第03讲 多边形及其内角和（3个知识点+8个考点+易错分析）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第03讲 多边形及其内角和（3个知识点+8个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解多边形的有关概念,认识多边形的边、内角、外角、顶点、对角线 2.认识正多边形,知道正多边形的每条边都相等,每个内角都相等. 3.探索并掌握多边形的内角和公式与外角和定理,会用多边形的内角和公式与外角和定理进行简单的计算与说理 知识点1：多边形及其相关概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类: 画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 凸多边形 凹多边形 4.正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等． 5.多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 要点归纳： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形 【例1-1】对于正多边形，下列说法正确的是（    ） A．正多边形的边都相等，内角都相等； B．各边相等的多边形是正多边形； C．各角相等的多边形是正多边形； D．由正多边形构成的多边形是正多边形； 【答案】A 【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确 B. 菱形不是正方形，错误 C. 矩形不是正方形，错误 D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误 【变式1-2】个六边形、个五边形共有 条边． 【答案】 【分析】由六边形有六条边，五边形有五条边，即可计算． 【详解】解：∵个六边形有条边，个五边形有条边， ∴个六边形、个五边形共有条边， 故答案为：. 【点睛】本题考查多边形的概念，关键是掌握n边形有n条边． 【例1-3】从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：设多边形的边数为，由题意，得：， ∴， ∴该多边形的边数为7； 【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 【例1-4】一个正多边形从一个顶点出发有3条对角线，它的周长为，则它的边长为 ． 【答案】7 【分析】根据n边形一个顶点可以引条对角线求出这个正多边形的边数，进而求出对应的边长即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得， 解得， ∵这个正多边形的周长为， ∴这个正多边形的边长为， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了多边形对角线条数问题，熟知n边形一个顶点可以引条对角线是解题的关键． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 【答案】C 【分析】根据多边形的概念，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，故本选项错误，不符合题意； B、多边形的一边与另一边组成的角叫做多边形的内角，多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角，故本选项错误，不符合题意； C、各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形，故本选项正确，符合题意； D、连接多边形两个顶点的线段，分为两种类型是连接相邻两个顶点的线段是多边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了多边形的概念；多边形内角、外角的概念；对角线的概念，熟练掌握由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形是解题的关键． 【变式1-2】下列说法错误的是（    ） A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点； B．四边形有2条对角线； C．连接对角线，可以把多边形分成三角形； D．六边形的六个角都相等； 【答案】D 【分析】运用多边形的定义及其内角、对角线等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意； B、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；； C、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意； D、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的定义及其内角、对角线等知识点，解决本题的关键是熟练掌握多边形的定义 【变式1-3】如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形． 【详解】解：从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形， ， ， 故答案为：2025． 知识点2：多边形的内角和（重难点） n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点归纳： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 【例2】正多边形的内角和为，则这个多边形的一个内角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正多边形的内角和为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的一个内角为； 故选C 【点睛】本题考查的是正多边形的内角和问题，熟记多边形的内角和公式与正多边形的定义是解本题的关键． 【变式2-1】蜂巢结构精巧，如图是部分巢房的横截面图，形状均为正六边形．正六边形的内角和是 ． 【答案】720 【分析】本题考查了多边形内角和，根据内角和公式：（其中n表示多边形的边数），即可完成求解．掌握多边形内角和公式是关键． 【详解】解：正六边形的内角和为：， 故答案为：720． 【变式2-2】（2023八年级·云南昆明·期中）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是 ． 【答案】15/十五 【分析】 本题考查多边形得内角和，根据多边形的内角和公式，进行求解即可． 【详解】解：设所求n边形边数为n， 则， 解得． 故这个多边形的边数是15． 故答案为：15． 【变式2-3】（2023八年级·重庆·阶段练习）若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点3：多边形的外角和定理（重点） 多边形的外角和为360°． 要点归纳： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【例3】已知一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是__________． 【答案】12 【分析】利用任何多边形的外角和是除以外角度数即可求出答案． 【详解】解：多边形的外角的个数是， 所以多边形的边数是12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容． 【变式3-1】十二边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和为360度，判断即可． 【详解】解：十二边形的外角和为； 故选B． 【变式3-2】若一个多边形的内角和与外角和之比是的5︰2，则这个多边形的边数是 ． 【答案】7 【分析】设这个多边形的边数是n，则内角和为，然后根据外角和是360度，即可求得边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则 ∴ 解得； 故答案为：7． 【点睛】本题考查了多边形的计算，理解多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化是关键． 【变式3-3】已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线． 【答案】9 【分析】此题主要考查了多边形的外角和以及内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．