第04讲 图象法求一元二次方程的近似根 （1个知识点+2种经典题型+习题试卷）2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第04讲 图象法求一元二次方程的近似根 （1个知识点+2种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【例1】（2023秋•镜湖区校级期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围是　　 0 1 1 1 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•包河区月考）根据表格估计方程其中一个解的近似值． 1.63 1.64 1.65 1.66 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 根据上表，求方程的一个解大约是 　　（精确到 【变式2】（2023秋•蜀山区校级月考）根据下列表格中二次函数，，，为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是　　 0.01 0.04 A． B． C． D． 【变式3】（淮北一模）阅读材料，解答问题． 例：用图象法解一元二次不等式： 解：设，则是的二次函数．，抛物线开口向上． 又当时，，解得，． 由此得抛物线的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当或时，． 的解集是：或． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是　　； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：． 经典题型汇编 题型一.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点． （1）若点的横坐标为，则的值为 ； （1）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为 ． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一条抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 k 0 … (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)求k的值； (3)这个抛物线经过两点和，求m的值． 题型二.图象法确定一元二次方程的近似根 4．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 0.59 1.16 那么方程的一个近似根的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 6．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 练习试卷 一、单选题 1．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的最精确的一个近似根是（　　） x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 x2-x-1 -0.76 -0.61 -0.44 -0.25 -0.04 0.19 0.44 A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.8 2．根据下列表格的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax2＋bx＋c −0.03 −0.01 0.02 0.04 A．6.19<x<6.20 B．6.18<x<6.19 C．6.17<x<6.18 D．6<x<6.17 3．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣5中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣5＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 … 4．如表是一组二次函数y＝x2+x﹣1的自变量x与函数值y的对应值． x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y ﹣0.44 ﹣0.49 ﹣0.04 0.19 0.44 由上表可知，方程x2+x﹣1＝0的一个近似解是（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 5．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤，则b﹣a的最大值为（　　） A．1 B．+1 C． D． 6．若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 7．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解x的范围是（　　） 　x … ﹣3 ﹣2　 ﹣1　 0　 1　 … 　y … ﹣11 ﹣5　 ﹣1　 1　 1　 … A． B． C． D． 8．如果二次函数（其中、、为常数，）的部分图象如图所示，它的对称轴过点，那么关于的方程的一个正根可能是（        ） A． B． C． D． 9．根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　） A． B． C． D． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx+1.365＝0的根是（　　） x …… 0 4 …… y …… 0.365 -1 0.365 …… A．0或4 B．或4 C．1或5 D．或2 二、填空题 11．已知二次函数，当时，的取值范围是，则的值为 ． 12．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为 ． 13．二次函数y=-mx2+x+m（m为常数且m＜0）的图象经过点A（-1，n）． （1）n= ； （2）已知平面内有两点P（-3，1），Q（0，1），若该函数图象与线段PQ有交点，则m的取值范围是 ． 14．已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是 三、解答题 15．已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． （1）求a，b的值； （2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为且经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求直线与该二次函数图象的交点的纵坐标之差的绝对值． 17．已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c； (1)若抛物线C的顶点坐标为(1，﹣3)，求b、c的值； (2)当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值； (3)当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为_________． 18．已知二次函数． （1）当时，二次函数的最小值为 ． （2）当时，二次函数 的最小值为，则m的值为 ． 19．已知二次函数y＝x2－6x+8.求： （1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标； （3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题： ①方程x2－6x＋8＝0的解是什么？ ②x取什么值时，函数值大于0？ ③x取什么值时，函数值小于0？ 20．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”． 