第3节集合的运算（知识点精讲）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第3节 集合的运算 【知识点1、并集】 1．并集的概念 一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示： （1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2．并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： （1），； （2）； （3）； （4）． 【知识点2、交集】 1．交集的概念 一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示： （1）A与B相交（有公共元素） （2），则 （3）A与B相离（） 注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． 2．交集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）． 【知识点3、全集与补集】 1．全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集． 2．补集的概念 对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示： 说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是 全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个 概念． （2）若，则或，二者必居其一． 3．全集与补集的性质 设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 重难点题型1、集合的并集 例1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·上海嘉定·二模）设集合，，则 ． 【变式训练1】、（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】、（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 重难点题型2、集合的交集 例3．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例4．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】、（21-22高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，则（    ） A．{-2，-1，0，1，2} B．{0，1} C．{-1，1，2} D．{-1，0，2} 【变式训练4】、（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则 重难点题型3、集合的补集 例5．（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·湖南岳阳·模拟预测）设集合，则 ． 【变式训练5】、（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】、（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知集合，则 重难点题型4、集合的运算的综合应用 例7．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例8．（2023·广东·模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 例9．（22-23高一上·四川攀枝花·阶段练习）（多选题）如图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 例10．（23-24高一上·河北承德·期末）已知集合. (1)求； (2)求. 例11．（23-24高一上·广西河池·期末）集合. (1)求； (2)求. 【变式训练7】、（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8】、（22-23高一上·西藏林芝·期中）已知全集，集合，.则= . 【变式训练9】、（20-21高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，集合，.则 . 【变式训练10】、（23-24高一上·北京·期中）已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【变式训练11】、（23-24高一上·广西北海·期末）设集合.求： (1)； (2). 重难点题型5、含有参数的集合的运算的综合应用 例12．（20-21高三上·湖南常德·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D． 例13．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 例14．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知全集，集合，，. (1)求，； (2)若，求实数的取值范围. 例15．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式训练12】、（20-21高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【变式训练13】、（23-24高一上·北京·期中）已知集合，，若满足，则实数a的值为 ． 【变式训练14】、（23-24高一上·四川泸州·期中）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【变式训练15】、（23-24高一上·四川南充·期中）设集合，，． (1)，求； (2)若，求实数的取值集合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3节 集合的运算 【知识点1、并集】 1．并集的概念 一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示： （1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2．并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： （1），； （2）； （3）； （4）． 【知识点2、交集】 1．交集的概念 一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示： （1）A与B相交（有公共元素） （2），则 （3）A与B相离（） 注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． 2．交集的性质 （1）； （2）； （3）； （4）． 【知识点3、全集与补集】 1．全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集． 2．补集的概念 对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示： 说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是 全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个 概念． （2）若，则或，二者必居其一． 3．全集与补集的性质 设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 重难点题型1、集合的并集 例1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 例2．（2024·上海嘉定·二模）设集合，，则 ． 【答案】 【分析】由并集的运算可得. 【详解】因为集合，， 所以， 故答案为：. 【变式训练1】、（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由并集的定义可得出答案. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 【变式训练2】、（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 【答案】 【分析】分类讨论是否为，进而可得集合B，结合题意分析求解. 