专题04 解三角形期末复习题型【三大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年高一数学下册期末重点复习攻略（人教B版）

专题04 解三角形期末复习题型【三大题型+过关检测卷】 目录 【题型一 判断三角形解的个数及形状】 1 【题型二 正余弦定理有关的边角互化问题】 3 【题型三 解三角形中的最值和范围问题】 6 【期末题型】 【题型一 判断三角形解的个数及形状】 一、单选题 1．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 2．已知分别是三个内角的对边，下列关于的形状判断一定正确的为（    ） A．，则为直角三角形 B．，则为等腰三角形 C．，则为直角三角形 D．，则为等腰三角形 3．已知，，分别是三内角，，的对边，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 5．在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 6．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 二、多选题 8．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则有两解 D．在中，若，则必是等边三角形 9．已知，，分别为内角，，的对边，是平面内一点，下列结论正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为的垂心 10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题，（    ） A．若 则△ABC一定是等边三角形 B．若，，，则△ABC有两解 C．若，则△ABC一定是等腰三角形 D．若,则△ABC一定是锐角三角形 11．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，的三角形有两解，则的取值范围为 D．若为斜三角形，则 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，则为等边三角形 13．在中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（    ） A．若，且有两解，则的取值范围是 B．若，且，则恰有一解. C．若，且为钝角三角形，则的取值范围是 D．若，且为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题 14．在中，角的对边分别为，，，且，则的形状为 三角形． 【题型二 正余弦定理有关的边角互化问题】 一、单选题 1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 2．已知锐角的内角的对边分别为若，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 三、解答题 3．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 4．已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求角; (2)若，求的值； (3)若的面积为，，求的周长. 5．已知的周长为20，角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的面积； (2)若的内切圆半径为，，求的值． 6．在中，. (1)求角的大小； (2)若在边上，，且，求的面积. 7．在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积为7，，求的周长． 8．在中，（a，b，c分别为角的对边） (1)求角C的大小； (2)若，延长AB至点D，使得，，求AB的长度. 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若，，求的面积. 10．已知的内角，，的对边分别为，，，且，． (1)若，求，的值； (2)若的面积为，求的大小及的周长． 11．在中，角的对边分别为． (1)求的大小； (2)若，且边上的中线长为，求的面积． 【题型三 解三角形中的最值和范围问题】 一、单选题 1．设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 2．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 三、填空题 4．在梯形中，，则该梯形周长的最大值为 ． 5．在锐角三角形中，边长为1，且，则边的长度取值范围是 ． 6．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为 （单位：厘米） 四、解答题 7．已知内角的对边分别为，， (1)求的取值范围 (2)求内切圆的半径的最大值 8．在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围. 9．在中，角，，所对的边分别记为，，，且． (1)若，求的大小． (2)若，求的取值范围． 10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 11．在，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点在边上，求的值； (3)在(2)的条件下，若，求最小值？ 12．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ， ，且 ，外接圆面积为 (1)求A； (2)求周长的最大值. 14．记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 15．已知向量，，. (1)若将函数图象向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得到函数，试求在上的单调递减区间； (2)锐角中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 16．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)若，求边上的角平分线长； (2)求边上的中线的取值范围. 17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 【过关检测卷】 一、单选题 1．在中，如果，，，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．在中，内角所对的边分别为已知的外接圆半径是边的中点，则长为（    ） A． B． C． D． 5．已知中，，则（    ） A． B． C． D． 6．化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题 7．