第04讲 重难点拓展：三角形中的五种常见模型解题技巧【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第04讲 专题拓展：三角形中的五种常见模型解题技巧 题型一、“8”字模型 题型二、飞镖模型 题型三、“A”字模型 题型四、“老鹰捉小鸡”模型 题型五、（双）角平分线模型 一、“8”字模型 三角形三个内角的和等于180° 对顶角相等 二、飞镖模型 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等子与它不相邻的两个内角的和. 三、“A”字模型 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和. 四、“老鹰捉小鸡”模型 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和. 五、（双）角平分线模型 1.双内角平分线 2.双外角平分线 3.内角平分线+外角平分线 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和. 题型归纳 题型一、“8”字模型 一．填空题（共5小题） 1．（2023秋•宝山区校级月考）如图，则的度数是　　． 2．（2023春•武冈市期末）如图，的度数为　　 3．（2023秋•新抚区期中）如图，则　　． 4．（2023秋•丰台区校级月考）如图，是由线段，，，，组成的平面图形，，则的度数为　　． 5．（2023春•蓬莱区期中）如图，的度数是　　． 二．解答题（共4小题） 6．（2023秋•惠州校级月考）如图，求的度数． 7．（2023秋•垫江县校级月考）如图所示，求的度数． 8．（2023春•营山县校级期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若，点在、外部，则有，又因是的外角，故．得．将点移到、内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在如图2中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图3，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）； （3）根据（2）的结论求如图4中的度数． 9．（2023秋•同心县校级月考）已知：如图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个； （3）在图2中，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．利用（1）的结论，试求的度数； （4）如果图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可） 题型二、飞镖模型 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•双峰县月考）如图，，，，的度数是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•天长市期中）如图，中，，为延长线上的一点，于点，，则为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共1小题） 3．（2022秋•富阳区期中）如图，作于点，与相交于点，若，，则　　，　　． 三．解答题（共2小题） 4．（2023秋•新建区期中）一个零件的形状如图，按规定应等于，、应分别是和，现测量得，你认为这个零件合格吗？为什么？ 5．（2022秋•盐湖区校级期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”， （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，，则　 　； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、，若，，求的度数． 题型三、“A”字模型 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•德宏州期末）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则等于　　 A． B． C． D． 二．填空题（共1小题） 2．（2022秋•济宁期末）如图，中，，，将沿折叠，点落在形内的，则的度数为 　　． 三．解答题（共3小题） 3．（2022秋•平桥区期末）探索归纳： （1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则　　． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是 　　． （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 4．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片沿折叠，使点落在点处．（点在的内部） （1）如图1，若，则　　． （2）利用图1，探索，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中得出的结论求的度数． 5．（2023秋•章贡区校级月考）尝试探究 如图1，在一张三角形纸片上，剪去，得到四边形，与分别为的两个外角 （1）请你试着说明： （2）如图2，如果沿着再剪一刀，与分别为的两个外角，那么和的数量关系为　　 （3）如图3，，分别平分外角、，求与的数量关系： 拓展提升 如图4，在四边形中，、分别平分外分、，请写出，、这三个角的数量关系，并说明理由． 题型四、“老鹰捉小鸡”模型 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•增城区期末）如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共1小题） 2．（2023秋•玉林期末）纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内（如图），若，则的度数为　 　． 三．解答题（共3小题） 3．（2023秋•庄浪县期中）问题1 如图①，一张三角形纸片，点、分别是边上两点． 研究（1）：如果沿直线折叠，使点落在上，则与的数量关系是　　 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想、和的数量关系是　　 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想、和的数量关系，并说明理由． 猜想：　　理由 问题2 研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形纸片沿折叠，使点、落在四边形的内部时，与、之间的数量关系是　　． 4．