首先根据多边形外角和求出内角和的度数，再利用内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数． 【详解】解：多边形的外角和都是， 内角和等于， 设这个多边形有条边， ，解得：， 从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线． 故答案为：9． 易错点：多边形“截角问题”因漏解而致错 【例4】若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【答案】C 【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选C 【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 【变式4-1】将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为，则原多边形的边数为（ ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：多边形的内角和可以表示成（且n是正整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得， 解得：， 则多边形的边数是或或，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1． 【变式4-2】若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是_____． 【答案】5，6，7． 【分析】直接画图，动作操作即可知答案. 【详解】如图可知，原多边形的边数可能为5,6,7 故填5，6，7． 【点睛】本题考查多边形性质，解题关键在于能够画出图形. 【变式4-3】把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角． 【答案】3或4或5． 【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变． 【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4或5个角， 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键． 考点1：确定多边形的边数 1．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________． 【答案】2025 【分析】从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形，由此即可解决问题． 【详解】解：从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形， ， ， 故答案为：2025． 【点睛】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形． 2．若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则_____． 【答案】13 【分析】根据对角线构成，不是一条边上的两个端点连线构成对角线，一个顶点所在两条边上与其相邻的两个顶点除外，边形的一个顶点引出条对角线直接求解即可得到答案． 【详解】解：从一个边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线， 根据题意得，解得， 故答案为：13． 【点睛】本题考查多边形对角的规律，掌握边形的一个顶点引出条对角线是解决问题的关键． 3．一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______． 【答案】6或7或8 【分析】存在三种情况，根据图示进行分析． 【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图 一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解． 4.已知一个正多边形其一个内角与其相邻的一个外角的度数之比是，求这个多边形是几边形？ 【答案】这个多边形是九边形 【分析】设这个正多边形的边数为，根据多边形的内角和公式以及多边形的外角和为，由此列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 由题意得：， 解得：，． 答：这个多边形是九边形． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式及多边形的外角和是是解题的关键． 5.解决多边形问题： (1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？ (2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？ 【答案】(1)八边形 (2)八边形 【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于建立方程，解方程即可得； （2）设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则，再根据多边形的内角和公式建立等式，结合建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：设这个多边形是边形， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形是八边形． （2）解：设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则， 由题意得：， 解得， 则，即， 解得， 为正整数， ， 答：这个多边形是八边形． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键． 考点2：确定多边形内角与外角的度数 6.已知九边形的其余8个角的度数均为，那么第九个角的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】 本题考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和的求法是解题的关键． 先求出九边形的内角和，再减去8个内角的度数即可． 【详解】解：九边形的内角和为，8个内角的度数为， 第九个角的度数为． 故答案为：． 7.如图，若正五边形和长方形按如图方式叠放在一起，则的度数为 ．    【答案】36 【分析】先求出正五边形的内角和，可得出每个内角的度数，利用三角形的外角得出，再求出，即可得到答案． 【详解】解：∵正五边形内角和为：， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36． 【点睛】本题考查多边形的内角和，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键． 8.已知四边形的四个外角的度数之比为，那么这个四边形各内角的度数分别是多少？ 【答案】 【分析】设四边形的四个外角的度数分别为，再根据多边形外角和为建立方程求出四个外角的度数，进而求出四个内角的度数． 【详解】解：设四边形的四个外角的度数分别为． 由题意得，， 解得． ∴四个外角分别为． ∴这个四边形各内角的度数分别为． 【点睛】本题主要考查了四边形外角和，熟知四边形外角和为是解题的关键． 9.阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)明明求的是几边形的内角和？ (3)多加的那个外角为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形 (3)40° 【分析】（1）根据多边形内角和公式判断即可； （2）根据多边形内角和公式判断即可； （3）由（2）即可得出答案． 【详解】（1）由可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，故不可能是多边形内角和． （2）由可知，2020÷180=11……40，所以，所以 故多边形是十三边形． （3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟记是解题的关键． 考点3：正多边形 10.己知一个n边形的每一个外角都等于30°． （1）求n的值． （2）求这个n边形的内角和． 【答案】（1）12；（2）1800° 【分析】（1）用360°除以外角度数可得答案． （2）先求出每个内角的度数，再利用内角度数×内角的个数即可． 