精品解析：贵州省贵阳市第一中学2023-2024学年高一下学期教学质量监测（四）数学试题

高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则的实部与虚部之和是（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得答案. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：C． 2. 已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】斜二测画法换元注意纵坐标长度是原来的倍，横坐标长度不变． 【详解】，所以，还原如图所示： 则，所以平面图形面积． 故选：D． 3. 已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A 若，则 B. 平面内有不共线的三个点到平面的距离相等，则 C. 若，则 D. 若与不相交，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系以及平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为是两条不同的直线，是三个不同的平面， 对于，若，则与可能相交，故错误； 对于B，或与相交，故错误； 对于，若，则可能相交或平行或异面，故错误； 对于，由两平面平行的性质定理知，由已知共面且无公共点，所以. 故选：D． 4. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，则，，可判断A,C; 事件B与D是互斥事件,判断B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判断D. 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，， 故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确， 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故，D错误， 故选：D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数和对数函数的单调性，放缩求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 综上， 故选：C 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算可得答案. 【详解】向量满足， ， 两边平方可得：， 即 . 故选：B． 7. 设，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到的解集为，从而得到必要性成立，充分性不成立. 【详解】由，得到，即，所以时，能得出， 当时，不妨取，此时， 故时，得不出， 所以是“”是的必要不充分条件. 故选：B． 8. 在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的直径为4，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，再由余弦定理和不等式可求得，代入面积公式可得结果. 【详解】由于，且外接圆的直径为4，不妨设外接圆的半径为， 所以. 由余弦定理得， 可得，即，当且仅当时，等号成立； 则， 即当时，面积的最大值是. 故选：C． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 某校抽取了某班20名学生的数学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格． 成绩 80 95 100 105 110 115 123 人数 2 3 3 5 4 2 1 下列结论正确的是（ ） A. 这20人成绩的众数为105 B. 这20人成绩的极差为43 C. 这20人成绩的分位数为95 D. 这20人成绩的平均数为97 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据众数是出现次数最多的数判断；对于B，极差是最大值减最小值可判断；对于C，根据百分位数的计算公式即可求得；对于D，根据平均数的计算公式即可求得. 【详解】根据表格可知：这20人成绩的众数为105，故A对； 极差为，故B对； 又，所以分位数为，故错； 平均数为，故D错. 故选：AB． 10. 已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断AB，由复合函数的单调性即可判断C，由函数的单调性结合函数图像即可求解函数值域，从而判断D. 【详解】 函数，由，解得， 因此的定义域为， 显然，函数是奇函数，错误，B正确； 函数，显然在单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 于是在上单调递增，正确； 当或时，， 函数在上单调递减， 于是在上单调递减，图像如图所示， 所以值域为，故D错误. 故选:BC． 11. 已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意得出；再由二次函数的最值的求法可判断选项A，根据基本不等式可判断选项B，由三个二次之间的关系可判断选项C，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D. 【详解】因为有且只有一个零点， 所以，即. 对于选项A，因为， 所以 ，故选项A正确； 对于选项B，因为，当且仅当时，等号成立，故选项错误； 对于选项C，因为， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 对于选项D，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为，且， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 12. 已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题中图象可得，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】对于函数， 由图可知，则， 所以， 又因为， 则，解得， 又因为，则，所以， 则 ． 对于A：最小正周期为，A正确； 对于B：对于，令，解得， 所以的对称轴方程为，故B错误； 对于C：当时，， 则，所以在上的值域为，故C正确； 对于D：令，解得， 所以的单调递增区间为，D正确， 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为，则的概率是___. 【答案】 【解析】 【分析】列出满足的基本事件，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】同时抛掷两枚骰子共有种结果，其中满足有：， ， ， ，共种结果， 所以的概率为． 故答案为： 14. 已知，则的值是______． 【答案】##0.9375 【解析】 【分析】由，可得，两边平方可得，又，即可求得的值. 【详解】因为， 所以， 所以，因为， 所以. 故答案为：. 15. 在四面体中，，且异面直线与所成的角为，则四面体的外接球的表面积为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，将四面体补形为直三棱柱，分别求得直三棱柱外接球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可求解. 【详解】 将四面体补形为直三棱柱如图所示（设为直三棱柱上下底面三角形的外接圆圆心）： 图甲中，图乙中，在图甲乙中可知： 平面， 所以平面， 图甲乙中取的中点， 连接，则为四面体的外接球的球心，为外接球的半径， 图甲中，且为等边三角形， 所以，所以， 所以外接球的表面积为； 图乙中，， 且为等边三角形，所以， 所以， 所以外接球的表面积为. 故答案为：或 16. 已知是定义在上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围. 【详解】设，由， 得， 所以，令，则， 所以函数在上单调递增，因为是定义在上的偶函数， 所以，所以对任意的， 所以，函数为上的偶函数，且，由， 可得，即，即，所以， 解得． 