（2023秋•嘉祥县期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把纸片沿折叠，当点落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形沿折叠，当点、分别落在四边形内部点、的位置时，你能求出、、与之间的数量关系吗？并说明理由． 5．（2023•鸠江区校级开学）（1）如图1，设，则　　； （2）把三角形纸片顶角沿折叠，点落到点处，记为，为． ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　． 题型五、（双）角平分线模型 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•新市区校级期中）如图，的三边，，的长分别为15，20，25，点是三条角平分线的交点，则等于　　 A． B． C． D． 2．（2015•郑州一模）如图，中，，分别是，的平分线，，则等于　　 A． B． C． D． 二．填空题（共3小题） 3．（2023秋•东莞市校级期中）如图，中，，的角平分线与的角平分线交于点．则　　． 4．（2023秋•南宁月考）如图，在中，，的平分线交于点，过点作交，于点，．当，时，的长为 　　． 5．（2023春•天宁区校级期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则　　度． 三．解答题（共3小题） 6．（2023秋•郑州期末）综合与实践：如图1，在中，，三个内角平分线交于点，的外角的角平分线交的延长线于点． 【问题初探】：（1）的度数为 　　，的度数为 　　； 【问题再探】：（2）如图2，过点作．（可直接使用问题（1）中的结论） ①求的度数； ②试判断线段和之间的位置关系，并说明理由； 【拓展探究】：（3）若，将绕点顺时针旋转一定角度后得到△，当所在直线与平行时，请直接写出此时旋转角度与之间的关系． 7．（2022秋•新乡期末）如图1，在中，和的平分线交于点，过点作，交于，交于． （1）当，，则　　； （2）当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点，过点作，交于，交于，试判断，，之间的关系，并说明理由． 8．（2022秋•东昌府区校级期末）如图1，中，，、的平分线交于点，过点作交、于、． （1）猜想：与、之间有怎样的关系． （2）如图2，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？并说明理由． （3）如图3，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 专题拓展：三角形中的五种常见模型解题技巧 题型一、“8”字模型 题型二、飞镖模型 题型三、“A”字模型 题型四、“老鹰捉小鸡”模型 题型五、（双）角平分线模型 一、“8”字模型 三角形三个内角的和等于180° 对顶角相等 二、飞镖模型 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等子与它不相邻的两个内角的和. 三、“A”字模型 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和. 四、“老鹰捉小鸡”模型 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和. 五、（双）角平分线模型 1.双内角平分线 2.双外角平分线 3.内角平分线+外角平分线 三角形三个内角的和等于180° 三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和. 题型归纳 题型一、“8”字模型 一．填空题（共5小题） 1．（2023秋•宝山区校级月考）如图，则的度数是　　． 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，，进而利用三角形的内角和定理求解． 【解答】解：如图可知 是三角形的外角， ， 同理也是三角形的外角， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 2．（2023春•武冈市期末）如图，的度数为　　 【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数． 【解答】解：如图， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 3．（2023秋•新抚区期中）如图，则　　． 【分析】根据五边形的内角和即可得到结论． 【解答】解：连接， 则， ， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形外角的性质及多边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 4．（2023秋•丰台区校级月考）如图，是由线段，，，，组成的平面图形，，则的度数为　　． 【分析】首先求出，然后证明出，最后结合题干求出的度数． 【解答】解：如图可知，， 又， ， 又， ， 又， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的知识，解答本题的关键是求出，此题难度不大． 5．（2023春•蓬莱区期中）如图，的度数是　　． 【分析】本题运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将已知角转化在同一个三角形中，再根据三角形内角和定理求解． 【解答】解：如图， ，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 二．解答题（共4小题） 6．（2023秋•惠州校级月考）如图，求的度数． 【分析】由三角形外角性质得，，，从而求的度数和，变为的度数和，因，，，是四边形的四个内角，利用多边形的内角和定理：多边形的内角和即可求出它们的和． 【解答】解：由三角形外角性质得，，， ． 故的度数是． 【点评】本题考查多边形的内角和定理，三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 7．（2023秋•垫江县校级月考）如图所示，求的度数． 【分析】连接，将问题转化为多边形的内角和问题． 【解答】解：如图，连接，则， ． 【点评】解决本题的关键的基本思路是把所求的几个角转化为一个多边形的角的问题． 8．（2023春•营山县校级期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若，点在、外部，则有，又因是的外角，故．得．将点移到、内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在如图2中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图3，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）； （3）根据（2）的结论求如图4中的度数． 