第07讲 圆（7大核心考点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第07讲 圆 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解圆的有关概念； 2．经历探索点与圆的位置关系的活动过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系。 1.在小学的时候我们有接触过圆，可以说一下与圆有关的概念嘛？ 2.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做 ，固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 . 以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“ ” 圆的两大要素：确定圆的位置—— ；确定圆的大小—— 。 圆的集合性定义：在平面内，圆是到 的距离等于 的点的集合。 比如：OA=2，O是定点，A是动点，因此点A的轨迹是以O为圆心半径为2的圆。 与三角形的关系：圆上任意两点与圆心构成得到三角形都是 。 3.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 特点 性质及判定 图示 点在圆内 点在圆上 点在圆外 注：“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端；点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上。 4.与圆有关的 （1） 弦： 叫做弦（如图AB）. 直径： 叫做直径（如图CD）. 弦心距： 叫做弦心距（如图OE）. 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.　　　　　　　 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. （2）弧 弧： 叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆： 叫做半圆（如图弧CD）； 优弧： 叫做优弧（如图弧ADB）； 劣弧： 叫做劣弧（如图弧ACB）. 注：① ；② . （3）等弧 叫做等弧. 注：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. （4）同心圆与等圆 叫做同心圆. 能够互相重合的两个圆叫做等圆.因此，半径相等两个圆是等圆。 注： . （5）圆心角 叫做圆心角（如图∠AOB）. 考点一：圆的概念 例1．下列说法错误的是（　　） A．圆有无数条直径 B．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 C．过圆心的线段是直径 D．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 【变式1-1】下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】以下说法中：①直径是圆中最长的弦；②半圆是圆中最长的弧；③面积相等的圆是等圆．其中正确的是 （填序号）． 【变式1-3】古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连接． (1)求的度数； (2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？ 考点二：弦的条数 例2．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【变式2-1】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式2-2】如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 【变式2-3】如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 考点三：圆心角的概念 例3.下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】下列图形中，为圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在中，弦的长恰好等于半径，弦所对的圆心角为 ． 【变式3-3】如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 考点四：圆弧 例4．如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（   ） A．116 B．120 C．122 D．128 【变式4-2】如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 【变式4-3】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． （1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数； （2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE． 考点五：点与圆的位置关系 例5．如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【变式5-1】已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（ ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断 【变式5-2】如图，已知矩形的边，现以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是 ． 【变式5-3】如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 考点六：圆的周长与面积 例6. 甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A． B． C． 【变式6-1】圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （      ） A．扩大为 4 倍 B．扩大为 倍 C．不变 D．扩大为2倍 【变式6-2】如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的 倍．（精确到个位） 【变式6-3】如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    考点七：点与圆的之间距离最值 例7．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 【变式7-2】如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 【变式7-3】综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的 边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为 ， 连接 ， 如图②，请根据以上条件填空． ①点 在以点 为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形 沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上． ① 求 面积的最大值； ② 连 接，为的中点，点 在上，连接求的最小值． 1．平面内，已知的半径是，线段，则点（　　） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 2．在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 3．如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（    ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家（    ）的圆周率． A．祖冲之 B．赵爽 C．刘徽 D．朱世杰 5．如图，点，，在上，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ） A．12 B．24 C．14 D．28 7．如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．