例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点． (1)点的“可控变点”坐标为　　 ； (2)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求“可控变点” Q的横坐标； (3)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，求实数a的取值范围． 21．二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹．其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线． ①抛物线()的焦点为，例如，抛物线的焦点是；抛物线的焦点是___________； ②将抛物线()向右平移个单位、再向上平移个单位(，)，可得抛物线；因此抛物线的焦点是．例如，抛物线的焦点是；抛物线的焦点是_____________________．根据以上材料解决下列问题： （1）完成题中的填空； （2）已知二次函数的解析式为； ①求其图象的焦点的坐标； ②求过点且与轴平行的直线与二次函数图象交点的坐标． 22．已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的值； （2）先作的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式； （3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 图象法求一元二次方程的近似根 （1个知识点+2种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【例1】（2023秋•镜湖区校级期中）如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解的范围是　　 0 1 1 1 A． B． C． D． 【分析】根据函数的增减性：函数在，上随的增大而增大，可得答案． 【解答】解：当时，，时，，函数在，上随的增大而增大，得 一元二次方程的一个近似解在 ， 故选：． 【点评】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间． 【变式1】（2023秋•包河区月考）根据表格估计方程其中一个解的近似值． 1.63 1.64 1.65 1.66 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 根据上表，求方程的一个解大约是 　1.65　（精确到 【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解． 【解答】解：根据题意得： ， ， ， 可见6.0225比5.9696更逼近6， 当精确度为0.01时，方程的一个解约是1.65； 故答案为：1.65． 【点评】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近． 【变式2】（2023秋•蜀山区校级月考）根据下列表格中二次函数，，，为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是　　 0.01 0.04 A． B． C． D． 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得方程的一个解的范围． 【解答】解：由表格可得， 当时，；当时，； 方程的一个解的范围是， 故选：． 【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，解答本题的明确题意，求出的取值范围． 【变式3】（淮北一模）阅读材料，解答问题． 例：用图象法解一元二次不等式： 解：设，则是的二次函数．，抛物线开口向上． 又当时，，解得，． 由此得抛物线的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当或时，． 的解集是：或． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是　或　； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：． 【分析】（1）由得，，抛物线开口向上，时，图象在轴的上方，此时或； （2）仿照（1）的方法，画出函数的图象，找出图象与轴的交点坐标，根据图象的开口方向及函数值的符号，确定的范围． 【解答】解：（1）或； （2）设，则是的二次函数， ， 抛物线开口向上． 又当时，， 解得，． 由此得抛物线的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当或时，． 的解集是：或． 【点评】本题考查了学生的阅读理解能力，知识的迁移能力及二次函数与不等式组的关系，解答此题的关键是求出图象与轴的交点，然后由图象找出当时，自变量的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 经典题型汇编 题型一.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题． 【详解】设当时， ∵当和时，函数值相等， ∴当时，的两个根为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是由二次函数转换到一元二次方程根与系数的关系． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点． （1）若点的横坐标为，则的值为 ； （1）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点，与一次函数图象的交点问题； （1）直接将代入两个函数解析式，再将它们联立求解即可； （2）先求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再分类讨论，当时，点，点均在轴的上方，当时，点，点均在轴的上方，分别求解即可． 【详解】（1）由题意得，当时，， 解得， 故答案为：； （2）当时，， 解得或， 当时，若点，点均在轴的上方， 当时，则恒成立， ∴； 当时，若点，点均在轴的上方， 当时，则， 解得， ∴； 综上，， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一条抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 k 0 … (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)求k的值； (3)这个抛物线经过两点和，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，将代入求出a，即可得到解析式； （2）把代入解析式即可； （3）求出抛物线的对称轴为直线，根据对称性得到，即可求出m的值． 【详解】（1）解：设，将代入， 得，解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）把代入，得， ∴； （3）∵图象经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过点和两点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的对称性，已知自变量的值求函数值，正确掌握待定系数法是解题的关键． 题型二.图象法确定一元二次方程的近似根 4．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 0.59 1.16 那么方程的一个近似根的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据解析式求得，观察表格即可求解． 【详解】解：由，当时，， 当时，， ∴方程的一个近似根在和之间． 故选：B． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法． 【详解】解∶由可得： ， 当时，， 当时，， 故的一个近似根， 距离x轴更近， 的一个近似根是， 的另一个近似根是 故答案为：或 6．