【详解】由题意可知：且， 当，则；当，则；当，则； 若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去； 若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去； 若且，则，故，解得或（舍去）； 综上所述：. 故答案为：. 重难点题型2、集合的交集 例3．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合A，B，根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 例4．（22-23高二下·山西朔州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合A，B，再由交集的定义求解即可. 【详解】的定义域为，解得：， 故， 因为，所以， 故，故 故选：B. 【变式训练3】、（21-22高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，则（    ） A．{-2，-1，0，1，2} B．{0，1} C．{-1，1，2} D．{-1，0，2} 【答案】B 【分析】由题可知，运用集合的交集运算，即可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 【变式训练4】、（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则 【答案】 【分析】化简集合A，B，根据交集运算求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 重难点题型3、集合的补集 例5．（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 例6．（2023·湖南岳阳·模拟预测）设集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】， 则. 故答案为：. 【变式训练5】、（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出全集，然后根据补集运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 【变式训练6】、（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知集合，则 【答案】或 【分析】根据补集的定义即可写出答案. 【详解】全集为实数R，集合； 故或. 故答案为：或. 重难点题型4、集合的运算的综合应用 例7．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：D. 例8．（2023·广东·模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用集合的交并补的定义，结合图即可求解. 【详解】因为或，或， 所以或或或， 或或或. 由题意可知阴影部分对于的集合为， 所以， 或. 故选：D. 例9．（22-23高一上·四川攀枝花·阶段练习）（多选题）如图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据Venn图，结合集合运算的概念即可得出答案. 【详解】   A选项：，则，故A正确； B选项：，则，故B错误； C选项：，则，故C错误； D选项：，，故D正确. 故选：AD. 例10．（23-24高一上·河北承德·期末）已知集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义处理即可. （2）利用并集和补集的定义求解即可. 【详解】（1）因为， 故， 所以 （2）易知， . 例11．（23-24高一上·广西河池·期末）集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集定义求解； （2）根据补集和交集定义求解. 【详解】（1）， 所以； （2）或， 所以. 【变式训练7】、（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，，再计算交集得到答案. 【详解】，，故， ，故. 故选：B 【变式训练8】、（22-23高一上·西藏林芝·期中）已知全集，集合，.则= . 【答案】或 【分析】先求出，再求. 【详解】因为，所以或. 又，所以或. 故答案为：或 【变式训练9】、（20-21高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，集合，.则 . 【答案】 【分析】求得集合，结合集合的交集和补集的运算，即可求解. 【详解】由题意，全集，集合，， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的补集和交集的概念及运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 【变式训练10】、（23-24高一上·北京·期中）已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由交集的定义求解 ； （2）由补集的定义求解 ； （3）由补集和并集的定义求解. 【详解】（1），，， 则有 ； （2）； （3），. 【变式训练11】、（23-24高一上·广西北海·期末）设集合.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用集合的交集运算即可得解； （2）利用集合的交并补混合运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以或，或. 故或. 重难点题型5、含有参数的集合的运算的综合应用 例12．（20-21高三上·湖南常德·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为可得B集合可能情形，讨论即可. 【详解】，，所以或或 当时，；当时，；当时，； 综上： 故选:D 【点睛】此题为基础题，考查集合间的包含关系. 例13．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可求出集合，然后根据，得到，从而求出实数的取值范围. 【详解】由，可得， 由于，且，则， 所以，则实数的取值范围是， 故答案为： 例14．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知全集，集合，，. (1)求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）∵集合，，∴. 或，或， ∴或. （2）， 当时，即时，，此时，满足题意； 当时，即时，， 若，则或， 即或，∴. 综上，实数的取值范围为. 例15．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）确定，，再计算补集得到答案； （2）确定，考虑和两种情况，解得答案. 【详解】（1）当时，，所以，     ，所以，     ； （2）若，则， 当时，，解得；     当时，，解得； 综上所述：a的取值范围为． 【变式训练12】、（20-21高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【分析】先由得到，然后根据集合相等求出的值，最后还要注意检验. 【详解】由可知，故，解得或. 当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确. 经检验可知符合题意. 故选：C. 【变式训练13】、（23-24高一上·北京·期中）已知集合，，若满足，则实数a的值为 ． 【答案】－3 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 【变式训练14】、70．（23-24高一上·四川泸州·期中）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合后取交集即可； （2）根据子集关系，直接列式求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， 又， ∴. （2）由题意可得， 又∵， ∴解得， 所以实数m的取值范围为. 【变式训练15】、（23-24高一上·四川南充·期中）设集合，，． (1)，求； (2)若，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定得到或，再计算交集得到答案. （2）根据得到，解得答案. 【详解】（1）当时，，故或， 又，故； （2），所以需满足，解得，故的取值集合为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$