故答案为： 【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数； （2）从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数. 【答案】（1）分数内的频率为，不及格考生的人数为：（人） （2）众数为75分，中位数为分 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，可求分数在内的频率；用“样本容量频率”可得不及格考生的人数； （2）用频率最大的区间的中间数据估计众数，根据中位数的概念求中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图得：， 解得，所以分数内的频率为. 本次竞赛中不及格考生的人数为：（人）. 【小问2详解】 由题意得：因为成绩在的频率最大，又，所以众数为75分； 设中位数为，则，解得，所以中位数为分. 18. 已知命题：“，使等式成立”是真命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解. 【小问1详解】 由题意，方程在上有解， 令，只需在的值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； 【小问2详解】 由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 19 设两个向量满足. （1）若，求与的夹角； （2）若的夹角为（1）中的，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据求出，再利用，即可求出夹角； （2）根据题意可得且与不共线，计算即可. 【小问1详解】 ， 又， ，又； 【小问2详解】 的夹角为且， ， 向量与的夹角为锐角， 且与不共线， ，即， 解得：或且且， . 20. 如图，在四棱锥中，，平面分别为的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）取的中点，利用线面垂直的判定，性质证明并计算是二面角的平面角大小即得. 【小问1详解】 在四棱锥中，由平面平面，得， 又，即，而平面，则平面， 又在中，分别为中点，即有，因此平面，而平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， 由平面，得平面，而平面， 则，由，得， 又平面，于是平面，又平面， 因此，是二面角的平面角， 设，则，在中，，则， 中，，则， 在中，，因此， 所以二面角的大小为. 21. 的内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）的角平分线与交于点，求的最小值. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得； （2）由等面积法得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理得，即， 由，所以，化简得， 所以，所以. 【小问2详解】 由， 得， 即，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 22. 如果对于函数的定义域内任意的，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”． （1）判断函数是否是“平缓函数”； （2）若函数是闭区间上的“平缓函数”，且，证明：对于任意的，都有成立. 【答案】（1）是“平缓函数” （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“平缓函数”的定义结合所给函数分析判断即可； （2）当时，结论成立，当时，不妨设，结合，可得，再利用绝对值不等式的性质可证得结论. 【小问1详解】 对于任意的，有，即， 从而， 所以函数是“平缓函数”． 【小问2详解】 当时，由已知，得； 当时，因为， 不妨设，所以， 因为， 所以 所以对任意，都有成立． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对“平缓函数”的定义的正确理解，考查理解能力和转化思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则的实部与虚部之和是（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. 已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 平面内有不共线的三个点到平面的距离相等，则 C. 若，则 D. 若与不相交，则 4. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 5 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 5 7. 设，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 8. 在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的直径为4，则面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 某校抽取了某班20名学生的数学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格． 成绩 80 95 100 105 110 115 123 人数 2 3 3 5 4 2 1 下列结论正确的是（ ） A. 这20人成绩的众数为105 B. 这20人成绩的极差为43 C. 这20人成绩的分位数为95 D. 这20人成绩的平均数为97 10. 已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（ ） A. 偶函数 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 的值域为 11. 已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（ ） A B. C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 12. 已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 的单调递增区间为 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为，则的概率是___. 14. 已知，则的值是______． 15. 在四面体中，，且异面直线与所成的角为，则四面体的外接球的表面积为______． 16. 已知是定义在上的偶函数，当，且时，恒成立，，则满足的的取值范围为______． 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数； （2）从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数. 18. 已知命题：“，使等式成立”是真命题. （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 19. 设两个向量满足. （1）若，求与的夹角； （2）若的夹角为（1）中的，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 20. 如图，在四棱锥中，，平面分别为的中点，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小. 21. 的内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）的角平分线与交于点，求的最小值. 22. 如果对于函数的定义域内任意的，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”． （1）判断函数是否是“平缓函数”； （2）若函数是闭区间上“平缓函数”，且，证明：对于任意的，都有成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$