课时作业(8) 基本不等式（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时作业（八）基本不等式 答案见P I基础训练 8设a,bc都是正数，求证：答+5+必>a十b十c 1,设函数f(x)=x+9(c>0),则f(x)的最小 值为 A.1 B.2 C.3 D.6 2.(选)已知a,b∈R,M=a2+b,N=2|ab,则 M,N的大小关系可能为 ( ) A.不确定 B.M=N C.M<N D.MN 3.若a,b,c是互不相等的正数，且a2+c2=2bc,则 下列关系中可能成立的是 A.a>bc B.c>a>b 义设函数5>0 C.b>a>c D.ac>b (1)求f(x)的最大值： 4.已知x,y为正实数，且xy=4,则x+4y的最小 (2)证明：对任意实数a,b,恒有f(a)< 值为 ( A.4 B.8 36+4 C.16 D.32 5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m、形状 为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝 中，选用最合理（够用且浪费最少）的是() A.6.5m B.6.8m C.7 m D.7.2m 6若正实数a,6c满足3a-2b十c=0,则的最 大值为 7.已知a>b>c,则Va一b)b-0)与“2的大小关 系是 ·191· I能力提升I ‖拓展探究 10(多选)已知a>0,6>0,若不等式名+名> 13.若对于所有的正数x,y均有丘十≤ 2升6恒成立，侧m的值可能为 a√x+y,则实数a的最小值为 14.不等式2x2-a.xy十y≥0对于任意1≤x≤2和 A.10 B.9 1≤y≤3恒成立，求实数a的取值范围. C.8 D.7 11.若a>0,b>0,a十b=2,则下列不等式对一切满 足条件的a,b恒成立的是 (写出所 有正确命题的序号). ①alb≤1：②va+b≤2：③a2十∥≥2：④a3+ 6≥3：⑤+≥2 a 12.某企业用180万元购买一套新设备，该套设备 预计平均每年能给企业带来100万元的收入 维护设备的正常运行，第一年各种费用为10万 元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要 增加10万元. (1)求该设备给企业带来的总利润y万元与使 用年数x(x∈N)的函数关系： (2)这套设备使用多少年，可使年平均利润最 大？最大年平均利润是多少？ ·192·11.C解析由0<f(-1)=f八-2)=f(-3)≤3，得0<-1+ 22≈6.83，当且仅当x=y时，等号成立，故用7米的铁丝最 a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c<3, 合适.故选C项。 由-1+a-b+c=-8+4a-2h+c,得3a-b-7=0, ① 6.解析因为3a十c=2h,且a,b,c为正实数，所以2b=3a十c≥ 由-1十a-b十c=-27+9a-3h+c,得4a-b-13=0,② 由①②解得a=6,b=11.所以0<c一6≤3，即6<c9.故选 2且收事c时，等号成主所以<爱-得 3 C项. 12.证朋因为a>b>c>0,所以a-c>0,a-b>0,b-c>0, 圈 又周为，。%20气 7.盛扬因为a>b>c,所以a-b>0,6-c>0,所以“2- 所以a“”。>0,>0. b(b-c) a一c a-b)+h-Q≥√a-bb-c可，当且仅当a-b=b-,即 2 即bb>0.6->0 a-b a-c a-c a-c 2h=a十c时，等号成立. 所以6>b、 a-b a-ca-c 墨va一-0<2 x=20+1· r=30+y, 13.C解析由题图可得x2=35十必，和=30十为，（其中 8国明周为a,c都是正量，所以任号白也都是正数 x3-55十为 x1=50+ 所以+号2V·号-2，同理号++ (i=1,2,3)是x(i=1,2,3)分流到环线上的车流量). x-x=10, 三式相加得2（答++）≥2a+b0， 消去y(i=1,2,3),得到x,的关系式，即一=5，所以 -x=5, 即c+“+必≥a十b什c,当且仅当a=b=时，等号成立. b x2>x1, 9.解扬(1)f八x)= 16x=16 16 x+8 =2√2，当且仅 >,综上可得>>西.故选C项， T>t1. F2VWx8 14.解析设这所学校原来的长方形布局的长为a,宽为b(a≠b). 当x=8,即x=22时，等号成立. ①若保持原而积不变，则规划后的正方形面积为ab: ②若保持原周长不变，则规划后的正方形周长为2（α十b), 所以f(x)的最大值为2②. 所以共正方形的边长为中，其面积为（©空宁。 (2证明：6-6+到=(6号)了+3， 由①②可得ab- (a-b) <0(a≠b), 当6=号时，-36叶号有最小值3 所以ab<(a十b) ,故保持原周长不变的布局最有利 由(1)知，f(a)有最大值2√2，而22<3， 课时作业（八） 所以对任意实数a,6恒有a)<B-3动+乳 1.D照团周为>0，所以)=x+是>2√…是=6，当 10.BC①解扬因为a>0,b>0,所以2a十b>0,所以要使2+ 且仅当x=是，即=3时，)=6，故选D项 >2件6成立.只需m≤(2a十b(径+)恒成立.又 1 2.BD解析由基本不等式得a2+=a2+|b≥2a|1b= 2a+b(径+古）=4+2+2+1≥4+4+1=9，当且仅 2abl,当且仅当a=b时，等号成立.故选BD项. 当a=b时，等号成立.所以m≤9.故选BCD项. 3.C解析因为a,c均为正数，且a≠c,所以d十2>2ac,又因 11.解折对于命题①，2=a+b≥2v√ab→ab≤1，①正确：对于命 为a十2=2bc,所以2b>2ue.