已知直径为8，点到点距离为4，则点在 ．（填“上、内或外”） 10．（秋•南岗区校级月考）一个圆内最长的弦长是，则此圆的半径是 cm． 11．如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 12．已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 13．如图，矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交的延长线于点E，若点F是弧的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，在正方形中，，点分别是边上的动点，且，连接交于点． （1）当时，连接，取的中点，则的长为 ． （2）点之间的距离的最小值为 ． 15．如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 16．如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径以及上，并且，若．    (1)求的长； (2)求的半径． 17．【课本再现】（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为______． 【变式探究】（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长． 【延伸拓展】（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当点E在运动的过程中，存在D，P两点间的距离最短．请求出的最短距离． 18．如图，三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形可称为“等中三角形”，探索体验 （1）如图①，点D是线段的中点，请画一个，使其为“等中三角形”． （2）如图②，在 中， ，判断是否为“等中三角形”，并说明理由． 拓展应用 （3）如图③，正方形木板的边长，请探索在正方形木板上是否存在点P，使为面积最大的“等中三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 圆 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解圆的有关概念； 2．经历探索点与圆的位置关系的活动过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系。 1.在小学的时候我们有接触过圆，可以说一下与圆有关的概念嘛？ 圆的面积=Πr² 圆的周长=2Πr 2.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 圆的两大要素：确定圆的位置——圆心；确定圆的大小——半径。 圆的集合性定义：在平面内，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径的点的集合。 比如：OA=2，O是定点，A是动点，因此点A的轨迹是以O为圆心半径为2的圆。 与三角形的关系：圆上任意两点与圆心构成得到三角形都是等腰三角形。 3.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 特点 性质及判定 图示 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点在圆内⇔d＜r 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点在圆上⇔d=r 点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点在圆外⇔d＞r 注：“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端；点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上。 4.与圆有关的 （1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦（如图AB）. 直径：经过圆心的弦叫做直径（如图CD）. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距（如图OE）. 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.　　　　　　　 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. （2）弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆（如图弧CD）； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧（如图弧ADB）； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧（如图弧ACB）. 注：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧. （3）等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 注：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. （4）同心圆与等圆 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 能够互相重合的两个圆叫做等圆.因此，半径相等两个圆是等圆。 注：同圆或等圆的半径相等. （5）圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角（如图∠AOB）. 考点一：圆的概念 例1．下列说法错误的是（　　） A．圆有无数条直径 B．连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 C．过圆心的线段是直径 D．同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 【答案】C 【分析】 此题考查了圆的认识，属于基础概念的考查，根据：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦，逐一判断即可． 【详解】解：A、圆有无数条直径，正确，不符合题意； B、连接圆上任意两点之间的线段叫做弦，正确，不符合题意； C、经过圆心的弦叫直径，故原说法错误，符合题意； D、同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个命题进行判断，然后作出选择． 【详解】解：①直径是弦，故原说法正确； ②弦不一定是直径，故原说法错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，所以长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误； 所以，正确的命题有①③共2个． 故选：B． 【变式1-2】以下说法中：①直径是圆中最长的弦；②半圆是圆中最长的弧；③面积相等的圆是等圆．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了圆的相关概念，正确理解圆、半圆、弧和弦的定义是解题的关键．根据弦、弧、半圆和等圆的定义分别进行判断即可． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，故正确； ②半圆不是圆中最长的弧，故不正确； ③面积相等的两个圆半径相等，而半径相等的圆是等圆，故正确； 综上分析可知，正确的有①③． 故答案为：①③． 【变式1-3】古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连接． (1)求的度数； (2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？ 【答案】(1) (2)外圈只转一周且当与一边垂直时，经过或或 或． 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，正确地识别图形是解题的关键． （1）由题意得将圆8等分，占其中的3份，然后列式计算即可； （2）分和两种情况，分别根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：将圆8等分，占其中的3份， ∴． （2）解：由题意得，外圈转动速度为：, ①当时，点A在右侧半圆上，时间， 点A在左侧半圆上，时间； ②当时，点D在右侧半圆上，时间； 点D在左侧半圆上，时间． 