培优训练(2)（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

培优训练（二） 答案见P (范围：1.4~1.5) I基础训练川 7.“一元二次方程x2十ax十1=0有实数根”的充要 L关于命题“了x∈N,x2+2x=0”,下列判断正确 条件是 的是 ( 8.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命 A.该命题是全称量词命题，且是真命题 题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真 B.该命题是存在量词命题，且是真命题 假，不必证明. C.该命题是全称量词命题，且是假命题 (1)存在实数x,使得x2+2x+3≤0： D.该命题是存在量词命题，且是假命题 (2)有些三角形是等边三角形： 2.命题“Hx>0,都有x一x十3≤0”的否定为 (3)方程x一8.x一10=0的每…个根都不是奇数. A.3x0,使得x2一x十3>0 B.3x>0,使得x2-x+3>0 C.Hx>0,都有x2-x+3>0 D.Hx≤0，都有x2-x+3>0 3.甲、乙相约从同一地点同时出发，同向围着一个 周长是200米的圆形跑道跑步，甲每秒跑2.5 米，乙每秒跑3.5米，则“甲、乙相遇”是“甲，乙都 跑了400秒”的 ( A.充要条件 B.充分不必要条件 9.设p:2x+1<3,q:x-(2+1)<0. C.必要不充分条件 (1)若a=1,且p,g均为真命题，求满足条件的实 D.既不充分也不必要条件 数x构成的集合 4.(选)设非空集合P,Q满足P∩Q=Q,且P≠ (2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. Q,则下列选项中错误的是 () A.Hx∈Q,有x∈P B.3x∈P,使得x任Q C.3x∈Q,使得.x正P D.xQ,有x氏P 5.已知p:x>a是g:2<x<3的必要不充分条件， 则实数a满足的条件是 ( ) A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a<2 6.已知p:x>2,g:x>1,则p是q的 (在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条 件”“既不充分也不必要条件”中选择一个填空). ·187✉ I能力提升Ⅱ 川拓展探究川 10.已知p:3x∈R,.x2十4x十a=0,若p是真命题， 13.下列选项中，是“0是集合M={xa.x2+2x十 则实数a的取值范围是 1=0,(∈R}的真子集”成立的必要不充分条件 A.{a0<a<4 B.{ala≤4} 的是 () C.{aa<0} D.{aa≥4 A.a<0 B.a>0 11.(选)已知关于x的方程x2十(m一3)x十m= C,a≤1 D.a<2 0,则下列结论正确的是 () 14.对于给定集合M,若集合M中任意两个不同元 A.方程x2十(m一3)x十m=0有实数根的充要 素之和仍是集合M中的元素，则称集合M是 条件是m∈{mm<1或m>9】 “封闭集合”.设p,9为实常数且q≠0，集合C B.方程x十(m一3)x十m=0有一正一负根的 {xx=p+q,n∈N},证明：集合C为“封闭集 充要条件是m∈{m0<m≤1 合”的充要条件是“存在整数m≥一2，使得p C.方程x2+(m一3)x十m=0有两正实数根的 mg”. 充要条件是m∈{m0<m≤1} D.方程x2十(m一3)x十m=0无实数根的必要 条件是m∈{mm>1} 12.已知集合A={x-1≤x≤2)，B={yy=x十 3,x∈A},C={y|y=2r+3,x∈A. (1)若V∈B,H∈C,总有y≤成立，求 实数a的取值范围： (2)若H∈B,32∈C,使得y≤2成立，求 实数a的取值范围. ·18812.解析依题意知，P={xa-4<x<a十4}，Q={x1<x<3}, (2)由于存在实数x∈{x1≤≤3}，使m≥x,故只需m大于 因为x∈P是x∈Q的必要条件， 或等于x的最小值，即m≥L,故实数m的取值范国为 所以x∈Q→x∈P,即Q二P, {mm≥1}. 所以二解得-1Su<5 10.B解析对于二次函数y=(x一2)2一1，其图象开口向上， 1a+4>≥3， 对称轴为直线x=2,最小值为一1，所以Hx∈R,y 故实数a的取值范国为{a一l≤a≤5}， (x-2)2-1≥-1，所以A项错误：Ha>-1,3x∈R,y 13.解析(1)P-{x一2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条 (x-2)2-1<a,所以B项正确：Ha<-1,3x∈R,y 1一m1十m, (x一2)一1=a不成立，所以C项错误：当=0，=4时， 件，知SP,则1一m≥一2，解得0≤m≤3. (.c1一2)-1=(x一2)一1，所以D项正确.故选BD项. 1+m≤10， 即所求m的取值范围是{m0≤m≤3}. 