因为c>0,所以b>a,可排除 题②，令a=1,b=1时不成立，②错误：对于命题③，a2十 A,B.D项，取a=2c=l,可得=吾，可知C项可能成立.故 =(a+b)-2ab=4-2ab>2,③正确：对于命题④，令a= 选C项. 1,6=1时不度立，①错误：对于伞道⑤，合十方-出 6B团由随鸢得)y一兰则十=十>2√一百 品>2.⑤正角， 8,当且仅当一吕即=4时，等号成立，所以十y的最 答案①③) 小值是8.故选B项. 12.解析(1)由题意知，x年总收入为100x万元， 5.C解析设直角三角形框架的两条直角边长为x,y(x>0, x年维护总费用为10(1十2十3十…+x)=5x(x+1)万元， 心0)，则三角形的面积为受=2，即=4，直角三角形的斜 所以总利润y=100x-5x(.x十1)-180，x∈N”, 即y=-5(x-19.x+36),x∈N°. 边长为√T+y,因为x十y≥2y=4,√T+y≥√2xy 2√2，所以三角形框架的周长C=x十y十√x干y≥4十 (2)年手均利润为兰=-5(x+的)十95。 ·341· 国为xN,所以r+6≥2√.西=12，当且仅当r 等号成立，所以若a,b,c∈R,则a2+十c2≥ab十ac十bx,故C 项正确：若a,b,e∈(0，十∞)，则a十b≥2√ab>0,b十c≥ 即=6时等号成主，所以之<35 2√>0，a+c≥2√ac>0,则(a+b)(b+c)(a+c)≥ 故这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大年平均利 8√aC=8abc,当且仅当a=b=c时，等号成立，故D项正 润为35万元. 确.故选ACD项. 13.醒扬由题意可知丘十下≤“V+y可化为a≥工土 6霸若>1，则=+吕=一D+吕+1≥ 十y 2√一D·号马十1=7，当且仅当x=4时，等号成立，因 Vx+y Vr+y 此中9的最小值为7， x-1 答案7 以十≤2· )+』 x+yx干y 7.解扬因为>0y>0,且2+1=1，所以2十y=(2x十)· y √2，当且仅当x=y时，等号成立，所以a>2,故a的最小值 为v瓦 （停+）=5+号+>5+2√停·空=9，当且仅当x 靥率V2 y=3时，等号成立，故2x十y的最小值为9.因为2x十y>m恒 14.解析因为y≠0，所以对原不等式两边同时除以y,得到 成立，所以(2x十y)=9 答案{mm<9》 2(号)广-a·+1≥0，令1=号，则不等式变为2r-a1+ 8.解析(1)证明：因为a2+3-2b(a+b)=d-2ab+=(a 1≥0，其中1由红，y的范国可知宁<<2，则原不等式恒成 b)2≥0，所以a+36≥2b(a十b). (2)因为a>0,b>0, 立转化为2F-a+1≥0在号≤1≤2时恒成立.由2r-al+ 所以2ab=a+b>2√ab,即ab≥√ab, 120得0<中，即a<+,当且仅当1=号时，2+ 所以√ab≥l,所以ab≥1. 当且仅当a=b=1时，等号成立，此时ab取最小值L 二取得最小值2区，且此时1-号满是1的范国，所以< 9.解扬(1)因为(x2-y)-xy(x-y)2=x十y-xy-xy= x2(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x2-y)=(x-y)(x2+ 2√2.故实数a的取值范围为{ala≤2√2. y+)=-wr[(+)+是]≥0， 培优训练（三） 当且仅当x一y时，等号成立， 1,D解析由题意，知另一较绳子的长度为(5一x)m.因为两段 所以当x=y时，(x2一y)2=xy(x-y)2 当r≠y时，(x-y)>xy(x-y) 绳子长度之差不小于1m,所以儿一5一)引化简得 10<r<5, (2)令4a-2b=x(a十b)十y(a-b),所以4a-2b=(x十y)a+ 2x-5引≥引·故选D项. （红一h,所以T十y4,解得 lx-y=-2.1 1y=3. 10x<5. 因为1≤a十≤4，一1≤a-b≤2，所以-3≤3(a-b)≤6，所 2.B解析因为x-y=[2a-(a-3)](a+3)=(a十3)≥0，当 以一2≤4a-2b≤10. 且仅当a=一3时，等号成立，故x≥y.故选B项. 10.AC解析一年期买某种货物800吨，每次购买x吨，则需要 3.A解析因为0<x<2,所以4-x>0,则y=x√4一x= F·4-7<+1-2,当且仅当2=4-，即 购买800次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4红 x 2 x=2时，等号成立，故选A项. 万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为y=800×8+ 4B爵罚因为a,b为正实数，(a十方)(+)=ab+品 4r万元，周为y-89×8+4≥2√50·4=320，当且 2>2√b~品+2=4，当且仅当b-办即ab=1时，等号 仅当5400=4r,即x=40时，等号成立，所以当x=40时，y 成立，此时有a=方，又因为是十=m,所以a+日 取得最小值，%m=320.故选AC项. =m,由 基本不等式可知a+日≥2（当且仅当a=1时，等号成主，所 山.暖团因为>0,6>0，且a+6=4,所以日+右=（日十 以m≥2.故选B项. 2)a+6)=(2++号)≥寸(2+2√合·号) 5.ACD解析若a>b,c∈R,由不等式的性质可得a十>b+ (b a c,故A项正确：当c=0时，a2=c2,故B项错误：因为a2+ 1,当且仅当a6'即a=b=2时，等号成立.因为a≠b, a+6=4, 6+e-ab-ac-be-(2d'+26+2e-2ab-2ac-2be)- 所以十>1为+古>成立所以1 受[a-)+-c)+(a-c)]≥0，当且仅当a=b=c时 俗弱tt≤1 ·342·