综上所述，外圈只转一周且当与一边垂直时，经过或或或． 考点二：弦的条数 例2．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合，根据弦的定义进行判断即可，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键 【详解】解：弦为，共有3条， 故选：B． 【变式2-2】如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 【答案】 1 3 4 4 【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条， 故答案为1，3，4，4． 【变式2-3】如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 考点三：圆心角的概念 例3.下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角． 【变式3-1】下列图形中，为圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角定义：角的顶点是圆心，两边与圆相交，即可得结论． 【详解】解：根据圆心角定义可知： A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意； B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意； C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意； D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角和圆周角的定义，解决本题的关键是掌握圆心角与圆周角的定义． 【变式3-2】在中，弦的长恰好等于半径，弦所对的圆心角为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了圆心角、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角是解题关键．根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，∵在中，弦的长恰好等于半径， ， 是等边三角形， ， 即弦所对的圆心角为， 故答案为：60．    【变式3-3】如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 考点四：圆弧 例4．如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，进而可得． 【详解】 由题意知 ∴ ∵量角器为半圆 ∴ ∴ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查量角器的使用、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，难度较小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为的度数． 【变式4-1】如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（   ） A．116 B．120 C．122 D．128 【答案】D 【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC， 与圆O相切于A点， ， ， ， ， 垂直平分BC， ， ， ， 的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角． 【变式4-2】如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 【变式4-3】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． （1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数； （2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE． 【答案】（1）35°；（2）见解析 【分析】（1）连接AC．根据弧AD为120°，弧BC为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°； （2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝DE． 【详解】（1）解：连接AC． ∵弧AD为120°，弧BC为50°， ∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°， ∵∠ACD＝∠BAC+∠E ∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°； （2）证明：连接AD． ∵AB＝CD， ∴弧AB＝弧CD， ∴弧AC＝弧BD， ∴∠ADC＝∠DAB， ∴AE＝DE． 【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键． 考点五：点与圆的位置关系 例5．如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定，由题意可知点在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴，，， ∴， 由题意可知，， 则点在以点为圆心，以5为半径的圆上， ∴当点在线段上时，取最小值， 此时， 当点在线段的延长线上时，取最大值， 此时， ∴的取值范围为， ∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式5-1】已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（ ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判断方法． 根据点P到圆心的距离和半径的关系得出点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为大于半径， ∴点P在圆外， 故选：B． 【变式5-2】如图，已知矩形的边，现以点为圆心作圆，如果至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外； ②点在圆上；③点在圆内是解题的关键．根据勾股定理求出的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连结，， 四边形是矩形， ， ， 以点为圆心作圆，如果、、至少有一点在圆内， ， 至少有一点在圆外， ， 半径的取值范围是：． 故答案为：． 【变式5-3】如图，在中，，于点为的中点．    (1)以点为圆心，6为半径作圆，试判断点与的位置关系； (2)当的半径为多少时，点在上？ 【答案】(1)点A在上，点在内，点在外 (2)5 【分析】（1）各点到的距离与半径6作对比，大于半径的在圆外，等于半径的在圆上，小于半径的在圆内； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，所以当半径为5时，在上． 【详解】（1）如图，在中，，，， ， 在上， ， ， ， ， 在内， ， 在外； （2）在中，， 为的中点， ， 当的半径为5时，点在上； 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 考点六：圆的周长与面积 例6. 甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（　　） A． B． C． 【答案】A 【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解． 【详解】解：由题意得 解得：， 解得：， 所以， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键． 【变式6-1】圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （      ） A．扩大为 4 倍 B．扩大为 倍 C．不变 D．扩大为2倍 【答案】D 【分析】根据圆面积公式作答即可． 【详解】解：设原来圆面积为S，当圆的面积扩大为原来的 4 倍，即，根据圆面积公式，那么，所以则半径扩大为2倍； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是圆面积公式，正确掌握圆面积公式是解题的关键． 