第1节集合与集合的表示方法（题型精练）-【赢在暑假】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019）

第1节 集合与集合的表示方法 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 2．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州黔东南·二模）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 6．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 7．（23-24高一上·湖北·期中）下列关系中不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 10．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 12．（2023·河南驻马店·一模）已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2023高一·江苏·专题练习）集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 14．（21-22高一上·浙江金华·阶段练习）给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（23-24高一上·四川雅安·开学考试）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．； B．高台一中高一全体学生可以构成一个集合； C．集合有两个元素； D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 16．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）（多选题）下列对象不能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．所有的欧盟成员国 C．空气中密度大的气体 D．我国的小河流 17．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）（多选题）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）（多选题）下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（21-22高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ． 20．（20-21高一·全国·课后作业）已知集合A中含有两个元素和，若，则实数 ． 21．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 22．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 23．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知集合，且，则M等于 （用列举法） 24．（22-23高一·全国·随堂练习）使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言： （1）“255是正整数”即( )； （2）“不是有理数”即( )； （3）“3.1416是正有理数”即( )； （4）“是整数”即( )； （5）“是负实数”即( )． 25．（21-22高一·全国·课后作业）常用的数集及其记法 （1）全体 组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； （2）所有 组成的集合称为正整数集，记作或； （3）全体 组成的集合称为整数集，记作Z； （4）全体 组成的集合称为有理数集，记作Q； （5）全体 组成的集合称为实数集，记作R． 易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分． 26．（21-22高一·湖南·课后作业）用符号“”和“”填空： （1） N；    （2）1 ；    （3） R； （4） ；    （5） N；    （6）0 ． 27．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 28．（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 29．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）（多选题）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 30．（21-22高一上·广东广州·阶段练习）（多选题）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．{0}是空集 B．若，则 C．集合有两个元素 D．集合是有限集 31．（2024高一上·全国·专题练习）已知，若，则实数的值为 ． 32．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 33．（22-23高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合，若，且，则实数a的取值范围为 . 34．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合，． (1)用列举法表示集合； (2)若，求实数的值． 35．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)试用列举法写出集合A，B； (2)写出集合B的子集． 36．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 37．（2023高二下·北京·学业考试）已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 38．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1节 集合与集合的表示方法 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可. 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 2．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 3．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解. 【详解】，所以与集合的关系为. 故选：B. 4．（2024·贵州黔东南·二模）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：分局题意分析即可. 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定. 【详解】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 6．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 7．（23-24高一上·湖北·期中）下列关系中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见的数集及元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为为自然数集，所以，，故A、D正确； 为实数集，所以，故B错误； 为有理数集，所以，故C正确； 故选：B 8．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 9．（22-23高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可得或解方程，再利用集合元素的互异性即得. 【详解】因为，， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性， 故（舍去）， 当，解得（舍去）或，此时，满足题意， 故实数的值为. 故选：B. 10．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误； 对于B，因为，，则， 所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，有无数个元素.故D正确. 故选：D. 11．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解. 【详解】由题意， . 故选：C 12．（2023·河南驻马店·一模）已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合元素与集合的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由方程，解得或，所以， 所以，，. 故选：A. 13．（2023高一·江苏·专题练习）集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可. 【详解】因为，， 所以或2或4或8， 即或4或2或， 即. 故选：D. 14．（21-22高一上·浙江金华·阶段练习）给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据数集的定义，即可得答案； 【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确. 所以正确的个数为2. 故选：B. 15．（23-24高一上·四川雅安·开学考试）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．； B．高台一中高一全体学生可以构成一个集合； C．集合有两个元素； D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 【答案】BC 【分析】区分的含义判断A；根据集合的定义判断B；根据一元二次方程有两个不相等的实数根判断C；根据集合元素的无序性判断D. 