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数中函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 3 … y … 9 21 9 … 根据表格填空： (1)该函数图象的开口方向________，对称轴为________； (2)方程的正根的范围为________； (3)不等式解集是________． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）根据表格中的数据，并结合二次函数图象的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象与性质进行求解即可； （3）找到点关于对称轴的对称点为，再由二次函数的图象过点和，即可求解． 【详解】（1）解：∵当，时，函数值都是9， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，函数值随着的增大而增大， ∴该函数图象的开口向下， 故答案为：向下，； （2）解：∵点、关于对称轴的对称点为、， ∴方程的正根的范围为， 故答案为：； （3）解：∵点关于对称轴的对称点为，且该函数图象的开口向下， ∴不等式解集是， 故答案为：． 练习试卷 一、单选题 1．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的最精确的一个近似根是（　　） x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 x2-x-1 -0.76 -0.61 -0.44 -0.25 -0.04 0.19 0.44 A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.8 【答案】C 【分析】根据表格中的数据和题意可以解答本题． 【详解】解：由表格可知， 当x＝1.6时，y＝﹣0.04与y＝0最接近， 故选：C． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 2．根据下列表格的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax2＋bx＋c −0.03 −0.01 0.02 0.04 A．6.19<x<6.20 B．6.18<x<6.19 C．6.17<x<6.18 D．6<x<6.17 【答案】B 【分析】观察表中数据得到当x＝6.18时，y＝−0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，则可判断当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，所以可确定方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的大致范围为6.18＜x＜6.19． 【详解】解：∵当x＝6.18时，y＝−0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0， ∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0（其中a，b，c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用图象法求一元二次方程的近似根：先作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；再由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；然后观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 3．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣5中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣5＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 … A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 【答案】B 【分析】根据表格可知，方程的根在之间，而当时，更接近于0，据此分析可得近似解． 【详解】时，，时，，则方程的根在之间， 而当时，更接近于0， 原方程的一个近似解为 故选B 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，求近似解，理解二分法求近似解的值是解题的关键． 4．如表是一组二次函数y＝x2+x﹣1的自变量x与函数值y的对应值． x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y ﹣0.44 ﹣0.49 ﹣0.04 0.19 0.44 由上表可知，方程x2+x﹣1＝0的一个近似解是（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】观察表格可得-0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程x2+x﹣1＝0的一个近似根为0.6， 故选：C． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解题的关键． 5．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤，则b﹣a的最大值为（　　） A．1 B．+1 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出函数的图象如下图所示，根据图象求出当x≥0，y＝时，点B的坐标，再求出当x＜0时点C的坐标，然后计算点B的横坐标与点C的横坐标的差即为所求． 【详解】解：函数的图象如下图所示， 当x≥0，y＝﹣时，，解得：x＝，当y＝时，x＝（负值已舍去）， 故顶点A的坐标为（，﹣），点B（，）； 同理点C（，﹣）； 则b﹣a的最大值为：﹣＝1+， 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质和图象，解答本题的关键是理解题意、正确画出函数图象、灵活应用二次函数的性质求解. 6．若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，进而确定t的最小值，然后再求出时t的值，然后比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即t在的范围内的最小值为， 当时，；当时，； 所以t的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质等知识点，根据题意确定t的最小值是解答本题的关键． 7．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解x的范围是（　　） 　x … ﹣3 ﹣2　 ﹣1　 0　 1　 … 　y … ﹣11 ﹣5　 ﹣1　 1　 1　 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， ∴方程的一个近似根x的范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 8．如果二次函数（其中、、为常数，）的部分图象如图所示，它的对称轴过点，那么关于的方程的一个正根可能是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与x轴的负半轴的交点位置，根据抛物线的对称性得出抛物线与x轴正半轴的交点位置，要求会估算． 【详解】∵抛物线的对称轴为x=−1，与x轴的一个交点坐标为(−3.5,0)， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(1.5,0)， ∴关于x的方程ax2+bx+c=0的一个正根可能是1.5. 故选B. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系. 9．