【详解】解：（1）∵n边形的每一个外角都等于30° ∴n＝360°÷30°＝12； （2）∵每个内角=180°-30°=150°， ∴内角和=12×150°＝1800°． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形的外交和等于360°． 11.已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和． 【答案】十二边形，1800° 【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和． 【详解】解：设外角为x°， 由题意得：x＋4x＋30＝180， 解得：x＝30， 360°÷30°＝12， ∴（12−2）×180＝1800°， ∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形． 【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方程求解即可． 12．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识． （1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可． 【详解】（1）解：由题意可得，解得． 正x边形的周长为； （2）正边形每个内角的度数为， 正n边形的每个外角的度数为， ， ∴n的值为5． 考点4：多边形对角线公式的综合应用 13.我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（　　）    A．54 B．44 C．35 D．27 【答案】C 【分析】根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线…… 一个十边形共有条对角线，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为． 14.过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，五边形共有条对角线，则的值为 ． 【答案】64 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n＞3，且n为整数）可得到m、k、n的值，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：n-3=2m，m=3， 解得m=3，n=9， ， 解得k=5， 则：（n-k）m=（9-5）3=64． 故答案为：64． 【点睛】此题主要考查了多边形的对角线和有理数的乘方，关键是掌握对角线条数的计算公式． 15.连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，求多边形的边数． 【答案】8 【分析】根据过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为，依题意得，解得． ∴多边形的边数为8． 【点睛】本题考查了多边形对角线的相关知识，掌握过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形是本题的关键． 16．若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小． (1)求这个多边形的边数； (2)求这个多边形的所有对角线条数． 【答案】(1)这个多边形的边数是7 (2)14条 【分析】（1）设这个多边形的边数为n，则内角和为，外角和为，列一元一次方程，即可求解； （2）n边形的对角线条数为． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n， ， 解得． 即这个多边形的边数是7． （2）解：， 即这个多边形有14条对角线． 【点睛】本题考查多边形的内角和、外角和、对角线条数，解题的关键是掌握n边形的内角和为，外角和为，对角线条数为． 考点5：巧用外角解决问题 17.如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 18.如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度． 【答案】80 【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度数；再利用五边形的内角和为540毒，可求出∠C的度数． 【详解】解：∵与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°， ∴∠DEA＝180°－60°＝120°，∠ABC＝180°－60°＝120°，∠EAB＝180°－80°＝100°； 五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°； ∴∠C＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°． 故答案为：80． 【点睛】此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 19.如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________． 【答案】70° 【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解． 【详解】如图， ∵∠1+∠2+∠3=220°， ∴∠4+∠5=360°-220°=140°， ∴∠EAB+∠CBA=220°， ∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC， ∴∠OAB+∠OBA=110°， ∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°． 故答案是：70°． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键． 考点6：求不规则图形多个角的度数和 20.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝(　　) A．450° B．540° C．630° D．720° 解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B. 方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性． 21．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__． 【答案】1080° 【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数． 【详解】解：连KF，GI，如图， ∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°． 故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°． 故答案为：1080°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 22．如图，求的大小．    【答案】 【分析】连接AD，根据三角形内角和定理，得到，再利用四边形内角和求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点G，    在中，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和，对顶角相等．当出现多个角求和时，可以通过等量代换找到我们熟悉的三角形，四边形的内角和进行计算． 23.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数． 【分析】利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形：五边形． 【解答】解：如图， 由三角形内角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝180°×（5﹣2）＝540°． 【点评】本题主要考查多边形内角和，解题关键是利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形． 考点7：多边形的内角和与外角和的综合应用 24.一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是(　　) A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定 解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C. 方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题． 25.一个多边形的内角和与外角和的度数之和为，求这个多边形的边数． 【答案】多边形的边数为7 【分析】设这个多边形的边数为n，根据这个多边形的内角和+外角和360°=1800°，列出方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是，由题意得， ， 解得：． 答：多边形的边数为7． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关，熟练多边形的内角和定理是解题的关键． 26.（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数； （2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数． 【答案】（1）9（2）11 【分析】本题主要考查了求多边形的边数，多边形内角和和外角和定理以及一元一次方程的应用． （1）设这个多边形的边数为n，利用一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多列一元一次方程求解即可得出答案． （2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为，根据题意，列一元一次方程求解出x，再利用多边形外角为即可求出答案． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 所以这个多边形的边数为9． （2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为， 根据题意，得，解得． ∴， 所以这个多边形的边数为11． 考点8：多边形内角和、外角和与平行线、角分平分线综合 27.四边形ABCD中，的平分线与边BC交于点E；的平分线交直线AE于点O． （1）若点O在四边形ABCD的内部． ①如图1，若，，，则______． ②如图2，试探索、、之间的数量关系，并将你的探索过程写下来． （2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）120°；（2）；（3） 【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求∠BAE，∠CDO，再根据三角形外角的性质可求∠AEC，再根据四边形内角和等于360°可求∠DOE的度数； ②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的关系，再根据四边形内角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系； （2）根据四边形和三角形的内角和得到∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，根据角平分线的定义得到∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，于是得到结论． 【详解】解:（1）①∵ ∴ 又∵∠B=50°，∠C=70° ∴∠BAD=130°，∠ADC=110° ∵AE、DO分别平分∠BAD、∠ADC ∴∠BAE=65°，∠ODC=55° ∴∠AEC=115° ∴∠DOE=360°-115°-70°-55°=120° 故答案为：120° ②，理由如下： 平分 平分 即 （2），理由如下： 平分 平分 即：. 【点睛】本题考查多边形内角与外角平行线的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握四边形内角和等于360°，这是解题的重点． 28.已知//，点B、C在上（B在C左侧），A在上，连接、，，，平分，平分，、交于点E． (1)求的度数； (2)若将图1中的线段沿向右平移到如图2所示位置，平分，平分，、交于点E，，，请你直接写出的度数： (3)若将图1中的线段沿向左平移到如图3所示位置，其它条件与（2）相同，猜想此时的度数又是多少．（不需要证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明再求解∠PAE=×140°＝70°，可得再求解∠ABE=30°，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）先证明 可得 由平分，平分， 再利用四边形的内角和定理可得答案； （3）先证明结合角平分线的定义可得如图，过作，证明 再证明  从而可得答案． （1） 解：∵， ，， ∴ ∴∠PAC=180°-40°=140°， 而AE平分∠PAC， ∴∠PAE=×140°＝70°， ∴ ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=30°， 在△ABE中，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-30°-10°=140°， （2） ∵， ，， ∴ ∵平分，平分， （3） ∵， ，， ∵平分，平分， 如图，过作， ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质与多边形的内角和定理解决问题是解本题的关键． 29.已知在四边形中，，（，）． (1)_______（用含、的代数式表示）． (2)如图①，若，平分，平分与相邻的外角，请写出与的位置关系，并说明理由． (3)如图②，为与、相邻的外角平分线所在直线构成的锐角． ①当时，若，试求、； ②小明在作图时，发现不一定存在，请指出、满足什么条件时，不存在． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)①，；②当且时，不存在． 【分析】（1）根据四边形内角和等于直接计算即可得到答案； （2）根据（1）与时，，结合得到，根据平分，平分，得到，根据，即可得到答案； （3）①连接并延长至点，根据得到，结合平分得到，同理得到，即可得到，即可得到答案；②过点作，由①得：，，结合得到，表示出，由（1）结论及表示出，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵在四边形中， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由：如答图①，延长交于点， 由（1）知：， ∴当时，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 又∵， ， ∵，， ∴， .∴， ∴； （3）解：①如答图②，连接并延长至点， ∵， ∴， ∵平分， ∴ 同理可证，. ∵，， ∴， ，； ②如答图③，过点作， 由①得：，， ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴当时，， ∴. ∴， ， ， ， 此时，与没有交点， ∴当且时，不存在； 【点睛】本题考查根据角平分线求解，四边形内角和定理，平行线性质与判定，解题的关键是作出辅助线及注意整体代换的思想． 一、单选题 1．（2023八年级上·全国·专题练习）下列图形中，不是多边形的是（　　） A．   B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据多边形的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； B、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意； D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键． 2．（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 【答案】C 【分析】根据多边形的概念，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，故本选项错误，不符合题意； B、多边形的一边与另一边组成的角叫做多边形的内角，多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角，故本选项错误，不符合题意； C、各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形，故本选项正确，符合题意； D、连接多边形两个顶点的线段，分为两种类型是连接相邻两个顶点的线段是多边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了多边形的概念；多边形内角、外角的概念；对角线的概念，熟练掌握由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形是解题的关键． 3．（21-22八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：延长，， ， ， 根据多边形的外角和定理可得， ． 故选：A． 4．（23-24七年级下·山东淄博·期中）过边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成个小三角形，则的值是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题考查多边形的对角线．根据边形过一个顶点能画出对角线的条数为：进行计算即可，对角线将多边形分成个三角形，进行计算出． 【详解】解：由题意可得：，， ， ． 故选：D． 5．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 6．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 7．（23-24八年级下·河南许昌·期中）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得： 解得． 故选C． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正多边形的内角和，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．如图所示，首先求出正五边形的内角，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示， ∵是正五边形， ∴内角和为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 9．（23-24八年级上·广西柳州·期中）正n边形的每个内角的度数为， 则n的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查多边形外角和定理，多边形的外角和是360度，先求出每个外角的度数，根据外角和360度求解即可． 【详解】根据题意有每个外角的度数为：， ， 故答案为：6． 10．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用，准确计算是解题的关键．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理得， ， 解得． 故答案为：6． 11．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了多边形的对角线的条数与边数的关系，代数式求值，根据多边形的边数与对角线的条数的关系求出a，b的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ， 故答案为：11． 12．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 13．（21-22八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 14．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为正 边形． 【答案】四 【分析】本题考查了正多边形的内角．熟练掌握正边形的内角为是解题的关键． 由题意知，正三角形的内角为，正四边形的内角为，正六边形的内角为，则另外一个正多边形的内角为，然后求解即可． 【详解】解：由题意知，正三角形的内角为，正四边形的内角为，正六边形的内角为， ∴另外一个正多边形的内角为， ∴为正四边形， 故答案为：四． 三、解答题 15．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图所示，在四边形中，与的平分线相交P，且 ，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，以及角平分线的性质，正确熟练掌握相关知识点进行角度的计算是解决本题的关键． 由四边形内角和知，结合角平分线的意义和三角形内角和定理得． 【详解】 解：∵在四边形中，，，， ∴， ∵与的平分线相交P， ∴， ∴， ∴在中，． ∴的度数为． 16．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1) 1 2 (2) 2 3 (3) (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）如图1： 经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2 （2）如图2： 经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 17．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）如图，六边形中，，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，多边形内角和定理，延长交延长线于G，利用三角形外角性质，平行线的性质，多边形内角和定理计算即可． 【详解】解：延长交延长线于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 解法2：连接，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（23-24八年级上·四川自贡·期中）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和． 【答案】多边形边数为8，内角和为 【分析】本题考查多边形的考查多边形边数和内角和的关系，掌握正多边形的定义、多边形的内角与外角、边数的关系是解题的关键． 由多边形的每一个内角和与它相邻的外角和等于，列方程求解可得内角度数，从而求得外角度数，再利用正多边形的外角和等于进行计算即可． 【详解】解：设内角为x，则外角为，根据题意得： 解得：， ， 即这个多边形的每个外角为， 多边形的外角和为， 多边形的边数为， 多边形的内角和为． 19．（23-24八年级下·全国·假期作业）在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为． (1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数； (2)是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在．边数是6，外角度数为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、多边形的内角和公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设这个外角的度数是，则与这个外角相邻的内角的度数为，根据“一个内角相邻的外角与其他各内角的和为”列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设边数为，这个外角的度数是，根据“一个内角相邻的外角与其他各内角的和为”列出方程，得出，结合得出，从而即可得出的值． 【详解】（1）解：设这个外角的度数是，则与这个外角相邻的内角的度数为， 由题意得：， 解得：， ∴这个外角的度数为； （2）解：设边数为，这个外角的度数是， 由题意得：， 整理得：， ， ， 解得：， 为正整数， 或， 当时，， ∴存在．边数是6，外角度数为． 20．（23-24八年级上·云南昆明·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 我把一个多边形的多边形的内角和不可能是 多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角 (1)这个“多加的锐角”是_________． (2)小明求的是几边形的内角和？并求此多边形的对角线条数？ 【答案】(1) (2)小明求的是边形的内角和, 此多边形的对角线条数为条 【分析】（1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可，根据多边形的对角线的条数为，即可求解． 【详解】（1）解：多边形内角和公式为， 当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， 小红说：“多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角”， 这个“多加的锐角”是， 故答案为：； （2）设多边形为边形， ， ， 小明求的是边形的内角和； ∴该多边形的对角线的条数为（条） 【点睛】本题主要考查多边形的内角和和外角和，多边形的对角线的条数问题，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键． 