1山解团由题意得，{但m4>0·解得m>2. (2)若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S, 答率m>2 12.解析因为“存在x∈R,使x十2x十m≤0”是假命题，所以 所以 -m=一2所以(m=3. 1+m=10, m=9, “对任意x∈R,都有x2+2x十m>0”是真命题，因此△=4 所以不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件 4<0,即n>1,故a=1. 14.解析(1)(2,3)⊙(-1,4)=(5,14). 13.解析p为真命题时，x2-a≥0，即a≤x. (2)交换律：a⊙3=3⊙a,证明如下：设a=(a,b),3=(c,d), 因为1≤x≤2时，上式恒成立，而1≤x产≤4，所以a≤1. 则a⊙月-(ad+bc,bd-ac),3⊙a=(c,d)⊙(a,b)=(bc+da, g为真命题时，△=4一4(a-2)≥0.即a≤3. 因为命题p,q均为真命题，所以a≤1. dh-ca)=(ad+bc,bd-ac),所以a⊙B=3oa. 故实数a的取值范围是(aa≤1}. (3)设A中的元素I=(xy),a=(a,b)对任意a∈A,都有a⊙= 14.解扬(1)证明：当a=一3时，f(x)=一9.x+6x一1， I⊙a=a成立，由(2)知只需I⊙a=a,即(xy)⊙(a,b)=(a, 因为△=36一4×（一9）×（一1）=0，且-9<0， b)(bx+ay,by-ax)=(a,b), 所以对任意x∈R,都有f(x)≤0. ①若a=(0,0),即a=b=0,显然有1⊙a=a成立： (2)因为f(x)≤4x恒成立，所以3a.x十2x-1≤0恒成主 ②若a≠(0,0)，则 bx+ay=a, jbr+a(y-1)=0.越 -ax+by=b, 1-a.r+b(y-1)=0 当a=0时，2一1<0，解得1≤号，不满足题意： 成立，即 x=0, 解得r=0, 当a≠0时，必须{C0:即a<0, y-1=0, y=1. △≤0， 4+12a≤0. 解得a≤一3 所以当对任意a∈A,都有a⊙I=I⊙a=a成立时，得I=(0, 综上可知，实数a的取值范国是{da<-言》 1),易验证当I=(0,1)时，对任意a∈A,都有a⊙I=I⊙a a成立，所以1=(0,1) 培优训练（二） 课时作业（六） 1,B解析该命题是存在量词命题，当x=0时，x+2x=0,所 1.D解析A,B项既不是全称量词命题也不是存在量词命题； 以该命题是真命题.故选B项， C项中含有存在量词，是存在量词命题：D项中含有全称量 2.B解析命题“Vx>0,都有x一x十3≤0”的否定为“3x> 0,使得2一r十3>0”.故选B项. 词，是全称量词命题.故选D项. 3.C解析因为乙每秒比甲每秒多跑1米，所以当甲、乙都跑了 2.C图析否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故 200秒时，乙比甲多跑了200米，甲、乙第一次相遇.当甲、乙 C项正确.故选C项. 都跑了400秒时，乙比甲多跑了400米，甲、乙再次相遇.所以 3.A解析既要否定结论，又要改变量词，只有A项正确.故选 “甲、乙相遇”是“甲、乙都跑了400秒”的必要不充分条件.故 A项. 选C项. 4.B解析0是自然数，但不是正数，故A项错误：x=√2为无理 4.CD解析因为P∩Q=Q,且P≠Q,所以Q是P的真子集， 数，但2=2为有理数，故C项错误；0的绝对值是0，故D项 所以Vx∈Q,有x∈P,了x∈P,使得x任Q,A,B项正确，C 错误，故选B项 项错误：设Q=(1,2,3),P={1,2,3,4},此时4任Q,但4∈P, 5.ACD解析A项中W2x一x2=0的根为x=√2或x=0:B项 D项错误，故选CD项. 中，d+x+1=(+2)广+是>是，所以+x+1=0无 5.B解析因为p:x>a是q:2<x<3的必要不充分条件，所以 集合{x2<x<3}为集合{xx>a}的真子集，故只需a≤2. 解：C项中，素数2是偶数：D项中，0没有倒数，所以AC,D 故选B项。 项都是真命题，B项是假命题.故选ACD项. 6.解析设命题p:x>2对应的集合为A={xx>2,命题q: 6.答案Vx,y∈R,x+y≥0 x>1对应的集合为B={x|x>1},因为AB,所以命题p 7.答33x<0,(1+x)(1-9.x)>0 是命题q的充分不必要条件. 8.解析(1)真命题，命题的否定为“Vx,y∈Z,3x一4y≠20” 答系充分不必要条件 (2)真命题，命题的否定为“在实数范固内，所有的一元二次 7.解粉一元二次方程x十a.x十1=0有实数根，应满足△=a2 方程都有解” 4≥0，解得a≤-2或a≥2.故充要条件是a≤-2或a≥2. (3)真命题，命题的否定为“存在一个正数，它的平方不是正数” 答率a≤-2或a≥2 9.解析(1)由于对任意的x∈{x1≤r≤3，都有m≥x,故只雪 8.解析(1)含有存在量词“存在”，命题为存在量词命题， m大于或等于x的最大值，即m3.