的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 8．已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 9．在中，若，，，则为 ． 10．已知中，对应边分别是，若，则 . 四、解答题 11．已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 12．已知的内角的对边分别为为锐角，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，求的值． 13．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求周长的取值范围. 15．在中，与的角平分线交于点D，已知． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解三角形期末复习题型【三大题型+过关检测卷】 目录 【题型一 判断三角形解的个数及形状】 1 【题型二 正余弦定理有关的边角互化问题】 9 【题型三 解三角形中的最值和范围问题】 18 【期末题型】 【题型一 判断三角形解的个数及形状】 一、单选题 1．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形 【答案】A 【分析】由条件利用余弦定理求得，可得，由，再根据正弦定理和余弦定理再可得，从而得出结论． 【详解】在中， ， ，， 又由可得， ，故是等边三角形. 故选：A. 2．已知分别是三个内角的对边，下列关于的形状判断一定正确的为（    ） A．，则为直角三角形 B．，则为等腰三角形 C．，则为直角三角形 D．，则为等腰三角形 【答案】C 【分析】将用正弦定理转化为，由的取值范围可判断的形状；由进行化简可得，由解方程，进而可判断可判断的形状. 【详解】对于AB，当时，由正弦定理可得，即， 因为，所以， 所以，即，得， 所以，则， 于是为直角三角形或钝角三角形，故AB错误； 对于CD，当时，由， 得， 整理得， 由正弦定理，，（是外接圆的半径） 由余弦定理，，即， 解得或，即， 解得或，故为直角三角形，故C正确，D错误； 故选：C. 3．已知，，分别是三内角，，的对边，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】在中，由，利用正弦定理结合三角形内角和及三角形内角取值范围求出，所以 “”是“为直角三角形”的充分条件；举出反例可以说明“”不是“为直角三角形”的必要条件；最后选出答案即可. 【详解】在中，由正弦定理可得：， 由，可得：， 所以，因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 所以，所以为直角三角形， 故“”是“为直角三角形”的充分条件； 若为直角三角形，设，， 则，所以， 所以， 所以“”不是“为直角三角形”的必要条件； 即“”是“为直角三角形”的充分不必要条件. 故选：A. 4．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【答案】A 【分析】由正弦定理得，利用正余弦的二倍角公式、两角和与差的正弦展开式化简可得，解方程可得答案. 【详解】由，可得， 则， ， ， 即， 由，故只能为锐角，可得， 因为，所以，. 故选：A. 5．在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得到，再求解即可. 【详解】在中，已知 由正弦定理得， 所以即 又，则，则， 所以所以该三角形为等腰三角形. 故选：B. 6．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，进而可求，可得结论. 【详解】由正弦定理，得，解得 ， 因为，所以 ， 又因为，所以或， 故此三角形有两解. 故选：C. 二、多选题 8．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则有两解 D．在中，若，则必是等边三角形 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理判断A、C，举反例判断B，利用余弦定理计算判断D. 【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，当，，时，满足，所以， 此时不是等腰三角形，故B错误； 对于C，因为，所以， 即，又，所以有两解， 所以有两解，故C正确； 对于D，由已知，整理得，即， 所以，则，即为等边三角形，故D正确. 故选：ACD 9．已知，，分别为内角，，的对边，是平面内一点，下列结论正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为的垂心 【答案】AD 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理判断A，利用特殊值判断B，利用余弦定理将角化边，即可判断C，根据数量积的运算律得到，同理可得，，即可判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得， 所以，则为钝角，所以为钝角三角形，故A正确； 对于B，因为，当时， ，故B错误； 对于C，因为， 根据余弦定理可得， 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由题意可得， 所以，同理可得，，故为的垂心，故D正确. 故选：AD 10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题，（    ） A．若 则△ABC一定是等边三角形 B．若，，，则△ABC有两解 C．若，则△ABC一定是等腰三角形 D．若,则△ABC一定是锐角三角形 【答案】AD 【分析】根据正弦定理边角互化，以及变形条件，即可判断A；根据判断三角形个数的公式，即可判断B；根据正弦定理边化角，再根据三角函数恒等变形，即可判断C；根据两角和的正切公式，变形条件，即可判断D. 【详解】A.若，再根据正弦定理可得，即， 同理，所以，即，是等边三角形，故A正确； B.，，所以有一解，故B错误； C.若，即，即， 所以或，即或，则是等腰或直角三角形，故C错误； D.， ， 因为，且， 所以都是锐角，故D正确. 故选：AD 11．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，的三角形有两解，则的取值范围为 D．若为斜三角形，则 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，若，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，若，由正弦定理可得， 所以，所以或者， 所以为等腰三角形或者直角三角形，所以B不正确； 对于C，若，的三角形有两解， 则，即的取值范围为，所以C正确； 对于D，在斜三角形中，，所以， 所以，所以， 则，所以D正确； 故选：ACD. 12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，则为等边三角形 【答案】AD 【分析】A.