21．（23-24八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，四边形的内角，的平分线交于点E，，的平分线交于点F． (1)若，则______，______； (2)探索与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)给四边形添加一个条件，使得，你添加的条件是_____． 【答案】(1)， (2)．理由见解析 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形，四边形内角和定理，角平分线定义，平行线的判定，利用数形结合，理清角度之间的关系是解题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求出，再由角平分线定义得出，，可得；由四边形的内角和为，得出．由角平分线定义与三角形内角和定理可得答案； （2）由四边形的内角和为，由角平分线定义得出，结合三角形内角和定理有，从而可得答案； （3）由平行线的性质结合角平分线的定义可得． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵、的角平分线交于点F， ∴，， ∴； ∵四边形的内角和为， ∴． ∵四边形的内角、的角平分线交于点E， ∴，， ∴， ∴； （2）．理由如下： ∵， ∵四边形的内角、的角平分线交于点E，、的角平分线交于点F， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）添加：，理由如下： ∵， ∴，， 结合（2）可得：，， ∴． 22．（21-22八年级上·江西赣州·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若与相交于点G，，请求出a、β所满足的等量关系式； (3)如图2，若，请求出a、β所满足的等量关系式． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线，多边形的内角和公式，平行线的性质，利用多边形的内角和公式是解题关键． （1），再根据可得答案； （2）连接，由（1）知，利用角平分线和外角的性质可得，整理可得结论； （3）由（1）知，，由，得，由，得，根据三角形外角的性质则有，进而可得结论． 【详解】（1）解：由四边形内角和得， ， ； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，， 、分别平分四边形的外角和， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ； （3）解：如图2，延长交于， 由（1）得，， 、分别平分四边形的外角和， ，， ， ∵， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 多边形及其内角和（3个知识点+8个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解多边形的有关概念,认识多边形的边、内角、外角、顶点、对角线 2.认识正多边形,知道正多边形的每条边都相等,每个内角都相等. 3.探索并掌握多边形的内角和公式与外角和定理,会用多边形的内角和公式与外角和定理进行简单的计算与说理 知识点1：多边形及其相关概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类: 画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 凸多边形 凹多边形 4.正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等． 5.多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 要点归纳： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形 【例1-1】对于正多边形，下列说法正确的是（    ） A．正多边形的边都相等，内角都相等； B．各边相等的多边形是正多边形； C．各角相等的多边形是正多边形； D．由正多边形构成的多边形是正多边形； 【变式1-2】个六边形、个五边形共有 条边． 【例1-3】从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例1-4】一个正多边形从一个顶点出发有3条对角线，它的周长为，则它的边长为 ． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 【变式1-2】下列说法错误的是（    ） A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点； B．四边形有2条对角线； C．连接对角线，可以把多边形分成三角形； D．六边形的六个角都相等； 【变式1-3】如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为 ． 知识点2：多边形的内角和（重难点） n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点归纳： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 【例2】正多边形的内角和为，则这个多边形的一个内角为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】蜂巢结构精巧，如图是部分巢房的横截面图，形状均为正六边形．正六边形的内角和是 ． 【变式2-2】（2023八年级·云南昆明·期中）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是 ． 【变式2-3】（2023八年级·重庆·阶段练习）若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为 ． 知识点3：多边形的外角和定理（重点） 多边形的外角和为360°． 要点归纳： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【例3】已知一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是__________． 【变式3-1】十二边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若一个多边形的内角和与外角和之比是的5︰2，则这个多边形的边数是 ． 【变式3-3】已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线． 易错点：多边形“截角问题”因漏解而致错 【例4】若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【变式4-1】将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为，则原多边形的边数为（ ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【变式4-2】若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是_____． 【变式4-3】把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角． 考点1：确定多边形的边数 1．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为___________． 2．若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则_____． 3．一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______． 4.已知一个正多边形其一个内角与其相邻的一个外角的度数之比是，求这个多边形是几边形？ 5.解决多边形问题： (1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？ (2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？ 考点2：确定多边形内角与外角的度数 6.已知九边形的其余8个角的度数均为，那么第九个角的度数为 ． 7.如图，若正五边形和长方形按如图方式叠放在一起，则的度数为 ．    8.