【变式6-2】如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的 倍．（精确到个位） 【答案】14 【分析】根据圆的性质和正方形的性质求圆的半径和正方形的边长，利用面积公式求解即可. 【详解】解：如图 由题意得AC与EF共线 ∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1 ∴EF：AC=3：1 ∴OE：OA=3：1 设OE=3x，OA= x 在正方形ABCD中 由勾股定理得：AD=x ∴圆的面积为：π×（3x）2=9πx2 正方形的面积为（x）2=2 x2 ∴9πx2÷2 x2=≈14 故答案为：14 【点睛】本题主要考查了圆的性质和正方形的性质，以及圆与正方形的面积公式的求解. 【变式6-3】如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    【答案】 【分析】设小圆的半径为r，则大圆的半径为，根据，列方程求得大圆和小圆的半径，再计算大圆和小圆的周长之和即可求解． 【详解】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为， 由图可得，，即， 解得， （舍），， ∴， ∴， 答：围成圆环铁丝的总长度为． 考点七：点与圆的之间距离最值 例7．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点，交于一点，则当取得最大值时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值；由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值，把点I的坐标代入中，即可求得k的值． 【详解】解：由题意知，当圆心I在线段上，取得最大值， 此时直线过点I， 把点I坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 【变式7-1】直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，三角形的面积，点和圆的位置关系，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离． 求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点P是以为圆心，1为半径的圆上一点， 过C作于M，连接， ∴， ∴， 当P，C，M在一条直线时，最大，即的面积最大， 即， ∴面积的最大值， 故选：D． 【变式7-2】如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构造圆．由可得，，点在以为直径的圆弧上，点在圆外，可求的最小值． 【详解】解：作的中点，连接． 矩形中，， ， ， ， ， 当点移动时，点在以为直径的圆弧上移动，当点在上时，有最小值． ，，， ， ， 有最小值为4． 故答案为：4． 【变式7-3】综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的 边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为 ， 连接 ， 如图②，请根据以上条件填空． ①点 在以点 为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形 沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上． ① 求 面积的最大值； ② 连 接，为的中点，点 在上，连接求的最小值． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【分析】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等， （1）①利用圆的基本性质，即可求解； ②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解； （）①由题意知点在以点为圆心，半径长为的圆上，的面积要最大，只要以为底的高最长即可，此时当时，的面积最大； ②当、、三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）根据折叠的性质知：，，， ， ①点在以点为圆心，的长为半径的圆上； ② ； 故答案为：①，②， （）①，， ， 故点在以点为圆心，半径长为的圆上， 的面积要最大，只要以为底的高最长即可， 当时，的面积最大，如图： 的面积最大值； ②， ， 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ，即， ， 当三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 且最小值为的长， ， 的最小值为． 1．平面内，已知的半径是，线段，则点（　　） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，当点与圆心的距离大于半径时，点在圆外；当点与圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点与圆心的距离小于半径时，点在圆内；由此判断即可． 【详解】解： 的半径是，线段， 点到圆心的距离小于半径， 点在内． 故选：C． 2．在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识． 点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解． 【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 3．如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（    ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了圆的定义．以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线的交点即为所求的点． 【详解】如图，以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线有个交点，则满足条件的点有个， 故选C． 4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家（    ）的圆周率． A．祖冲之 B．赵爽 C．刘徽 D．朱世杰 【答案】A 【分析】本题考查运用所学知识解决问题的能力，结合所学知识点进行思考解答即可 【详解】解：由题干材料判断是祖冲之， 故选：A 5．如图，点，，在上，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质与判定；根据半径相等可得，根据角平分线的定义可得得出，即可判断，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ） A．12 B．24 C．14 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置． 连接，根据直角三角形的性质得出，说明要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值，过点M作轴于点Q，根据勾股定理求出，得出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 点A、点B关于原点O对称， ， ， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值， 过点M作轴于点Q， 则， ， 又， ， ． 故选：D． 7．如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点F在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B， 连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键． 8．如图，在中，，，以为边作等腰直角，连，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接，则，，先证明点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧），故当点O在线段上时，最大，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为斜边，在右侧作等腰直角，过点O作交延长线于E，连接， ∴，， ∵， ∴点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（右侧）， ∴当点O在线段上时，最大， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最大值， 故选D． 