根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是． 【详解】解：时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx+1.365＝0的根是（　　） x …… 0 4 …… y …… 0.365 -1 0.365 …… A．0或4 B．或4 C．1或5 D．或2 【答案】B 【分析】利用抛物线经过点（0，0.365）得到c=0.365，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经过点（，-1），由于方程ax2+bx+1.365=0变形为ax2+bx+0.365=-1，则方程ax2+bx+1.365=0的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.365=0的根为x1=，x2=4-． 【详解】解：由抛物线经过点（0，0.365）得到c=0.365， 因为抛物线经过点（0，0.365）、（4，0.365）， 所以抛物线的对称轴为直线x=2， 而抛物线经过点（，-1）， 所以抛物线经过点（4-，-1）， 所以二次函数解析式为y=ax2+bx+0.365， 方程ax2+bx+1.365=0变形为ax2+bx+0.365=-1， 所以方程ax2+bx+0.365=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值， 所以方程ax2+bx+1.365=0的根为x1=，x2=4-． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 二、填空题 11．已知二次函数，当时，的取值范围是，则的值为 ． 【答案】-3或-2 【分析】利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，结合y的取值范围即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，代入y=0求出x的值，结合当m≤x≤m+3时y的取值范围是0≤y≤4，即可得出m的值，验证后即可得出结论． 【详解】解：∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4， 当y=0时，有-x2-2x+3=0， 解得：x1=-3，x2=1， 由题意的取值范围是， ∴m=-3或m+3=1，则能使得的取值范围是， ∴m=-3或-2． 故答案为-3或-2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出m的值是解题的关键． 12．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为 ． 【答案】1.4 【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1， ∴另一个交点坐标为：（1.4，0）， 则方程的另一个近似根为1.4， 故答案为：1.4． 【点睛】本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键． 13．二次函数y=-mx2+x+m（m为常数且m＜0）的图象经过点A（-1，n）． （1）n= ； （2）已知平面内有两点P（-3，1），Q（0，1），若该函数图象与线段PQ有交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 -1 【分析】（1）把点A（-1，n）代入二次函数y=-mx2+x+m即可求得答案； （2）y=-mx2+x+m，当y=1时，可得解得：，然后根据m＜0，P（-3，1），Q（0，1），二次函数图象与线段PQ有交点，即可求得m的取值范围. 【详解】解：（1）把点A（-1，n）代入二次函数y=-mx2+x+m， 得：n=-m-1+m， 解得：n=-1； 故答案为：-1. （2）二次函数y=-mx2+x+m（m为常数且m＜0）， 当y=1时，得：-mx2+x+m=1， 因式分解的：， 解得：， ∵m＜0， ∴， ∵，P（-3，1），Q（0，1）， ∴当二次函数图象与线段PQ有交点时， 得：， 即：， 解得：. ∴m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、因式分解法解一元二次方程、解分式不等式，熟练掌握二次函数的性质和应用数形结合思想是解题的关键. 14．已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是 【答案】 【分析】根据时，随的增大而减小，可得答案． 【详解】解：由的增减性，得 时，随的增大而减小． 当时，， 当时，， 的一个近似根， 由于的绝对值比更接近0，所以的一个近似根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 三、解答题 15．已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． （1）求a，b的值； （2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值； （2）将(5，)，(m，)代入解析式，联立即可求得m的值. 【详解】（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13）， ∴，解得， ∴a的值为1，b的值为-4； （2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点， ∴，解得或（舍去） ∴m的值为-1. 【点睛】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键. 16．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为且经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求直线与该二次函数图象的交点的纵坐标之差的绝对值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据顶点坐标，设出二次函数的顶点式，将点B的坐标代入即可求解； （2）将直线解析式与二次函数解析式联立组成方程组，解方程组即可求解出两函数的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数是， 把代入函数， 则， 解得， 所求函数是； （2）解：根据题意联立直线解析式与二次函数解析式组成方程组为 ， 解得或， ∴两个函数交点坐标是和． ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点坐标．用待定系数法求出二次函数解析式是解答关键． 17．已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c； (1)若抛物线C的顶点坐标为(1，﹣3)，求b、c的值； (2)当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值； (3)当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为_________． 【答案】(1)b＝1，c＝﹣2 (2)b的值为﹣6或 (3)4 【分析】（1）抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），代入解析式即可求解； （2）将c＝b+2代入抛物线解析式，可得对称轴为x＝b，分三种情况讨论①当b＜0时，②当0≤b≤2时，③当b＞2时，根据抛物线C的最小值是﹣4，列出方程组即可求解； （3）当c＝b2+1时，抛物线C的解析式为y＝（x﹣b）2+1，即抛物线C的顶点在直线y＝1上移动，设抛物线C与直线y＝x﹣2除顶点外的另一个交点为M，此时点M的横坐标即为m的最大值，结合图象列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3）， ∴y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2， ∴﹣2b＝﹣2，b＝1，c＝﹣2； （2）∵c＝b+2 ∴y＝x2﹣2bx+c＝x2﹣2bx+b+2，对称轴为x＝b， ①当b＜0时，由题意可知b+2＝﹣4，解得b＝﹣6，符合题意； ②当0≤b≤2时，，解得b1＝3，b2＝﹣2，不合题意舍去； ③当b＞2时，根据题意可知22﹣4b+b+2＝﹣4，解得b＝，符合题意； 综上所述，所求b的值为﹣6或． （3）当c＝b2+1时，抛物线C的解析式为y＝（x﹣b）2+1， 如图所示，抛物线C的顶点在直线y＝1上移动， 当3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立， 则可知抛物线C的顶点坐标为（3，1）， 设抛物线C与直线y＝x﹣2除顶点外的另一个交点为M， 此时点M的横坐标即为m的最大值， 由解得x1＝3，x2＝4， ∴m的最大值为4． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求解析式，二次函数最值问题，数形结合是解题的关键． 18．已知二次函数． （1）当时，二次函数的最小值为 ． （2）当时，二次函数 的最小值为，则m的值为 ． 【答案】 或 【分析】（1）把代入可得，，即可求解； （2）根据，分两种情况：当时，，y取最小值，当时，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，结合二次函数图象与性质进行求解即可． 【详解】解：（1）当时，， ∵， ∴最小值为， 故答案为：； （2） ， ∵当时，二次函数 的最小值为， 当时，，y取最小值， 即， 解得， 当时，抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∴，y取最小值， 即， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的最值、二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 19．已知二次函数y＝x2－6x+8.求： （1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标； （3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题： ①方程x2－6x＋8＝0的解是什么？ ②x取什么值时，函数值大于0？ ③x取什么值时，函数值小于0？ 【答案】（1）（2,0），（4,0），（0，8）（2）（3，－1）（3）①x1＝2，x2＝4②x＜2或x＞4③2＜x＜4 【分析】（1）分别令x=0，y=0即可求得交点坐标． （2）把函数解析式转化为顶点坐标形势，即可得顶点坐标． （3）①根据图象与x轴交点可知方程的解；②③根据图象即可得知x的范围． 【详解】（1）由题意，令y=0，得x2-6x+8=0， 解得x1=2，x2=4． 所以抛物线与x轴交点为（2，0）和（4，0）， 令x=0，y=8． 所以抛物线与y轴交点为（0，8）， （2）抛物线解析式可化为：y=x2-6x+8=（x-3）2-1， 所以抛物线的顶点坐标为（3，-1）， （3）如图所示． ①由图象知，x2-6x+8=0的解为x1=2，x2=4． ②当x＜2或x＞4时，函数值大于0； ③当2＜x＜4时，函数值小于0； 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及函数性质，是基础题型． 20．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”． 例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点． (1)点的“可控变点”坐标为　　 ； (2)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求“可控变点” Q的横坐标； (3)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，求实数a的取值范围． 【答案】(1)（﹣5，2） (2)或3 (3) 【分析】（1）根据定义直接解答即可； （2）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）∵-5<0， ∴， ∴点的“可控变点”坐标为（-5，2）， 故答案为（﹣5，2）； （2）依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数． 的图象上． ∵“可控变点”Q的纵坐标y′是7， ∴当时，解得x=3； 当，解得x=-； 综上所述“可控变点” Q的横坐标为或3． （3）依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数 的图象上（如图）． ∵， ∴． ∴x=． 当x=-5时， 当=9时，x=， ∴a的取值范围是． 【点睛】此题考查的是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案. 21．二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹．其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线． ①抛物线()的焦点为，例如，抛物线的焦点是；抛物线的焦点是___________； ②将抛物线()向右平移个单位、再向上平移个单位(，)，可得抛物线；因此抛物线的焦点是．例如，抛物线的焦点是；抛物线的焦点是_____________________．根据以上材料解决下列问题： （1）完成题中的填空； （2）已知二次函数的解析式为； ①求其图象的焦点的坐标； ②求过点且与轴平行的直线与二次函数图象交点的坐标． 【答案】（1）①；②；（2）①；②和 【分析】（1）直接根据新定义即可求出抛物线的焦点； （2）①先将二次函数解析式配成顶点式，再根据新定义即可求出抛物线的焦点； ②依题意可得点且与轴平行的直线，根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，将点F的纵坐标代入解析式即可求得x的值，从而得出交点坐标． 【详解】（1）①根据新定义，可得， 所以抛物线的焦点是； ②根据新定义，可得h=−1，， 所以抛物线的焦点是； （2）①将化为顶点式得： 根据新定义，可得h=−1，， 所以可得抛物线的焦点坐标； ②由①知，所以过点且与轴平行的直线是， 将代入得： ， 解得：或， 所以，过点且与轴平行的直线与二次函数图象交点的坐标为和． 【点睛】本题考查了新定义、二次函数的顶点式、求解直线与抛物线的交点坐标，解决这题的关键是理解新定义求抛物线的焦点． 22．已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的值； （2）先作的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式； （3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求的最大值和最小值． 【答案】（1）1；（2）；（3）最大值为21，最小值为﹣4． 【详解】试题分析：（1）由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可； （2）画出翻折．平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式； （3）首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题； 试题解析：（1）对于一元二次方程，△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，∵方程有实数根，∴﹣（m﹣1）2≥0，∴m=1． （2）由（1）可知= ，图象如图所示：    平移后的解析式为，即． （3）由消去y得到，由题意△≥0，∴36﹣4n﹣8≥0，∴n≤7，∵n≤m，m=1，∴1≤n≤7，令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4，n=7时，y′的值最大，最大值为21，∴的最大值为21，最小值为﹣4． 学科网（北京）股份有限公司 $$