故实数m的取值范国为 命题的否定是“对任意一个实数x,都有x十2x十3>0”，该 (mm≥3}. 命题为真命题， ·339· (2)含有存在量词“有些”，命题为存在量词命题. 又因为对V西，∈N”,川≠西，均有出十西十1≥1，且店十 命题的否定是“所有的三角形都不是等边三角形”，该命题为 ≥3， 假命题， 所以n≥1一(1十)，所以m≥一2： (3)含有全称量词“每一个”，命题为全称量词命题. 故存在整数m≥一2，使得p=mg. 命题的否定是“方程x一8一10=0至少有一个根是奇数”， 若存在整数m≥一2，使得p=m9,则十=p十g(n1十 该命题为假命题. 9.解析(1)因为p:一2<x<1,g:x一3<0，即x<3,所以p,g均 热+号）=p叶9m+十m. 为真命题时，实数x构成的集合为{x-2<x<1. (2)因为p是g的充分条件，且p:-2<x<1,q:.x<2a十1，所 因为，h∈N,m≠m,m∈Z,m≥一2，则n十m≥3，m十 十m≥1，且m+h十m∈N”, 以{x一2<xr1}二(xx2a十1}，所以2a十1≥1，解得a≥0， 所以x1十x∈C. 故实数a的取值范国是{aa>0}. 综上所述，集合C为“封闭集合”的充要条件是“存在整数 10.B解析因为p:x∈R,z2十4x十a=0是真命题，所以方 m≥一2，使得p=mg”. 程，x十4x十a=0有实数根，所以△=4一4a≥0，解得a≤4， 故实数a的取值范围是{aa4}.故选B项. 课时作业（七） 11.CD解析在A项中，二次方程有实数根，等价于判别式 1,BC解析对于A项，应表示为“x十2≥0”：对于D项，应表示 △=(m一3)2一4≥0，解得m1或m≥9，即二次方程有实 为“7℃≤13℃”，故A,D项错误.故选BC项. 数根的充要条件是m∈{nm≤1或m>9},故错误：在B项： 2.A解析f代x)一g(x)=3x2-x+1一(2x+x-1)=(x-1)2+ 中，二次方程有一正一负根，等价于A=(m一3)-4m>0, 1>0,故f(x)>g(x).故选A项. 0, 3.A解析因为x≠2或y≠一1，所以M一N=x+y一4x十 解得㎡0，则方程有一正一负根的充要条件是m∈{mm< 2y十5=(x-2)+(y十1)>0，所以M>N.故选A项. 0},故错误：在C项中，方程有两正实数根，等价于 4.ABD解析令a=1,b=-2,c=0,代入A,B,C,D项中，可知 △=(m-3)2-4m≥0， A,B,D项均不成立.故选ABD项. 3-1>0, 解得0<m≤1，故方程有两正实数 /30(x-1)<213, n>0, 5.解粉根据题意得30r>213, 根的充要条件是m∈{m0<m≤11，故正确：在D项中，方 (x≥2，且x∈N. 程无实数根，等价于△=(m一3)2一4m<0,解得1<m<9, 30(.x-1)<213. 而{m1<m<9》至{mn>1},故m∈{mm>1)是方程无实 答系30.x>213. x>2.且x∈N 数根的必要条件，故正确.故选CD项 6题周方南子片-芳0 -(x-1)2 12.解析(1)设1=a.x十3，为=2x+3a,其中-1≤x≤2，由题设 可得≤即≤3a-2,故{十32计3u解得 l2a+3≤-2+3a, 所以帝≤受 a5,即实数a的取值范围为(aa5引， 圈千<号 (2)由题设可得州≤故a十3，解得a>-手， 12a+3≤4+3a, 7.解扬设2x-3y=(x十y)十(.x-y)=(m十)x十(m一n)y 即实数a的取值范国为ae≥} 所以/m十n=2, m=一2 1 m-n=-3, 解得 5 因为-2<(+0< 13.D解析若“②是集合M={xa.x2+2.x十1=0，a∈R}的真 n- 2 子集”，所以M={xa2+2x十1=0，a∈R}≠②，所以方程 1 ax2十2x十1=0有实数解.当a=0时，由2x十1=0可得x= 8,即3<2x-3y<8.所以2=2x-3y的取值范国是{：|3< -之，符合题意：当a≠0时，由△=4-4a≥0可得a<1,所 2<81. 以a≤1且a≠0，综上，M={xa.r+2r十1=0，a∈R}≠0的充 俗累{x3<<8} 要条件为a≤1，即“☑是集合M={xa.x2十2.x十1=0，a∈ 登<音 R}的真子集”成立的充要条件为a≤1，所选集合是a≤1的 8.解析由题意可得 y+>55, 必要不充分条件，则a≤1应是所选集合的真子集，由选项 x,y,∈N 判断A,B,C项都不正确，D项正确.故选D项. 9.解析因为15<0<48，所以一48<一b一15， 14.正明对V∈C,不妨设=p十4，x=力十西，川， 所以12-48<a一b30-15,即一36a-b<15. ∈N,m≠m,则x十x=(p十m)十（p+m)=p+ 又<<12<a<0, g6西+十号) 若集合C为“封闭集合”，即十∈C,则m十十 所以最号<器即<号<2 10.C解析因为x>y>z,x十y十=0，所以3x>x十y+x 卫eN· 0,3x<十y十=0，所以x>0,<.由0得y> 因为，∈N,所以上∈Z,设卫=m∈乙，即p=mg, y>, 故选C项。 ·340·