【分析】（1）延长交于点，根据得出，再由三角形外角的性质即可得出结论； （2）连接并延长，由三角形外角的性质得出，，由此可得出结论； （3）由（2）的结论得：．．再根据即可得出结论． 【解答】解：（1）不成立，结论是． 延长交于点， ， ， 又， ； （2）结论：． 连接并延长， 是的外角，是的外角， ，， ，即； （3）由（2）的结论得：．． 又 ． （或由（2）的结论得：且， ． 【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键． 9．（2023秋•同心县校级月考）已知：如图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个； （3）在图2中，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．利用（1）的结论，试求的度数； （4）如果图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可） 【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可； （3）根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； （4）根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【解答】解：（1）在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ； （2）交点有点、、， 以为交点有1个，为与， 以为交点有4个，为与，与，与，与， 以为交点有1个，为与， 所以，“8字形”图形共有6个； （3），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； （4）根据“8字形”数量关系，，， 所以，，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 题型二、飞镖模型 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•双峰县月考）如图，，，，的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】作直线，根据三角形的外角性质可得：，，从而推出． 【解答】解：作直线， （1） （2） 由（1）、（2）得：， 即， ，， ． 故选：． 【点评】解答此题的关键是构造三角形，应用三角形内角与外角的关系解答． 2．（2023秋•天长市期中）如图，中，，为延长线上的一点，于点，，则为　　 A． B． C． D． 【分析】由于点，，由三角形内角和定理可求出，再由三角形外角定理可得． 【解答】解：， ， ， ， ，， ． 故选：． 【点评】这道题考查的是三角形内角和定理及三角形的外角定理，一定要熟记定理． 二．填空题（共1小题） 3．（2022秋•富阳区期中）如图，作于点，与相交于点，若，，则　60　，　　． 【分析】首先利用垂直的定义和三角形的内角和定理可以求出，然后利用三角形的外角和内角的关系可以求出． 【解答】解：， ， ， ， 又， 故答案为：60；105． 【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 4．（2023秋•新建区期中）一个零件的形状如图，按规定应等于，、应分别是和，现测量得，你认为这个零件合格吗？为什么？ 【分析】直接利用图形中的外角和等于与它不相邻的两个内角和求解． 【解答】解：延长与相交于点． ， 又， 实际量得的， ， 这个零件不合格． 【点评】本题考查了三角形的内角和外角之间的关系．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． 5．（2022秋•盐湖区校级期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”， （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，，则　50　； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、，若，，求的度数． 【分析】（1）首先连接并延长至点，然后根据外角的性质，即可判断出． （2）①由（1）可得，然后根据，，求出的值是多少即可． ②由（1）可得，再根据，，求出的值是多少；然后根据，求出的度数是多少即可． ③根据，，设为，可得，解方程，求出的值，即可判断出的度数是多少． 【解答】解：（1）如图（1），连接并延长至点， ， 根据外角的性质，可得 ，， 又，， ； （2）①由（1），可得 ， ，， ， 故答案为：50． ②由（1），可得 ， ， ， ； ③， ， 设为， ， ， 解得， 即的度数为． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键． 题型三、“A”字模型 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•德宏州期末）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】先根据平角定理，求出，再根据三角形内角和求出即可． 【解答】解：如图所示： ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和，解题关键是正确识别图形，理解相关角与角之间的数量关系． 二．填空题（共1小题） 2．（2022秋•济宁期末）如图，中，，，将沿折叠，点落在形内的，则的度数为 　　． 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出的度数，根据图形翻折变换的性质得出的度数，再由四边形的内角和为即可得出结论． 【解答】解：中，，， ， ， ， 由△翻折而成， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 三．解答题（共3小题） 3．（2022秋•平桥区期末）探索归纳： （1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则　　． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是 　　． （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 【分析】（1）利用了四边形内角和为和直角三角形的性质求解； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； （3）根据（1）（2）可以直接写出结果； （4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解． 