1.3.4探索三角形全等的条件：倍长中线、截长补短模型（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第1章全等三角形 1.3.4探索三角形全等的条件：倍长中线、截长补短模型 苏科版 八年级上册 教学目标 01 掌握倍长中线模型 02 掌握截长补短模型 倍长中线模型 01 课堂引入 如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。 C A B D 【思考】①看到“AB+AC>2AD”，你想到了什么？ 两边之和大于第三边； E ②如何将“2AD”呈现在图中？ 延长AD至点E，使得ED=AD，则AE=2AD； ③边AB和AE可以确定哪个三角形？ 连接BE，可以确定的三角形是△ABE。 倍长中线 01 课堂引入 如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。 C A B D E 在△BED和△CAD中，， ∴△BED≌△CAD（SAS）， ∴BE=CA（全等三角形的对应角相等）； 证明：如图，延长AD至点E，使得ED=AD，连接BE， 则由作图可知：AE=2AD， ∵AD是△ABC的中线（已知）， ∴BD=CD（中线的定义）， 01 课堂引入 如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。 C A B D E ∵在△ABE中，AB+BE>AE （三角形的任意两边之和大于第三边）， ∴AB+AC>2AD（等量代换）。 02 知识精讲 倍长中线模型：当题目条件中出现中点或中线，我们常常使用倍长中线的辅助线技巧。 倍长中线模型 02 知识精讲 1.如图，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使得ED=AD，连接BE，除了△BED≌△CAD、BE=CA，你还能得到哪些结论？ 【分析】∵△BED≌△CAD（已证）， ∴∠DBE=∠DCA（全等三角形的对应角相等）， ∴BE//CA（内错角相等，两直线平行）。 C A B D E 02 知识精讲 2.如图，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使得ED=AD，连接CE，你能得到哪些结论？ 【分析】 CD=BD、∠CDE=∠BDA、ED=AD ⇒△CED≌△BAD ⇒CE=BA，∠DCE=∠DBA ⇒CE//BA C A B D E 02 知识精讲 倍长中线模型 倍长中线构造了两条互相平分的线段，如图，有两对全等的三角形，两组平行线。 C A B D E 已知：△ABC中，AD为中线。 操作：延长AD至点E，使得ED=AD， 连接BE和CE。 结论：①△BED≌△CAD，△CED≌△BAD； ②BE=CA，CE=BA； ③BE//CA，CE//BA。 03 典例精析 例、在△ABC中，AB=6，AC=4，则BC边上的中线AD的取值范围是________。 C A B D E 【分析】如图， BD=CD、∠BDE=∠CDA、ED=AD ⇒△BED≌△CAD ⇒BE=CA=4 ⇒AE<AB+AC=10 ⇒2AD<10，即AD<5 AD<5 截长补短模型 01 课堂引入 如图，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C。 【思考】如何处理“AC=AB+BD”这个条件？ 在AC上截取AE=AB，则CE=BD。 B A C D E 截长补短——截长 01 课堂引入 如图，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C。 B A C D E 在△ADE和△ADB中，， ∴△ADE≌△ADB（SAS）， 证明：如图，在AC上截取AE=AB， ∵AC=AB+BD，AC=AE+CE（已知）， ∴BD=CE（等量代换）， ∵AD平分∠BAC（已知）， ∴∠DAE=∠DAB（角平分线的定义）， 01 课堂引入 如图，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C。 B A C D E ∴DE=DB，∠AED=∠B（全等三角形的对应边、对应角相等），∴DE=CE（等量代换）， ∴∠CDE=∠C（在课件1.3.1中已证明）； ∵∠AED=∠C+∠CDE（外角的性质）， ∴∠B=2∠C（等量代换）。 02 知识精讲 截长补短模型：当题目条件或结论中，出现两段线段之和等于第三段的情形，我们经常考虑截长补短的技巧。 截长补短模型 截长是指从长的线段中截取一段，使截取的长度等于短线段中的一条，再证明余下的部分等于另一条短线段； 补短是指将一条短线段延长，使其与长线段相等，然后证明所延长的部分等于另一条短线段。 02 知识精讲 虽然很多截长补短的题目用两种方法都能解出，但有些题目适合截长，有些题目适合补短。至于选择截长还是补短、具体如何截长或补短需要视题目具体情况而定。 02 知识精讲 尝试用“截长补短——补短”完成课堂引入中的证明。 如图，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C。 