第09讲 直线的点斜式方程（思维导图+2知识点+4考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第09讲 直线的点斜式方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程； 3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 知识点 1 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为． 设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为， 由斜率公式得，即． 2、直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 【注意】对直线点斜式方程的理解 （1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． 3、两种特殊的直线： 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义， 即不存在 ，即 4、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 知识点 2 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的推导 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 2、直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在． 3、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 考点一：直线的点斜式方程 例1．（23-24高二上·江苏苏州·月考）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将，斜率为带入直线方程点斜式，得.故选：B. 【变式1-1】（23-24高二下·河南周口·月考）过点且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即．故选：B． 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）方程y＝k(x－1)(k∈R)表示(    ) A．过点(－1,0)的一切直线 B．过点(1,0)的一切直线 C．过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线 D．过点(1,0)且除x轴外的一切直线 【答案】C 【解析】直线的点斜式方程y＝k(x－1)表示经过点(1,0)且斜率为k的直线, 显然不垂直于x轴,故选:C. 【变式1-3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由，，得直线的斜率为， 所以所在直线的方程为，即. （2）由（1）知，直线的斜率为，而， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 考点二：直线的斜截式方程 例2. （23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线在轴上的截距是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，令，得， 所以直线在轴上的截距为，故选：A. 【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）倾斜角为且在轴上的截距是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】倾斜角为，直线的斜率为1， 在轴上的截距是，直线方程.故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·上海奉贤·月考）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 【答案】 【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得，所以直线的方程为，化简可得.故答案为： 【变式2-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为. （2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率. 所以该直线的斜截式方程为. 考点三：直线的图象特征问题 例3. （23-24高二上·全国·课后作业）直线不经过的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】画出直线方程得： 故直线不过第三象限，故选：C 【变式3-1】（23-24高二上·河北高碑店·月考）直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】B 【解析】由直线，得：，直线的斜率，直线在y轴上的截距为， 当时，，则直线经过第一象限和第三象限，且与轴相交于轴下方； 当时，，则直线经过第二象限和第四象限，且与轴相交于轴上方； 只有B选项的图象符合题意，故选：B. 【变式3-2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）（多选）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，， 对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故A错误； 对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确； 对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确． 对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故D错误.故选：BC. 【变式3-3】（23-24高二上·重庆·月考）一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】对于选项A中，直线的直线的∴A错； 对于选项B中，直线的直线的，∴B错； 对于选项C中，直线的直线的∴C对； 对于选项D中，直线的直线的∴D错．故选：C． 考点四：点斜式与斜截式的应用 例4. （23-24高二上·甘肃兰州·期中）直线的方程为. (1)证明：直线恒经过第一象限； (2)若直线一定经过第二象限，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1），即直线一定过定点， 该点在第一象限，于是直线一定经过第一象限. （2）由于直线经过第一象限的定点， 只要该直线在轴上的截距大于即可，而 经过轴上的点，则，解得 【变式4-1】（23-24高二上·广东湛江·月考）当a为何值时，直线：与直线：. (1)平行； (2)垂直. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）要使，则需满足. 故当时，直线与直线平行. （2）要使，则需满足，∴. 故当时，直线与直线垂直. 【变式4-2】（23-24高二上·福建·期中）已知直线的方程为y＝－2x＋3. (1)若直线与平行，且过点，求直线的方程； (2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由直线与平行，可设的方程为， 将代入，得， 即得，所以直线的方程为 （2）由直线与垂直，可设的方程为， 令，得，令，得， 故三角形面积， 所以，解得，所以直线的方程是或 【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知在平面直角坐标系中的两点． (1)求线段AB的中垂线的方程； (2)求以向量为方向向量且过点的直线l的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）易知线段AB的中点的坐标为，其斜率， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为， 即. （2）由已知得，则直线l的斜率为， 又过点， 由直线的点斜式方程得直线l的方程为，即. 一、单选题 1．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴，其方程为.故选：B 2．（23-24高二上·广西梧州·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率，则该直线的倾斜角.故选：A 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即．故选：D. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为 由垂直关系可得垂线的斜率为， 又垂线过点， 垂线方程为故选：D 5．