x+3>0的解集为{xx>3或x<1. -20r-号-号30-0号×(0+）-150 (2)因为△=一4<0，所以方程x2一4x十5=0无实数根， 所以不等式一4x十5>0的解集为R 当且仅当x=30-x,即x=15时，等号成立. (3)由x2-3.x-4x+1,得x2一4x-5<0. 光时AD-=20一号=10 即(x-5)(x+1)<0. 故AB=15m.AD=10m时，学生公寓ABCD的面积最大， 因为x2一4x一5=0的两根为=5，m2=一1， 最大值是150m. 所以x2-4x一5<0的解集为{x一1<x<5}, 所以原不等式的解集为{x一1<x<5. (4)原不等式可化为22-3.x十2≤0， 因为△=9一4×2×2=-7<0， 所以原不等式的解集为心. DC NC (2)由I)可得△NDC△NAM,即最，同理可得 10.ABD解析由题意得，原不等式可化为(x一1)(x一a)<0. 当a>1时，解得1<x<a,此时解集中的整数为2,3，则3< 祭-兴设AB=xmAD=ym,所以器+祭-兴 a≤4：当a<1时，解得a<x<1,此时解集中的整数为0， 品=1，即品十六=1，所以品十六 一1，则-2≤a<-1,故a的取值范围是{a-2≤a<-1或 =1≥ 3<a≤4}.故选ABD项. ·343·