【详解】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误； 对于B，根据集合定义知，高台一中高一全体学生可以构成一个集合，B正确； 对于C，由于的判别式， 故有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，正确； 对于D，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误， 故选：BC 16．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）（多选题）下列对象不能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．所有的欧盟成员国 C．空气中密度大的气体 D．我国的小河流 【答案】ACD 【分析】根据集合中的元素要满足确定性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,“著名”概念模糊，所以不能构成集合， 对于B,所有欧盟成员确定,所以可以构成一个集合, 对于C,“密度大”概念不明确,所以不能构成集合, 对于D,“小河流”概念不明确,所以不能构成集合, 故选：ACD 17．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）（多选题）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，只有当和时，，故，D正确. 故选：BD 18．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）（多选题）下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据数集的定义判断元素与集合的关系即可. 【详解】由正整数、有理数、整数的定义知：，，，， 所以A、C错，B、D对. 故选：BD 19．（21-22高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ． 【答案】/ 【分析】依题意分两种情况，或讨论，分别计算可得； 【详解】因为集合，且 所以或 （1）当时，此时，符合题意. （2）当时，解得或 当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去； 当时，符合题意. 综上可知实数的值构成的集合为 故答案为： 20．（20-21高一·全国·课后作业）已知集合A中含有两个元素和，若，则实数 ． 【答案】或/或 【分析】根据元素与集合关系列方程，再验证互异性即得结果. 【详解】因为，所以或，解得或 故答案为：或 21．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 22．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 【答案】 【分析】根据集合的元素特征直接列举出即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 23．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知集合，且，则M等于 （用列举法） 【答案】 【分析】根据列举法列举所以情况即可求. 【详解】由于，所以是6的正因数， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 综上可得， 故答案为： 24．（22-23高一·全国·随堂练习）使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言： （1）“255是正整数”即( )； （2）“不是有理数”即( )； （3）“3.1416是正有理数”即( )； （4）“是整数”即( )； （5）“是负实数”即( )． 【答案】 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，以及常见数集的表示符号，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）由“255是正整数”，可表示为； （2）由“不是有理数”，可表示为； （3）由“3.1416是正有理数”，可表示为； （4）由“是整数”，可表示为； （5）由“是负实数”，可表示为. 25．（21-22高一·全国·课后作业）常用的数集及其记法 （1）全体 组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； （2）所有 组成的集合称为正整数集，记作或； （3）全体 组成的集合称为整数集，记作Z； （4）全体 组成的集合称为有理数集，记作Q； （5）全体 组成的集合称为实数集，记作R． 易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分． 【答案】 非负整数 正整数 整数 有理数 实数 【分析】略 【详解】略 26．（21-22高一·湖南·课后作业）用符号“”和“”填空： （1） N；    （2）1 ；    （3） R； （4） ；    （5） N；    （6）0 ． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系判断. 【详解】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断 （1）（2）（3）（4）（5）（6）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）. 27．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解. （2）由奇数的概念以及描述法即可求解. （3）由描述法即可求解. （4）用列举法即可求解. 【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合. （2）所有奇数组成的集合. （3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合. （4）. 28．（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】用描述法表示各集合. 【详解】（1）不等式的解集用描述法表示为. （2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （3）集合用描述法表示为. （4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （5）集合用描述法表示为. （6）集合用描述法表示为. （7）方程的解集用描述法表示为. 29．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）（多选题）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 30．（21-22高一上·广东广州·阶段练习）（多选题）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．{0}是空集 B．若，则 C．集合有两个元素 D．集合是有限集 【答案】ABC 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】解：A. {0}中有元素0，不是空集，错误； B. 若，则，错误； C.，集合中只有一个元素，错误； D.集合是有限集，正确. 故选：ABC. 31．（2024高一上·全国·专题练习）已知，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意知集合，利用分类讨论及集合元素的互异性从而可求解. 【详解】由题意知集合， 所以当时，得，所以，故满足； 当时，得，所以，故不满足； 当时，无解，故不满足； 综上，可得实数的值为. 故答案为：. 32．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 【答案】2 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 33．（22-23高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合，若，且，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由，列不等式组即可求解. 【详解】因为，， 则有，解得， 故答案为： 34．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设集合，． (1)用列举法表示集合； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）计算出集合后即可得； （2），则，易得，根据集合中元素逐个代入检验即可. 【详解】（1）∵， ∴集合为方程的实数解组成的集合， 由，解得，， ∴， ∴用列举法表示集合为； （2）∵， ∴集合为方程的实数解组成的集合， 由，， ∴方程有解，， ①当时，方程， 方程有两个相等的实数根， 此时，满足； ②当时，方程， 解得，， 若要使，则需使，即， 综上所述，若，则或. 35．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)试用列举法写出集合A，B； (2)写出集合B的子集． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出集合A中方程的根，确定出集合A的元素，再由补集定义可解； （2）根据子集的定义解答，即可得答案． 【详解】（1）由，则， 所以. （2）由（1）知：集合B的子集有. 36．（2022高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 37．（2023高二下·北京·学业考试）已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中元素即可得解； （2）根据条件分析集合中元素即可得解； （3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以为中元素， 故. （2）取，此时， 满足. （3）当时，不存在集合，使得. （反证法） 假设时，存在集合，使得， 不妨设，且， 则， 所以为中7个不同的元素， 所以， 由解得. 此时，与矛盾， 所以假设不成立， 故不存在这样的集合. 38．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$