【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定点B的轨迹是解题的关键． 9．已知直径为8，点到点距离为4，则点在 ．（填“上、内或外”） 【答案】上 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：⊙O的半径, ∵点到点距离为4， ∴点在上, 故答案为：上 10．（秋•南岗区校级月考）一个圆内最长的弦长是，则此圆的半径是 cm． 【答案】6 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，根据圆内最长的弦是直径即可求解． 【详解】解：因为直径是圆中最长的弦，而圆的最长弦长为， 所以直径是，半径是． 故答案为：6． 11．如图，点A，B，C在上．若，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 【详解】解：A、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 13．如图，矩形中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交的延长线于点E，若点F是弧的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】结合矩形的性质、圆的有关性质求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出再根据，，列式计算即可得解， 本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图， 连接， 在矩形中， ∵点是弧的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 则图中阴影部分的面积为 故答案为：． 14．如图，在正方形中，，点分别是边上的动点，且，连接交于点． （1）当时，连接，取的中点，则的长为 ． （2）点之间的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据正方形性质，由三角形全等的判定与性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可得到答案； （2）由（1）中，，可知点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示，由动点最值问题-圆弧型解法，结合勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：（1）在正方形中，，， ， ， ， 在中，， ，即， 在中，是斜边上的中线，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ； （2）由（1）知，且， 点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示： 由三角形三边关系可知，在中，， 当三点共线时，点之间的距离的最小值为， 在中，，，则由勾股定理得到， ； 故答案为：；． 【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、动点最值问题-圆弧型、勾股定理等知识，熟练掌握正方形性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及动点最值问题-圆弧型解法是解问题的关键． 15．如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解答本题的关键． 连接，利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及等量代换得到，由三角形外角性质可得，进而求解即可． 【详解】如图，连接 ． ∵，， ∴， ∴， ∴． 又∵ ， ∴， ∴ ∴， ∴． 16．如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径以及上，并且，若．    (1)求的长； (2)求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和等腰三角形的判定可得，再根据勾股定理求解即可； （2）连接，根据勾股定理求出即得答案． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接，则为直角三角形， ∵ ∴． 即的半径为．    【点睛】本题考查了圆的基本知识、正方形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 17．【课本再现】（1）如图1，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数为______． 【变式探究】（2）如图2，将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点F，若，求的长． 【延伸拓展】（3）如图3，当（2）中的点E在射线上运动时，连接，与交于点P．探究：当点E在运动的过程中，存在D，P两点间的距离最短．请求出的最短距离． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，推出，由，得到，推出即可得出结果； （2）根据正方形的性质，得到，求出，进而得到，由折叠的性质得到，，再根据（1）中，得到，进而得到，利用勾股定理求出，由即可求解； （3）由折叠的性质，得到，即点P在以为直径的圆上运动，设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图，求出，进而得到求出的最短距离． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， ， ， ， ， 由折叠的性质得到，， 由（1）知， ， ， ， ； （3）由折叠知， ， 点P在以为直径的圆上运动， 设的中点为Q，连接，则当点P在上时，D，P两点间的距离最短，设交于点G，如图， ， ， 即D，P两点间的最短距离为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，点到圆上的最短距离，灵活运用点到圆上的最短距离，折叠的性质，是解题的关键． 18．如图，三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形可称为“等中三角形”，探索体验 （1）如图①，点D是线段的中点，请画一个，使其为“等中三角形”． （2）如图②，在 中， ，判断是否为“等中三角形”，并说明理由． 拓展应用 （3）如图③，正方形木板的边长，请探索在正方形木板上是否存在点P，使为面积最大的“等中三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）是“等中三角形”，理由见解析（3）存在，的长3． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理等： （1）以D为圆心，的长为半径画圆；在圆上任意取一点C（直线与的交点除外），连接，则就是所求作的“等中三角形”； （2）取的中点D，连接，根据勾股定理可求出的长，从而得到，即可； （3）分三种情况，结合“等中三角形”的定义，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，以D为圆心，的长为半径画圆；在圆上任意取一点C（直线与的交点除外），连接，则就是所求作的“等中三角形”； （2）是“等中三角形”．理由如下： ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形较短直角边上的中线大于较长直角边， ∴取的中点D，连接，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“等中三角形”； （3）存在． 当中线长时，如图，在正方形内任意取一点P，连接，取的中点E；以 E为圆心，以为半径画圆，当圆E经过点B时，是等中三角形； 当中线长时，如图，在正方形内任意取一点P，连接，取中点E；以 E为圆心，以为半径画圆，当圆E经过点A时，是等中三角形； 当中线长时，取中点E，以E为圆心，以为半径画圆，交于P，此时； 根据题意可得：当中线长时，点P到的距离最大， 即当中线长时，是面积最大的等中三角形， 此时：，四边形为矩形， 此时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$