第2节集合与集合之间的关系（知识点精讲）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第02节 集合与集合之间的关系 知识点1．子集 （1）子集的概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示： （2）子集的性质 ①任何一个集合是它自身的子集，即． ②传递性，对于集合，，，如果，且，那么． 知识点2．真子集 （1）子集的概念 如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）． 如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示： （2）真子集的性质 对于集合，，，如果，，那么． 辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则． 知识点3．集合相等 如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示． 知识点4．空集 （1）．空集的概念 我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集． （2）．空集的性质 （1）空集是任何集合的___________，即； （2）空集是任何非空集合的___________，即． 注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【知识拓展】 1． 若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2.奇数集：. 重难点题型突破1 求集合的子集 例1．（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 例2．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【变式训练1】、（2024高一上·全国·专题练习）（多选题）关于下图说法正确的是（    ） A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素 B．集合A、B、U中有相同的元素 C．集合U中有元素不在集合B中 D．集合A、B、U中的元素相同 【变式训练2】、（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知集合，且，则 ． 重难点题型突破2 求集合的真子集 例3．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 例4．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【变式训练3】、（2023·江西景德镇·模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【变式训练4】、（22-23高一上·山东泰安·期中）（多选题）已知集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 重难点题型突破3 空集 例5．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 例6．（21-22高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5】、（21-22高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练6】、（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）（多选题）下列选项中正确的有（    ） A．空集是任何集合的子集 B．集合与集合没有相同的子集 C．质数奇数 D．若，则 重难点题型突破4 集合相等 例7．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合，，且，则 . 例8．（2020高三·全国·专题练习）设，集合，则（    ） A．1 B．－1 C．0 D．－2 【变式训练7】、（21-22高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）设全集，集合，，且，则实数 ． 【变式训练8】、（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，若集合则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 重难点题型突破5 子集和真子集个数问题 例9．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 例10．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（多选题）若集合恰有两个子集，则的值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 【变式训练9】、（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 【变式训练10】、（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ． 重难点题型突破6 根据两个集合之间的关系求参数范围 例11．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 例12．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【变式训练11】、（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【变式训练12】、（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02节 集合与集合之间的关系 知识点1．子集 （1）子集的概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示： （2）子集的性质 ①任何一个集合是它自身的子集，即． ②传递性，对于集合，，，如果，且，那么． 知识点2．真子集 （1）子集的概念 如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）． 如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示： （2）真子集的性质 对于集合，，，如果，，那么． 辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则． 知识点3．集合相等 如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示． 知识点4．空集 （1）．空集的概念 我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集． （2）．空集的性质 （1）空集是任何集合的___________，即； （2）空集是任何非空集合的___________，即． 注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【知识拓展】 1． 若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2.奇数集：. 重难点题型突破1 求集合的子集 例1．（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用子集的概念求解. 【详解】集合，集合， 若，又，所以，解得 故选：B 例2．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系可得求解. 【详解】由于，所以， 故的最大值为， 故选：C 【变式训练1】、（2024高一上·全国·专题练习）（多选题）关于下图说法正确的是（    ） A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素 B．集合A、B、U中有相同的元素 C．集合U中有元素不在集合B中 D．集合A、B、U中的元素相同 【答案】ABC 【分析】由图形可知集合间的包含关系，对选项中的结论进行判断. 【详解】由韦恩图可得，ABU，且，结合真子集的定义可知， 集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A选项正确； 集合A、B、U中有相同的元素，B选项正确； 集合U中有元素不在集合B中，C选项正确； 集合A、B、U不相等，D选项错误. 故选：ABC. 【变式训练2】、（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据集合自己的概念即可求解． 【详解】∵，且， ∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到， ∴a=2． 故答案为：2 重难点题型突破2 求集合的真子集 例3．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 例4．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【分析】根据已知所给的集合关系将问题转化求集合真子集即可. 【详解】由集合满足条件， 所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示， 则上述集合关系式变成：， 则此时集合为集合的真子集， 问题转化为求集合的真子集的个数即：， 故满足题意的集合有31个. 故选：B. 【变式训练3】、（2023·江西景德镇·模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可. 【详解】解：集合的非空子集有、、， 所以， 解得. 故选：D 【变式训练4】、（22-23高一上·山东泰安·期中）（多选题）已知集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据真子集的定义直接判断即可. 【详解】因为， 所以集合可以是、，不能是、. 故选：AC 重难点题型突破3 空集 例5．（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 例6．（21-22高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可. 【详解】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 【变式训练5】、（21-22高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空集的定义，可得答案. 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 【变式训练6】、（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）（多选题）下列选项中正确的有（    ） A．空集是任何集合的子集 B．集合与集合没有相同的子集 C．质数奇数 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据包含关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：空集是任何集合的子集，故A正确； 对于选项B：因为空集是任何集合的子集， 所以空集是集合与集合的相同的子集，故B错误； 对于选项C：因为2为质数，但2不是奇数，故C错误； 对于选项D：若，则，故D正确； 故选：AD. 重难点题型突破4 集合相等 例7．（23-24高一上·全国·课后作业）若集合，，且，则 . 【答案】4 【分析】根据集合相等，即两个集合的元素相同，即可求解. 【详解】∵，∴集合中的元素相同， 故，则. 故答案为：4 例8．（2020高三·全国·专题练习）设，集合，则（    ） A．1 B．－1 C．0 D．－2 【答案】C 【分析】根据集合相等即可得出答案. 【详解】因为，，所以.经检验满足题意 故选：C 【点睛】本题主要考查了由集合相等求参数的值，属于基础题. 【变式训练7】、（21-22高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）设全集，集合，，且，则实数 ． 【答案】3或-1/-1或3 【分析】根据集合相等得到，解出m即可得到答案. 【详解】由题意，或m=-1. 故答案为：3或-1. 【变式训练8】、（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，若集合则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据两个集合相等定义且可知，，再结合集合中元素的互异性可求出的值，进而可求出的值. 【详解】由已知得，则，所以，所以，即或， 又当时，不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以， 所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合相等的定义及集合中元素的互异性，属于基础题.需要注意的是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性. 重难点题型突破5 子集和真子集个数问题 例9．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可. 【详解】易知集合有2个元素， 所以集合的子集个数是. 故选：D. 例10．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（多选题）若集合恰有两个子集，则的值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】AB 【分析】根据集合为单元素集，即可分类对讨论求解. 【详解】集合恰有两个子集，则集合中只有一个元素， 当时，，符合要求， 当时，，此时，符合要求， 故或， 故选：AB 【变式训练9】、（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】 先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数. 【详解】根据题意，， 则集合的非空子集的个数是. 故选：B 【变式训练10】、（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ． 【答案】3 【分析】 借助真子集与集合包含关系的性质计算即可得. 【详解】 由题知，则， 故集合的个数为. 故答案为：. 重难点题型突破6 根据两个集合之间的关系求参数范围 例11．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【分析】（1）当时求出集合A与B，再判断关系； （2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 例12．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 【变式训练11】、（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空集的定义即可得解； （2）利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 【变式训练12】、（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【详解】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$