第4节命题与充要条件（知识点精讲）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第4节 命题与充要条件 知识点1、　命题的概念与四种形式 1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以___________的陈述句叫做命题．其中___________的语句叫真命题，___________的语句叫假命题． 知识点2、　充分条件与必要条件 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)几点说明 ①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的． ②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． ③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p⇒q”，即“若p，则q”是否为真命题． 知识点3、　充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3、 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 【特别提醒】 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 重难点题型1：判断命题的真假 例1．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【变式训练1】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【变式训练2】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）（多选题）下列命题中，真命题的是（    ） A．，有实数解 B．， C．某些四边形是正方形 D．长为1，3，4的三条线段可以构成三角形 重难点题型2：充分条件的判断 例3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 例4．（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 【变式训练3】．（23-24高一上·西藏林芝·期中）“”是“”的 条件. 【变式训练4】．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 重难点题型3：必要条件的判断 例5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例6．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练5】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6】、（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知，则“”是“”的 条件（填充“充分不必要条件､必要不充分､充要条件､既不充分又不必要”） 重难点题型4：充要条件的判断 例7．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例8．（2023高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【变式训练7】．（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【变式训练8】（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重难点题型5：根据充分必要条件求参数的取值范围 例9．（23-24高一上·河南洛阳·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 例10．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【变式训练9】．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】．（23-24高一下·上海·开学考试）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 例11．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知集合，. (1)若集合，求实数的值； (2)若，“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 例12．（23-24高一上·四川泸州·期中）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式训练11】．（23-24高一上·广东揭阳·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求与； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式训练12】．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4节 命题与充要条件 知识点1、　命题的概念与四种形式 1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以___________的陈述句叫做命题．其中___________的语句叫真命题，___________的语句叫假命题． 知识点2、　充分条件与必要条件 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)几点说明 ①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的． ②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． ③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p⇒q”，即“若p，则q”是否为真命题． 知识点3、　充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3、 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 【特别提醒】 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 重难点题型1：判断命题的真假 例1．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 根据命题的概念逐一判断. 【详解】 ①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 例2．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】ABD 【分析】找值代入即可判断选项A；根据矩形的判定来判断B；0的绝对值是0即可判断C；根据正方形的判定来判断D. 【详解】若，则是奇数，故A是真命题. 对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题. 0的绝对值是0，不是正数，故C是假命题. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D是真命题. 故选：ABD. 【变式训练1】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【分析】根据命题的真假即可判定. 【详解】p为假，q为真, 故选：B 【变式训练2】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）（多选题）下列命题中，真命题的是（    ） A．，有实数解 B．， C．某些四边形是正方形 D．长为1，3，4的三条线段可以构成三角形 【答案】BC 【分析】A选项从的角度分析可判断；B选项通过等式求解，赋值判断是否存在即可；C选项正确；D选项明显不能构成三角形，即可判断正误. 【详解】A选项中，只有，即或时，才有实数解，故A不正确； B选项中，若，则，因为，所以解得，令，，且有且，故B正确； C选项中，正方形属于四边形，所以某些四边形是正方形，故C正确； D选项中，三角形两边之差要小于第三边，故D错误； 故选：BC 重难点题型2：充分条件的判断 例3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】解不等式，得到两不等式的解集，根据包含关系得到答案. 【详解】或， 或， 由于或是或的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例4．（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 解析：由题意得（，）⊆（m－1，m＋1），所以且等号不能同时成立，解得－≤m≤. 【考查意图】 已知充要关系求参数的取值范围． 【变式训练3】．（23-24高一上·西藏林芝·期中）“”是“”的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】利用充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，，即充分性成立； 当时，或，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 【变式训练4】．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 重难点题型3：必要条件的判断 例5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解不等式化简，再用充分必要条件判定得答案. 【详解】或， 或， 则，反之不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 例6．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立； 当，满足，且，但是，故充分性不成立， 所以“，且”是“，且”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练5】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式训练6】、（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知，则“”是“”的 条件（填充“充分不必要条件､必要不充分､充要条件､既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】因为或或， ， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 重难点题型4：充要条件的判断 例7．（2024·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以由推得出，故充分性成立； 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 例8．（2023高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【分析】设，，由是的充要条件，得求解即可. 【详解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 【变式训练7】．（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据充要条件定义可直接构造方程求得结果. 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 【变式训练8】（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念即可求解. 【详解】当时，或，则，即充分性成立； 当时，，则，即必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件. 故选：C. 重难点题型5：根据充分必要条件求参数的取值范围 例9．（23-24高一上·河南洛阳·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，将问题转化成在上恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判定方法即可求出结果. 【详解】由“，”为真命题，得对于恒成立， 令，易知，时，，所以，， 故“”是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件， 故选：A． 例10．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练9】．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 【变式训练10】．（23-24高一下·上海·开学考试）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题转化为：的解集是的解集的真子集，可解决此题． 【详解】由解得， 由解得， 根据题意得：是的真子集， （等号不同时成立），解得：． 故答案为：． 例11．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知集合，. (1)若集合，求实数的值； (2)若，“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意，由一元二次不等式的解集，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为， 所以方程的两根分别为和3， 由韦达定理得解得. 所以实数的值为3. （2）由，得，， 由于“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，，此时不成立； 当时，， 因为，则有且等号不同时成立，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 例12．（23-24高一上·四川泸州·期中）设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，然后列出关于的不等式组可求得结果； （2）分和两种情况求解即可. 【详解】（1）因为是的充分条件，所以， 因为，， 所以，解得 故实数a的取值范围为 （2）①当时，满足，所以，解的； ②当时，因为，，且， 所以，解得， 综上所述：实数a的取值范围 【变式训练11】．（23-24高一上·广东揭阳·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求与； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）当时，可得，结合集合的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据给定条件，转化成集合的真包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）当时，可得， 因为集合， 则 又由或， 则或或. （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得， 因为，， 可得且等号不能同时取到，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式训练12】．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由 可得 ,讨论，从而得到不等式组，求解参数； （2）若， q是p的必要不充分条件，知A真包含于B，即可求参数范围. 【详解】（1）由，可得 ， 由 可得， 当，则，可得， 当，则，可得， 综上所述，的取值范围为. （2）若，是的必要不充分条件，A真包含于B， 则（不能同时取等号），解得， 故的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$