已知四边形的四个外角的度数之比为，那么这个四边形各内角的度数分别是多少？ 9.阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)明明求的是几边形的内角和？ (3)多加的那个外角为多少度？ 考点3：正多边形 10.己知一个n边形的每一个外角都等于30°． （1）求n的值． （2）求这个n边形的内角和． 11.已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和． 12．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 考点4：多边形对角线公式的综合应用 13.我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（　　）    A．54 B．44 C．35 D．27 14.过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，五边形共有条对角线，则的值为 ． 15.连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，求多边形的边数． 16．若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小． (1)求这个多边形的边数； (2)求这个多边形的所有对角线条数． 考点5：巧用外角解决问题 17.如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则的值为（    ） A． B． C． D． 18.如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度． 19.如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________． 考点6：求不规则图形多个角的度数和 20.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝(　　) A．450° B．540° C．630° D．720° 21．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__． 22．如图，求的大小．    23.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数． 考点7：多边形的内角和与外角和的综合应用 24.一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是(　　) A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定 25.一个多边形的内角和与外角和的度数之和为，求这个多边形的边数． 26.（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数； （2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数． 考点8：多边形内角和、外角和与平行线、角分平分线综合 27.四边形ABCD中，的平分线与边BC交于点E；的平分线交直线AE于点O． （1）若点O在四边形ABCD的内部． ①如图1，若，，，则______． ②如图2，试探索、、之间的数量关系，并将你的探索过程写下来． （2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请探究、、之间的数量关系，并说明理由． 28.已知//，点B、C在上（B在C左侧），A在上，连接、，，，平分，平分，、交于点E． (1)求的度数； (2)若将图1中的线段沿向右平移到如图2所示位置，平分，平分，、交于点E，，，请你直接写出的度数： (3)若将图1中的线段沿向左平移到如图3所示位置，其它条件与（2）相同，猜想此时的度数又是多少．（不需要证明） 29.已知在四边形中，，（，）． (1)_______（用含、的代数式表示）． (2)如图①，若，平分，平分与相邻的外角，请写出与的位置关系，并说明理由． (3)如图②，为与、相邻的外角平分线所在直线构成的锐角． ①当时，若，试求、； ②小明在作图时，发现不一定存在，请指出、满足什么条件时，不存在． 一、单选题 1．（2023八年级上·全国·专题练习）下列图形中，不是多边形的是（　　） A．   B．  C．   D．   2．（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角 C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形 D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线 3．（21-22八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东淄博·期中）过边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成个小三角形，则的值是（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 5．（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，等于（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 7．（23-24八年级下·河南许昌·期中）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24八年级上·广西柳州·期中）正n边形的每个内角的度数为， 则n的值是 ． 10．一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是 ． 11．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 12．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 13．（21-22八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 14．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为正 边形． 三、解答题 15．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图所示，在四边形中，与的平分线相交P，且 ，，求的度数． 16．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 17．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）如图，六边形中，，，，，，求的度数． 18．（23-24八年级上·四川自贡·期中）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和． 19．（23-24八年级下·全国·假期作业）在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为． (1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数； (2)是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由． 20．（23-24八年级上·云南昆明·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 我把一个多边形的多边形的内角和不可能是 多边形的内角和不可能是，你一定多加了一个锐角 (1)这个“多加的锐角”是_________． (2)小明求的是几边形的内角和？并求此多边形的对角线条数？ 21．（23-24八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，四边形的内角，的平分线交于点E，，的平分线交于点F． (1)若，则______，______； (2)探索与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)给四边形添加一个条件，使得，你添加的条件是_____． 22．（21-22八年级上·江西赣州·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若与相交于点G，，请求出a、β所满足的等量关系式； (3)如图2，若，请求出a、β所满足的等量关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$