【解答】解：（1）：四边形的内角和为，直角三角形中两个锐角和为 ． 等于． 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）与的关系是：； 故答案为：； （4）是由折叠得到的， ， ， 又， ． 【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系． （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． （2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 4．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片沿折叠，使点落在点处．（点在的内部） （1）如图1，若，则　90　． （2）利用图1，探索，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中得出的结论求的度数． 【分析】（1）根据翻折变换的性质用、表示出和，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用、表示出和，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）由、是的两个外角知、，据此得，继而可得答案； （3）由（1）知，根据平分，平分知．利用可得答案． 【解答】解：（1）点沿折叠落在点的位置， ，， ，， 在中，， ， 整理得； 故答案为：90； （2）， 理由：、是的两个外角， ，， ， ， 即； （3）由（1），得， ， 平分，平分， ． ， ． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键． 5．（2023秋•章贡区校级月考）尝试探究 如图1，在一张三角形纸片上，剪去，得到四边形，与分别为的两个外角 （1）请你试着说明： （2）如图2，如果沿着再剪一刀，与分别为的两个外角，那么和的数量关系为　　 （3）如图3，，分别平分外角、，求与的数量关系： 拓展提升 如图4，在四边形中，、分别平分外分、，请写出，、这三个角的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据外角的性质得到，，求得，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）由（1）得，，同理得到，于是得到结论； （3）由（1）得，，根据角平分线的定义即可得到结论； （4）由（3）得到，由（1）得到，于是得到结论． 【解答】解：（1）与分别为的两个外角， ，， ， 三角形的内角和为， ， ； （2）由（1）得，， 同理，， ， 故答案为：； （3）由（1）得，， ，分别平分外角、， ，， ， ； （4）解：数量关系：， 理由：如图，由（3）可知，， 由（1）可知，， ． 【点评】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 题型四、“老鹰捉小鸡”模型 一．选择题（共1小题） 1．（2023秋•增城区期末）如图，把三角形纸片沿折叠，当点落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据折叠的性质可得，根据平角等于用表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用与表示出，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可得解． 【解答】解：△是沿折叠得到， ， 又，， ， 即， 整理得，． ，即． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把、、转化到同一个三角形中是解题的关键． 二．填空题（共1小题） 2．（2023秋•玉林期末）纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内（如图），若，则的度数为　　． 【分析】先根据，，求出的度数．再由可求出的度数，由三角形内角和定理及平角的性质即可求解． 【解答】解：中，，， ， ， ， 在中，， ， 故答案为． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及平角的性质，解答此题的关键是熟知三角形的内角和是． 三．解答题（共3小题） 3．（2023秋•庄浪县期中）问题1 如图①，一张三角形纸片，点、分别是边上两点． 研究（1）：如果沿直线折叠，使点落在上，则与的数量关系是　　 研究（2）：如果折成图②的形状，猜想、和的数量关系是　　 研究（3）：如果折成图③的形状，猜想、和的数量关系，并说明理由． 猜想：　　理由 问题2 研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形纸片沿折叠，使点、落在四边形的内部时，与、之间的数量关系是　　． 【分析】（1）根据三角形的外角的性质以及折叠的特点即可得到结论； （2）连接，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （3）连接构造等腰三角形，然后结合三角形的外角性质进行探讨证明； （4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨． 【解答】解：（1）根据折叠的性质可知，，故； （2）由图形折叠的性质可知，①，②， ①②得， 即， 故； （3）． 证明如下： 连接构造等腰三角形， ，， 得， （4）如图④，由图形折叠的性质可知，， 两式相加得， 即， 所以，． 【点评】注意此类一题多变的题型，基本思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理及其推论进行证明． 4．（2023秋•嘉祥县期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图②，把纸片沿折叠，当点落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图③，把四边形沿折叠，当点、分别落在四边形内部点、的位置时，你能求出、、与之间的数量关系吗？并说明理由． 【分析】（1）根据翻折的性质表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （3）先根据翻折的性质表示出、，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【解答】解：（1）如图，根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，； （2）根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，； （3）根据翻折的性质，，， ， ， 整理得，． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． 5．（2023•鸠江区校级开学）（1）如图1，设，则　　； （2）把三角形纸片顶角沿折叠，点落到点处，记为，为． ①如图2，，与的数量关系是 　　； ②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中　　． 【分析】（1）利用三角形外角的性质和三角形的内角和定理即可求解； （2）①先根据折叠得：，，由两个平角和得：等于与四个折叠角的差，化简得结果； ②利用两次外角定理得出结论； （3）由折叠可知等于六边形的内角和减去以及和，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）①如图2，猜想：，理由是： 由折叠得：，， ， ， ； 故答案为：； ②如图3，，理由是： ，， ， ， ， ； （3）如图4，由题意知， 又，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键． 题型五、（双）角平分线模型 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•新市区校级期中）如图，的三边，，的长分别为15，20，25，点是三条角平分线的交点，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于，于，于，如图，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到． 【解答】解：过点作于，于，于，如图， 点是三条角平分线的交点， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式． 2．（2015•郑州一模）如图，中，，分别是，的平分线，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再根据三角形的内角和等于即可求出的度数． 【解答】解：， ， ，分别是，的平分线， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键． 二．填空题（共3小题） 3．（2023秋•东莞市校级期中）如图，中，，的角平分线与的角平分线交于点．则　　． 【分析】利用三角形内角和定理先求出的度数，再利用角平分线的定义即可求解． 【解答】解：， ， 的角平分线与的角平分线交于点， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的定义求出的度数． 4．（2023秋•南宁月考）如图，在中，，的平分线交于点，过点作交，于点，．当，时，的长为 　2　． 【分析】利用平行和角平分线得到，，可得出结论，由此即可求得的长． 【解答】解：如图，平分， ； ， ， ， ； 同理可证， ， ，， ， ， 故答案为2． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，结合平行得到，是解题的关键． 5．（2023春•天宁区校级期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则　　度． 【分析】根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出． 【解答】解：平分，平分， ，， ， 同理可得， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，涉及三角形外角性质，找出和之间的规律是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 6．（2023秋•郑州期末）综合与实践：如图1，在中，，三个内角平分线交于点，的外角的角平分线交的延长线于点． 【问题初探】：（1）的度数为 　　，的度数为 　　； 【问题再探】：（2）如图2，过点作．（可直接使用问题（1）中的结论） ①求的度数； ②试判断线段和之间的位置关系，并说明理由； 【拓展探究】：（3）若，将绕点顺时针旋转一定角度后得到△，当所在直线与平行时，请直接写出此时旋转角度与之间的关系． 【分析】（1）已知与是和的平分线，因此可以推导出，由于，所以可以推导出； （2）①已知，可以推导出， ②，利用平行线的性质可以证明； （3）当所在直线与平行时，，此时或者． 【解答】解：（1）①，与是和的平分线， ， ②， ， 又，，平方，，， ， ， ， 故答案为：，； （2）①，， ， ②， 证明：，， ， 答：，； （3）若，将绕点顺时针旋转一定角度后得到△， ，， ， 或者， 答：或者． 【点评】本题考查的重点是三角形角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形补角的知识，平行线的判定，只要熟练掌握以上知识点就可以计算出角的度数． 7．（2022秋•新乡期末）如图1，在中，和的平分线交于点，过点作，交于，交于． （1）当，，则　8　； （2）当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点，过点作，交于，交于，试判断，，之间的关系，并说明理由． 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证，，即可得出答案； （2）与（1）同理可证． 【解答】解：（1）， ，， 和的平分线交于点， ，， ，， ，， ， 故答案为：8； （2），理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键． 8．（2022秋•东昌府区校级期末）如图1，中，，、的平分线交于点，过点作交、于、． （1）猜想：与、之间有怎样的关系． （2）如图2，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？并说明理由． （3）如图3，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由． 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论； （2）利用（1）的方法解答即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定和为等腰三角形，利用线段和差的关系可得结论． 【解答】解：（1）与、之间的关系为：．理由： 是的平分线， ． ， ． ． ． 同理：． ． （2）第（1）问中与、间的关系还存在，即．理由： 是的平分线， ． ， ． ． ． 同理：． ． 第（1）问中与、间的关系还存在． （3）图中还存在等腰三角形和，此时，理由： 是的平分线， ． ， ． ． ． 是等腰三角形， 同理可证是等腰三角形， ， ， ． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$