直接利用正弦定理求解判断；B.根据三个角均为锐角的三角形为锐角三角形来判断；C.利用正弦定理边化角，然后整理计算；D.利用余弦定理计算求解. 【详解】对于A：若，，，由正弦定理得，此时可取锐角也可能取钝角，则有两解，A正确； 对于B：只能推出，为锐角，但不确定角的大小，故不能确定的形状，B错误； 对于C：由及正弦定理得，即， 所以，在中有或，所以为等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D：由已知，整理得，即，所以，则，即为等边三角形，D正确. 故选：AD. 13．在中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（    ） A．若，且有两解，则的取值范围是 B．若，且，则恰有一解. C．若，且为钝角三角形，则的取值范围是 D．若，且为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据正弦定理，判断三角形的解的个数，即可判断AB，根据余弦定理和三边的关系，即可判断CD. 【详解】A选项：由正弦定理，，， 且，则，选项A正确； 选项B：，所以无解，故B错误； C选项：①为最大边：，且，此时； ②为最大边：，且，此时，选项C错误； D选项：，且，所以，选项D正确； 故选；AD. 三、填空题 14．在中，角的对边分别为，，，且，则的形状为 三角形． 【答案】直角 【分析】由余弦定理化简可得，从而可判断为直角三角形. 【详解】根据余弦定理，得， 化简得，所以为直角三角形. 故答案为：直角. 【题型二 正余弦定理有关的边角互化问题】 一、单选题 1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简变形可求得结果. 【详解】， ， ，． ，即． ，，即． 故选：D 二、多选题 2．已知锐角的内角的对边分别为若，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用正弦定理可得，进而可知，结合三角恒等变换化简得，结合正弦函数分析求解. 【详解】因为， 由正弦定理得，即. 又因为是锐角三角形，即，可知. 由，解得， 则 ， 且，可知，则， 所以的取值范围为. 结合选项可知：AC错误，BD正确； 故选：BD. 三、解答题 3．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求证：； (2)若，求a边的范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）由，进而得到，再利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式求解；法二：由，利用正弦定理转化为，进而得到，再利用和差化积求解. （2）由（1）知，进而得到，再根据为锐角三角形，得到，再由，利用正弦定理求解； （3）由（2）知，转化为，再令，得到求解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 由正弦定理可得， 又因为， 代入可得， 即， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以． 法二：由正弦定理可得：， 则， 则， 又，故， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， （2）因为为锐角三角形，， 所以， 由，解得， 又故． （3）由（2）知． 由， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以的取值范围为． 4．已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求角; (2)若，求的值； (3)若的面积为，，求的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用内角和定理与和角的正弦公式化简得到，即可求得角A； （2）由求得，利用二倍角公式求得的值，利用差角的正弦公式计算即得； （3）由三角形面积公式求出，利用余弦定理变形转化求出，即得的周长. 【详解】（1）．由正弦定理可得， 因， 所以，可得， 为三角形内角，，解得，， ． （2）由已知，，所以， ，， . （3），， 由余弦定理得， 即，解得， 的周长为． 5．已知的周长为20，角，，所对的边分别为，， (1)若，，求的面积； (2)若的内切圆半径为，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理，可得，又的周长为20，可得，则可得，由三角形的面积公式即可求出的面积； （2）由的内切圆的性质，可得，，再由的周长为20，可求出，进而求出，即可求出的值． 【详解】（1）在中，由余弦定理，可得， 由，，则， 得, 由的周长为20，即，则， 所以，则，即， 所以， 故的面积为，. （2）根据题意，如图所示， 圆为的内切圆，半径为，切点分别为， 则，且， 由内切圆性质，圆心为内角平分线的交点， 则，且， 由中，即， 所以，又，即， 所以，则，则， 在中， 故， 即. 6．在中，. (1)求角的大小； (2)若在边上，，且，求的面积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化简即可得出所求角； （2）由正弦定理求出，再由三角形的面积公式求解. 【详解】（1）由题意得， 即， 由正弦定理得， 由余弦定理得. 因为，所以. （2）如图， 因为，所以. 在中，由正弦定理得， 解得， 则或（舍去）， 得，则. 故. 7．在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的面积为7，，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求解即得. （2）利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出即得. 【详解】（1）在中，由正弦定理及，得， 则，而， 所以. （2）由（1）知，， 则的面积，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为. 8．在中，（a，b，c分别为角的对边） (1)求角C的大小； (2)若，延长AB至点D，使得，，求AB的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化，代入计算，即可求解； （2）根据题意，在中由余弦定理可得，再由正弦定理可得，从而可得，然后在中由正弦定理即可求得，从而得到结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， ，， 又，，. （2）因为 所以在中由余弦定理可得： ， 即，解得， 由正弦定理得，即，解得， 所以， ， 在中由正弦定理得：，则， 解得，所以. 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先用二倍角公式化简，然后用正弦定理即可得到答案. （2）结合（1）中结果即可求出，然后带入面积公式，即可求出面积. 【详解】（1）由得， 化简得，     由正弦定理可得，故得证. （2）由（1）及得，， 所以，. 所以. 10．已知的内角，，的对边分别为，，，且，． (1)若，求，的值； (2)若的面积为，求的大小及的周长． 【答案】(1)， (2)或，周长为或 【分析】（1）由正弦定理计算得，根据，再次利用正弦定理计算得； （2）由三角行面积公式计算得，再由余弦定理计算得后，即可计算三角形周长. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以， 因为，由正弦定理得，所以． （2）的面积，则， 因为，所以或． 当时，，得， 的周长为； 当时，，得， 的周长为． 综上，的周长为或． 11．在中，角的对边分别为． (1)求的大小； (2)若，且边上的中线长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）取的中点，连接，在和中，分别利用余弦定理表示，结合化简求出，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）， 由余弦定理得， 化简得． ； （2）由（1）可得①， 又②， 取的中点，连接， 在中，③， 由②③得④， 由①④得，解得或（舍去）， ， . 【题型三 解三角形中的最值和范围问题】 一、单选题 1．设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可. 【详解】在中，由可得， 由正弦定理得： 又为锐角三角形，所以，解得， 令，则， 因为在时单调递增， 所以，则. 故选：C 2．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【详解】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B 二、多选题 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于AB，由正弦定理求解即可判断；对于C，由余弦定理及基本不等式得，代入三角形面积公式即可判断，对于D，由余弦定理及基本不等式得，即可判断. 【详解】对于A，若，又，，由正弦定理得，故A错误； 对于B，由题意，，，由正弦定理得，故B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，，及余弦定理得， ，所以， 当且仅当时取等号， 所以的周长， 所以周长的最大值为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 4．在梯形中，，则该梯形周长的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，在和中，分类利用余弦定理求出，再根据三角函数的性质求出的最大值即可得解. 【详解】设， 则， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 则， 因为，所以，所以， 则当时，取得最大值， 所以梯形周长的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 5．在锐角三角形中，边长为1，且，则边的长度取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二倍角的正弦公式和正弦定理，结合锐角三角形确定角的范围，从而求出边的取值范围. 【详解】因为，所以， 再由正弦定理角化边得：，因为，所以， 又由是锐角三角形，，解得：， 则. 故答案为：. 6．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为 （单位：厘米） 【答案】 【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值. 【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为. 设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示. 由且可得， 在中，由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理，得， 所以，， 即，可得，当且仅当时等号成立. 在中，， 由余弦定理可得 ， 即，即，当且仅当时等号成立， 因此，这块四边形木板周长的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将四边形周长问题转化为三角形边长和的范围，利用余弦定理和基本不等式求解即可. 四、解答题 7．已知内角的对边分别为，， (1)求的取值范围 (2)求内切圆的半径的最大值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，求得，结合正弦定理、三角恒等变换的化简和三角函数的性质即可求解； （2）由（1），利用余弦定理和基本不等式的应用可得，的面积为，进而，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 得，所以或， 解得或（舍去），又， 所以，又，由正弦定理得，则， 所以（）， 由知，当时，取到最大值， 又，所以； （2）由（1），由余弦定理得，即， 得，即， 得，当且仅当时等号成立，所以. 的面积为，设的内切圆半径为， 则的面积为，所以， 又，所以， 则， 即的最大值为. 8．在中，内角所对的边分别是，且，. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）依据余弦定理及已知求出，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又，所以， 又，所以； （2）由及余弦定理得， 即， 又因为，所以， 所以， 所以， 即； （3）因为E是AC的中点，所以， 则， 由正弦定理得， ， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 即边上的中线的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 9．在中，角，，所对的边分别记为，，，且． (1)若，求的大小． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，再利用两角和差的正余弦公式化简，进而可求得的关系，即可得解； （2）利用正弦定理求出，再根据的关系结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 即， 即， 所以，即， 而，所以或， 所以或（舍去）， 又因为，所以， 所以； （2）由（1）得， 因为， 所以， ， 则， 又由，得， 所以，所以， 所以. 10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，， 可得； （2）延长交于，延长交于，延长交于，， 根据题意可得，，因为，所以， 设，，在中，由正弦定理可得， 即，可得， 同理在中，可得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以． 11．在，为边上的中线，点在边上，设． (1)当时，求的值； (2)若为的角平分线，且点在边上，求的值； (3)在(2)的条件下，若，求最小值？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，平方后整理即可. （2）由角平分线性质可得，结合为的中点求解即可. （3）由余弦定理及三角形面积公式可得，结合三角恒等变换及基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得：， 所以，即， 所以. （2） 由角平分线性质定理可得，， 又因为为的中点， 故，所以. （3） 由题（2）可知，由可得，设， ，则（※）， 由余弦定理可得：， 代入（※）式，得：， 令， 则 ， 当且仅当时，即时，长度最小，此时. 12．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据数量积的坐标表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化边可得；方法二：利用和差公式化简即可得解. （2）方法一：利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得；方法二：利用正弦定理将b表示为关于角的函数，利用正切函数性质求出b的范围，由余弦定理用b表示c，然后表示出，根据函数单调性可解. 【详解】（1）因为， 所以 ， 方法一：利用正弦定理角化边得， 又， ，则， 又为锐角三角形，故. 方法二：由和差公式可得， 又因为，所以， 又为锐角三角形，故. （2）由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 方法一：所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 方法二：所以，所以， 又，所以， 由余弦定理得， 记， 易知在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围为. 13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ， ，且 ，外接圆面积为 (1)求A； (2)求周长的最大值. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示得 ，代入已知等式，结合正余弦边角关系得，最后由三角形内角性质求角的大小； （2）由（1）得，，再由正弦定理可得，结合基本不等式求周长最大值，注意取值条件. 【详解】（1）已知向量 ， 则 ， 则， 所以， 则， 所以， 又， 故且， 所以， 又， 则； （2）由（1）知：， 则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为， 则， 即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 14．记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解； （2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，所以， 即，所以， 又由余弦定理得，可得，所以， 所以是直角三角形 （2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为， 因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 15．已知向量，，. (1)若将函数图象向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得到函数，试求在上的单调递减区间； (2)锐角中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算及三角公式变形整理得，然后根据平移变换和周期变换求出，再利用正弦函数的性质求解单调性； （2）先通过求出，然后利用正弦定理表示出，在通过三角恒等变形的公式及三角函数的性质求解最值. 【详解】（1）因为， 将函数图象向左平移个单位长度得， 再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得， 由得， 要求在上的单调递减区间，则，解得， 即在上的单调递减区间为； （2）由可得，，即， 又，则，所以，则， 又为锐角三角形，则，解得， 因为，所以， 所以，， 则 ， 因为，可得，所以， 所以，则， 所以周长的取值范围为. 16．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)若，求边上的角平分线长； (2)求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求，再依据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）因为，根据正弦定理有， 所以， 即， ， ， 即，又， 所以，因为，所以， 由及余弦定理得， 即， 又因为，所以， 所以， 所以，即， 所以 （2）因为是的中点，所以， 则， 因为，，由余弦定理有：， 即，所以 由正弦定理得： ， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即边上的中线的取值范围为. 17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，由余弦定理得到； （2）由正弦定理得到，，故，由得到，进而得到，求出答案. 【详解】（1）因为，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）由正弦定理得， 所以， 由（1）得， 故 因为，所以，故， 所以，， 故， 则. 【过关检测卷】 一、单选题 1．在中，如果，，，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理，求得，得到，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又由余弦定理，得，即， 解得，所以， 所以的面积为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理列出关系式，将的值代入表示出，求得角B的范围，要使得三角形有两解确定出B的范围，利用正弦函数的值域，即可求解. 【详解】因为在中，，， 由正弦定理，可得， 因为，所以， 要使得三角形有两解，可得且，即， 即，解得. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及正弦函数的性质的应用，其中解答中熟练应用正弦定理是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 3．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由正弦定理化简得，再由余弦定理得，进而得到，利用余弦定理，列出方程求得，最后结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，， 由正弦定理，可得，即， 又由余弦定理可得，可得， 因为，， 由余弦定理，可得，即， 即，解得， 所以三角形的面积为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4．在中，内角所对的边分别为已知的外接圆半径是边的中点，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用正弦定理求得，再利用余弦定理列方程求得，进而求角，从而利用可得的长度. 【详解】由的外接圆半径，得， 由和得， 又，解得，所以. 因为中，是边的中点，所以, 于是 . 故选：D. 5．已知中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出，再利用正弦定理计算即得. 【详解】在中，，由余弦定理得： ， 由正弦定理得. 故选：B 6．化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行20米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，，解得，， 在中，， 所以，． 所以树的高度为米． 故选：D． 二、多选题 7．的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理以及三角形的边角关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由正弦定理得，则，显然角不存在，A错误； 对于B，由正弦定理得，所以， 因为，所以，故唯一，为锐角，所以B正确， 对于C，由得，而，此时三角形显然不存在，C正确； 若，且符合条件的有两解，则,故，D正确， 故选：BCD． 8．已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（    ） A． B． C．的面积的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】延长交于点，根据平面向量的线性运算可得出，可判断选项A；结合，利用平面向量的数量积定义、数量积运算法则及基本不等式可判断选项B；由和平面向量数量积的定义可得出，由求出，再根据三角形面积公式可判断选项C；结合选项B得出，再利用余弦定理即可判断选项D. 【详解】 延长交于点. 因为是的重心， 所以点是中点，， 则. 对于选项A：因为，故选项A正确； 对于选项B：由得：， 所以，当且仅当时等号成立. 又因为，即，， 所以， 即，当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对于选项C：因为，当且仅当时等号成立，， 所以，故选项C正确； 对于选项D：由，， 得， 所以由余弦定理可得： ，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值是，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题 9．在中，若，，，则为 ． 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理及正弦定理即可求解. 【详解】∵， ， 由正弦定理得：， ∴. 故答案为： 10．已知中，对应边分别是，若，则 . 【答案】2 【分析】根据余弦定理，结合已知条件得，再根据正弦定理与正弦的和差角公式整理得，最后结合角的范围即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即， 所以，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以，即， 因为， 所以， 所以或，即或（舍） 所以. 故答案为： 四、解答题 11．已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得答案； （2）由正弦定理得，，代入三角形面积公式化简得，结合角的范围求出答案. 【详解】（1）由正弦定理得，， 所以， 即， 化简得：，即， 又，所以. （2）由正弦定理得：， 所以，， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以. 12．已知的内角的对边分别为为锐角，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据正弦定理可得，即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】（1）由，有． 又由，可得， 因为为锐角，所以； （2）由题意得，，得， 由余弦定理得， 可得． 13．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求周长的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先用正弦定理边化角，再由两角和正弦公式即可进一步求出角B. （2）先由确定角B，然后用正弦定理边化角得，再利用和三角恒等变换公式化为一角一函数，接着利用三角函数的有界性即可求解. 【详解】（1）由正弦定理和得： ， 故， 又，所以，即， 又，所以或. （2）若，则, 所以由（1），又， 所以由正弦定理得， 所以 ， 又由上，所以， 所以， 所以，即周长的取值范围为. 15．在中，与的角平分线交于点D，已知． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）结合角的关系利用二倍角公式及余弦差角公式化简即可； （2）由（1）可知，由余弦定理及基本不等式可得，再根据三角形面积公式求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 由， 可知 ， 所以， ． 因为， 所以．因为，所以． （2）因为，所以， 所以，所以． 由余弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为， 所以△ACD面积的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$