期末复习专题15-证明相关的压轴题（期末必考考点分类专题练习）2023-2024学年苏科版数学七年级下册

2023-2024学年苏科版数学七年级下册期末复习 专题15-证明相关的压轴题 （期末必考考点分类专题练习） 【考点1】新定义问题 【例1】 如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）若是“准直角三角形”，，，则 ______ ； （2）如图1，中，， 是的角平分线，判断： ______（填“是”或“不是”）“准直角三角形”； 点是边上一点，是“准直角三角形”，若，则的度数是______ ． （3）如图2，、为直线上两点，点在直线外，且若是上一点，且是“准直角三角形”，请求出的度数． 【变式1】已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC=α． （1）如图1，若 ， ①∠ABO度数是________； ②当∠BAD=∠ABD时，∠OAC的度数是______； 当∠BAD=∠BDA时，∠OAC的度数是______； （2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值． 【变式2】定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“微妙三角形”，从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个是“微妙三角形”，我们就把这条线段叫做这个三角形的“微妙分割线”． 理解概念： (1)如图①，在中，，平分．求证：为“微妙三角形”； 概念应用： (2)若为“微妙三角形”，且．试判断的形状，并说明理由； (3)如图②，在中，若，平分，且是的“微妙分割线”，请直接写出的度数． 【变式3】 对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角． （1）若∠H＝80°，则∠H的4系补周角的度数为 　 　°． （2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE、DE． ①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数． ②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k值（用含n的式子表示）． 【变式4】【概念认识】在四边形中，．如果在四边形内部或边上存在一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”． 初步思考】 （1）如图①，在四边形中，，点P在边上且是四边形的“映角点”．若，，则的度数为 ； 【综合运用】 （2）如图②，在四边形中，，点P在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点E．求证：①②． 【考点2】平行线中的平移旋转问题 【例2】（1）如图1，，点，分别在直线，上，，过点作交于点，平分，平分，与交于点． ①_________； ②若，求； （2）如图2将②中确定的绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，保持不变，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，的边所在的直线与的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时的值． 【变式1】如图1，已知两条直线AB、CD被直线EF所截，分别交于点E、点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β． ①当点G在点F的右侧时，若β＝40°，求α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【变式2】如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，．    （1）求的度数； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当为角平分线时，求的度数； ②当时，求t的值． 【变式3】 如图，直线AB∥CD，MN⊥AB分别交AB，CD于M、N，射线MP、MQ分别从MA、MN同时开始绕点M顺时针旋转，分别与直线CD交于点E、F，射线MP每秒转10°，射线MQ每秒转5°，ER，FR分别平分∠PED、∠QFC，设旋转时间t秒（0＜t＜18）． （1）①用含t的代数式表示：∠AMP＝ °，∠QMB＝ °； ②当t＝4时，∠REF＝ °； （2）当∠MEN＋∠MFN＝120°时，求出t值； （3）试探索∠EFR与∠ERF的数量关系，并说明理由； （4）∠PMN的角平分线与直线ER交于点K，直接写出∠EKM的度数为 ． 【变式4】如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，点在上，边在上，边在直线上． ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2，的度数为______° ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； （2）将直角三角形如图3放置，若点在直线上，绕着点旋转，点始终在和之间（不含，上），和与直线分别交于D，K．设，， ③根据题意，结合图形的变化规律，可知的取值范围为______ ④结合所学知识点，、间的数量关系为______ 【考点3】三角形相关的旋转问题 【例3】如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，点旋转至点． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：是的2倍； （3）是射线上一点，直线交直线于点，若，则　　． 【变式1】如图1，在中，平分平分 （1）若． ①求的度数； ②如图2，过点P作直线，交边于点D、E，则_______°； （2）若，小明将（1）中的直线绕点P旋转，分别交线段于点D，E，如图3，试问在旋转过程中的度数是否会发生改变？若不变，求出的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由． 如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上． 【变式2】 （1）填空：∠1＝ °，∠2＝ °； （2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时， ①请直接写出∠2＝ °（结果用含n的代数式表示）； ②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的倍，求n的值． （3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜180时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线平行？如果存在，请直接写出所有n的值；如果不存在，请说明理由． 【变式3】 （1）阅读理解： 如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式4】【问题初探】 △ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接AD、CE，请证明：AD＝CE． 【类比探究】 （2）当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图（3），在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，BCCD，连接AC，BD，∠ACD＝45°，A到直线CD的距离为7，请求出△BCD的面积． 【考点4】折叠相关的问题 【例4】(1)如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（证明）． (2)如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数； (3)如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论． 【变式1】在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点． （1）如图1，当时，求证：． （2）若，． ①如图2，当时，求的值． ②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】综合与实践：折纸中的数学 知识背景 我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线． 知识初探 (1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝　 　； 类比再探 (2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由； (3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由． 【变式3】 在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）【问题再现】 如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝　 　； （2）【问题推广】 如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数． （3）如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝　 　； （4）【拓展提升】 在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【变式4】已知点分别是的边上的任意一点，将的一角折叠，使点落在点的位置，折痕为． （1）当点落在内的点的位置时． ①如图1，若∥BC，求证：． ②如图2，、与之间的数量为______； （2）当点落在外的点的位置时，若， ①如图3，请探究与数量关系为______； ②如图4，连接，若，，则______． （3）若（），在折叠过程中，当直线时，的度数为______．（自己画图作答） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$