2023-2024学年苏科版数学七年级下册期末复习专题15-证明相关的压轴题（期末必考考点分类专题练习2）

2023-2024学年苏科版数学七年级下册期末复习 专题15-证明相关的压轴题 （期末必考考点分类专题练习2） 【考点1】角平分线模型 【例1】 如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角． （1）猜想并说明∠1＋∠2与∠A、∠C数量关系； （2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O ．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数； （3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的的数量关系 ． 【变式1】如图1，四边形中，是四边形的外角． （1）若，则_________； （2）如图2，平分外角，平分外角，与相交于点M，若，求的度数； （3）如图3，平分外角，平分外角，若，判断与的位置关系，并说明理由 学科网（北京）股份有限公司 【变式2】探究题 （1）若中， ①如图1，若和的角平分线相交于点O，则 ． ②如图2， 若和的三等分线相交于点、，则 ． （2）若中， ①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示 度 ． ②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示 度． ③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 度．（结果不需化简） 【变式3】 如图，已知，直线与交于点，与交于点，射线和射线交于点． （1）若平分，平分，，则______； （2）若，，，则______； （3）将（2）中“”改为“”，其余条件不变，求的度数（用含的代数式表示）； （4）若将分成两部分，也将分成两部分，，则的度数=______________________（用含的代数式表示）． 【变式4】在中，与的平分线相交于点P． （1）如图①，若，求的度数； （2）如图②，作外角，的平分线，相交于点Q．试探索与之间的数量关系； （3）如图③，在图②中延长线段，．交于点E，若在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数． 【考点2】翻折问题 【例2】在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．） （1）如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC． （2）若，∠BAD＝x° ． ①如图②，当DE⊥BC时，求x的值； ②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置． （1）如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； （2）如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； （3）如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 【考点3】三角形中的动点问题 【例3】在中，射线平分交于点，点在直线上运动（不与点重合），过点作交直线于点． （1）如图1，点在线段上运动时，平分， ①若，，则__________； ②若，则__________； ③探究与之间的数量关系，说明理由； （2）若点在射线上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点，与之间的数量关系是否与（1）中③相同，若不同请写出新的关系并画图说明理由． 【变式1】如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点． （1）当时，求． （2）在线段上任意移动时，求，，之间的关系． （3）在（1）的条件下，将绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【变式2】一副三角板如图1摆放，∠C＝∠DFE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转）． （1）当∠AFD＝°时，DF∥AC；当∠AFD＝°时，DF⊥AB； （2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求∠APD的度数； （3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若∠AFM＝2∠BMN，比较∠FMN与∠FNM的大小，并说明理由． 【变式3】 如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转． （1）如图2，当边落在内． ①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由； ②过点A作射线，，若，，求的度数； （2）设的旋转速度为秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），请直接写出所有符合条件的t的值． 【变式4】如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中，． （1）将图①中的三角板沿的方向平移至图②的位置，与相交于点E，则的度数是 　 　； （2）将图①中三角板绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当时，与相交于点E，请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）将图①中的三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板运动几秒后直线恰好与直线平行． 【考点4】平行线中的旋转问题 【例4】（1）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝3∠BEF，过点A作AG⊥EF交EF于点G， FK平分∠AFE，AK平分∠PAG, FK与AK交于点K． ①∠AKF= °； ②若∠FAG＝∠BEF，求∠FBE； （2）如图2将②中确定的△BEF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，△AFG保持不变，当边BF与射线FA重合时停止，则在旋转过程中，△BEF的边BE所在的直线与△AFG的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时t的值． 图1 图2 【变式1】当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【变式2】如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． （1）判断直线与直线否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，若，求β的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【变式3】 长江汛期即将来临，江阴防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，且a、b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且． （1）求a、b的值； （2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次与垂直之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达之前．若射出光束交于点C，过C作交于点D，则在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 【变式4】如图，直线AB∥CD，MN⊥AB分别交AB，CD于M、N，射线MP、MQ分别从MA、MN同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线CD交于点E、F，射线MP每秒转10°，射线MQ每秒转5°，ER，FR分别平分∠PED、∠QFC，设旋转时间为t秒（0＜t＜18）． (1)①用含t的代数式表示：∠AMP＝ °，∠QMB＝ ° ②当t＝4时，∠REF＝ ° (2)当∠MEN＋∠MFN＝120°时，求出t的值. (3)试探索∠EFR与∠ERF的数量关系，并说明理由. (4)∠PMN的角平分线与直线ER交于点K，直接写出∠EKM的度数为 ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$