B A C D E 证明：如图，延长AB至E，使得AE=AC， ∵AC=AB+BD，AE=AB+EB（已知）， ∴BD=EB（等量代换）， ∴∠BDE=∠E（在课件1.3.1已证明）， ∵∠ABC=∠BDE+∠E（外角的性质），∴∠ABC=2∠E（等量代换）， ∵AD平分∠BAC（已知），∴∠DAE=∠DAB（角平分线的定义）， 截长补短——补短 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADB（SAS）， ∴∠E=∠C（全等三角形的对应角相等）， ∴∠ABC=2∠C（等量代换）。 如图，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C。 02 知识精讲 B A C D E 03 典例精析 例1、如图，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AC=AB+BD。 B A C D E 证明：如图，在AC上截取AE=AB， ∵AD平分∠BAC（已知）， ∴∠DAE=∠DAB（角平分线的定义）， 在△ADE和△ADB中，， ∴△ADE≌△ADB（SAS）， ∴DE=DB，∠AED=∠B（全等三角形的对应边、对应角相等）； 截长补短——截长 03 典例精析 例1、如图，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AC=AB+BD。 ∵∠B=2∠C（已知）， ∴∠AED=2∠C（等量代换）， ∵∠AED=∠C+∠CDE（外角的性质）， ∴∠C=∠CDE（等量代换）； B A C D E 03 典例精析 例1、如图，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AC=AB+BD。 B A C D E 如图，作EF⊥CD于点D， 则∠EFC=∠EFD（垂直的定义）， F 在△CEF和△DEF中， ， ∴△CEF≌△DEF（AAS），∴CE=DE（全等三角形的对应边相等）， ∴CE=DB（等量代换）； ∵AC=AE+CE（已知）， ∴AC=AB+BD（等量代换）。 请用“截长补短——补短”完成例1的证明。 例1、如图，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AC=AB+BD。 B A C D 证明：如图，延长AB至E，使得AE=AC， ∵AD平分∠BAC（已知）， ∴∠DAE=∠DAB（角平分线的定义）， 截长补短——补短 03 典例精析 E 在△ADE和△ADC中，， ∴△ADE≌△ADB（SAS）， ∴∠E=∠C（全等三角形的对应角相等）； 例1、如图，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AC=AB+BD。 ∵∠ABC=2∠C（已知）， ∴∠ABC=2∠E（等量代换）， ∵∠ABC=∠E+∠BDE（外角的性质）， ∴∠BDE=∠E（等量代换）； 03 典例精析 B A C D E 例1、如图，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AC=AB+BD。 03 典例精析 B A C D E F 如图，作BF⊥DE于点F， 则∠BFD=∠BFE（垂直的定义）， 在△DFB和△EFB中， ， ∴△DFB≌△EFB（AAS）， ∴DB=EB（全等三角形的对应边相等）； ∵AE=AB+EB（已知）， ∴AC=AB+BD（等量代换）。 03 典例精析 例2、在△ABC中，∠A=60°，BD、CE平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，求证：BC=BE+CD。 C A B O E D F 证明：如图，在BC上截取BF=BE， ∵BD、CE平分∠ABC和∠ACB（已知）， ∴∠OBE=∠OBF，∠OCD=∠OCF（角平分线的定义）， ∵∠A=60°（已知）， ∴∠BOC=90°+∠A=120°（七下已证）， ∴∠BOE=∠COD=60°（同角的补角相等）， 本题适合截长 03 典例精析 例2、在△ABC中，∠A=60°，BD、CE平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，求证：BC=BE+CD。 C A B O E D F 在△BEO和△BFO中，， ∴△BEO≌△BFO（SAS）， ∴∠BOE=∠BOF=60°（全等三角形的对应角相等）， ∴∠COF=∠BOC-∠BOF=60°=∠COD（等量代换）； 03 典例精析 例2、在△ABC中，∠A=60°，BD、CE平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，求证：BC=BE+CD。 C A B O E D F 在△CDO和△CFO中，， ∴△CDO≌△CFO（ASA）， ∴CD=CF（全等三角形的对应边相等）， ∵BC=BF+CF（已知）， ∴BC=BE+CD（等量代换）。 课后总结 倍长中线模型：当题目条件中出现中点或中线，我们常常使用倍长中线的辅助线技巧。 截长补短模型：当题目条件或结论中，出现两段线段之和等于第三段的情形，我们经常考虑截长补短的技巧。 截长是指从长的线段中截取一段，使截取的长度等于短线段中的一条，再证明余下的部分等于另一条短线段； 补短是指将一条短线段延长，使其与长线段相等，然后证明所延长的部分等于另一条短线段。 1.3.4探索三角形全等的条件：倍长中线、截长补短模型 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $$