第5节全程量词与存在量词（知识点精讲）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第5节 全称量词与存在量词 1．全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)． 2．含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 重难点题型1 全称命题与存在命题真假的判断 例1．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 例2．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（多选题）下列命题中错误的有（   ） A．存在整数，使得 B．，一元二次方程无实数根 C． D．能被2整除 【变式训练1】、（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【变式训练2】、（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）（多选题）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A． B． C．菱形的对角线互相垂直 D．存在正方形不是轴对称图形 重难点题型2 含有一个量词命题的否定 例3．（2024高二下·浙江·学业考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 例4．（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练3】、28．（2019·广东惠州·二模）（多选题）下列命题正确的是（　　） A．““是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要而不充分条件 【变式训练4】、（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要而不充分条件 D．“”是“关于的方程有一正一负实数根”的充要条件 重难点题型3 全称命题与存在命题的应用 例5．（22-23高一上·山东·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 ． 例6．（23-24高三上·广东潮州·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】、（23-24高一上·广西南宁·期中）已知命题：，.若命题为假命题，则实数的取值范围是 . 【变式训练6】、（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例7．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题，命题q：. (1)写出命题的否定；若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在；请说明理由. 例8．（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）已知命题，；命题，. (1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【变式训练7】、（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【变式训练8】、（23-24高一上·云南楚雄·期中）已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5节 全称量词与存在量词 1．全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)． 2．含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 重难点题型1 全称命题与存在命题真假的判断 例1．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 例2．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）（多选题）下列命题中错误的有（   ） A．存在整数，使得 B．，一元二次方程无实数根 C． D．能被2整除 【答案】ABC 【分析】利用整除的意义判断AD；计算判别式判断B；取计算判断C. 【详解】对于A，由，得为偶数，而是奇数，显然等式不成立，A错误； 对于B，对于一切实数a，方程中，此方程必有实数根，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，，是正奇数， 当为正偶数时，是正偶数，此时能被2整除，D正确. 故选：ABC 【变式训练1】、（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题与特称命题中的量词即可判断求解. 【详解】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词，所以选项A，B，D都为特称命题，选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题. 故选：C. 【变式训练2】、（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）（多选题）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A． B． C．菱形的对角线互相垂直 D．存在正方形不是轴对称图形 【答案】AC 【分析】根据全称量词的定义即可结合选项注意求解. 【详解】对于A，“”是全称量词，且由于，故对，为真命题，A正确， 对于B，“”是存在量词，故B错误， 对于C，所有菱形的对角线都互相垂直，故C正确， 对于D, “存在”是存在量词，故D错误， 故选：AC 重难点题型2 含有一个量词命题的否定 例3．（2024高二下·浙江·学业考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定形式直接求解即可. 【详解】全称量词命题：，它的否定为：. 所以命题“”的否定是“”. 故选：D. 例4．（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可； 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 故选：D 【变式训练3】、28．（2019·广东惠州·二模）（多选题）下列命题正确的是（　　） A．““是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要而不充分条件 【答案】ABD 【分析】对于A ，C ，D，根据充分条件、必要条件的概念逐项判断可得答案；对于B，根据全称命题的否定是特称命题可得B正确. 【详解】对于A，当时，，充分性成立；当时，有或，必要性不成立， 所以““是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“”的否定是“”，故B正确； 对于C，，则“且时，，充分性成立；时，不能得出且，必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，设，时，不能得出，充分性不成立；“”时，得出，必要性成立， 所以“”是“”的是必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 【变式训练4】、（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．命题“”的否定是“” C．“”是“”的必要而不充分条件 D．“”是“关于的方程有一正一负实数根”的充要条件 【答案】AB 【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A，B；根据命题之间的逻辑推理关系可判断C，D. 【详解】对于A，命题“”是全称命题，命题的否定是“”，所以A正确； 对于B，命题“”是特称命题，命题的否定是“”，所以B正确； 对于C，不能推出，也不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C错误； 对于D，关于的方程有一正一负根， 而一定可以推出成立，反之不成立， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充分不必要条件，D错误， 故选：AB. 重难点题型3 全称命题与存在命题的应用 例5．（22-23高一上·山东·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的性质及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由“，”为真命题，等价于在上恒成立， 所以，即可. 设，，则 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增. 当时，取得最小值为，即， 所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件. 故答案为：（答案不唯一）. 例6．（23-24高三上·广东潮州·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意命题“，”为真命题，则对恒成立，即可求出的取范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题， 即对恒成立， 所以， 因为， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 故选：C 【变式训练5】、（23-24高一上·广西南宁·期中）已知命题：，.若命题为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】写出命题的否定，则为真命题，从而得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】命题：，， 则：，， 因为命题为假命题，所以命题为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式训练6】、（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案． 【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即． 故选：A． 例7．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题，命题q：. (1)写出命题的否定；若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在；请说明理由. 【答案】(1)；； (2)存在，. 【分析】（1）由特称命题否定为全称命题，写出命题的否定，再由为真命题，应用判别式符号求参数范围； （2）令两命题为真分别得、，结合题设条件确定存在性并求参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 若命题为假命题，则为真命题，故. （2）若为真，则，可得， 由（1）知：若命题为真，则， 所以，存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题，. 例8．（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）已知命题，；命题，. (1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】（1）根据判别式即可求解, （2）分别求解为真命题时的范围，即可分两种情况求解. 【详解】（1）由题意可知，得或 （2）命题p为真命题时， 若时，显然满足， 当时，则，解得， 综上可得p为真命题时，； 当命题p真q假时，，解得； 当命题p假q真时，得或 所以当命题p，q中恰有一个为真命题时，实数m的取值范围为或或. 【变式训练7】、（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合 (1)若，求实数的取值范围. (2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果； （2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. （2）因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是. 【变式训练8】、（23-24高一上·云南楚雄·期中）已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）化简得到p：，q：，根据p是q的充分不必要条件，由p⫋q求解； （2）先得到：或．根据是q的必要不充分条件，由q⫋求解；. 【详解】（1）解：由题意可得p：，q：． 因为p是q的充分不必要条件，所以，等号不同时成立， 解得． （2）因为p：， 所以：或． 因为是q的必要不充分条件， 所以或， 解得或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$