（23-24高二上·江苏连云港·期初考）直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以A C错；当时，，故B对；故选：B 6．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 二、多选题 7．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】设的斜率分别为， 结合题意易得：， 因为，所以 因为且，所以. 故选：BD. 8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线l：，则下列结论正确的是（） A．点在直线l上 B．直线l的一个方向向量为 C．直线l在y轴上的截距为8 D．直线l的倾斜角为 【答案】BD 【解析】对于A选项，把代入到得，所以点不在直线l上，A错误； 对于B选项，因为直线l：，即为：，直线的斜率为1， 所以为直线的一个方向向量，B正确； 对于C选项，当时，，所以直线l在y轴上的截距为，C错误； 对于D选项，因为直线的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，D正确. 故选：BD 三、填空题 9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 【答案】 【解析】由点斜式方程得，转化为斜截式方程可得， 所以该直线在轴上的截距为.故答案为：. 10．（23-24高二上·吉林·月考）已知直线的倾斜角比直线：的倾斜角小，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【解析】由题意得直线：的斜率为， 直线的倾斜角范围为大于等于小于，故的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为， 故答案为： 11．（23-24高二上·重庆开州·月考）直线过点，且斜率是倾斜角为的直线斜率的二倍，则直线的方程为 【答案】 【解析】倾斜角为的直线的斜率，则直线的斜率， 由点斜式方程可得，整理可得：. 故答案为：. 四、解答题 12．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）因为直线斜率为，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：. （3）因为直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，所以直线过点，， 根据两点可求直线斜率，所以直线的斜截式方程为. 13．（22-23高二上·湖北武汉·期末）的三个顶点分别是，，. (1)求边的垂直平分线所在直线方程； (2)求内边上中线方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，可得线段的中点为，， 因为是边的垂直平分线，所以， 则所在直线方程：即 （2）由（1）可得线段的中点为， 故边上中线方程为即， 所以内边上中线方程： ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线的点斜式方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程； 3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 知识点 1 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为． 设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为， 由斜率公式得，即． 2、直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 【注意】对直线点斜式方程的理解 （1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． 3、两种特殊的直线： 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义， 即不存在 ，即 4、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 知识点 2 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的推导 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 2、直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在． 3、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 考点一：直线的点斜式方程 例1．（23-24高二上·江苏苏州·月考）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·河南周口·月考）过点且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）方程y＝k(x－1)(k∈R)表示(    ) A．过点(－1,0)的一切直线 B．过点(1,0)的一切直线 C．过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线 D．过点(1,0)且除x轴外的一切直线 【变式1-3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 考点二：直线的斜截式方程 例2. （23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线在轴上的截距是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）倾斜角为且在轴上的截距是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·上海奉贤·月考）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 【变式2-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 考点三：直线的图象特征问题 例3. （23-24高二上·全国·课后作业）直线不经过的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（23-24高二上·河北高碑店·月考）直线的图象可能是（    ） A．   B．   C．     D．   【变式3-2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）（多选）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·重庆·月考）一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   考点四：点斜式与斜截式的应用 例4. （23-24高二上·甘肃兰州·期中）直线的方程为. (1)证明：直线恒经过第一象限； (2)若直线一定经过第二象限，求a的取值范围． 【变式4-1】（23-24高二上·广东湛江·月考）当a为何值时，直线：与直线：. (1)平行； (2)垂直. 【变式4-2】（23-24高二上·福建·期中）已知直线的方程为y＝－2x＋3. (1)若直线与平行，且过点，求直线的方程； (2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知在平面直角坐标系中的两点． (1)求线段AB的中垂线的方程； (2)求以向量为方向向量且过点的直线l的方程． 一、单选题 1．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广西梧州·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏连云港·期初考）直线可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线l：，则下列结论正确的是（） A．点在直线l上 B．直线l的一个方向向量为 C．直线l在y轴上的截距为8 D．直线l的倾斜角为 三、填空题 9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 10．（23-24高二上·吉林·月考）已知直线的倾斜角比直线：的倾斜角小，则直线的倾斜角为 . 11．（23-24高二上·重庆开州·月考）直线过点，且斜率是倾斜角为的直线斜率的二倍，则直线的方程为 四、解答题 12．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 13．（22-23高二上·湖北武汉·期末）的三个顶点分别是，，. (1)求边的垂直平分线所在直线方程； (2)求内边上中线方程. 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