第01讲 与三角形有关的线段（3大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（人教版）

第01讲 与三角形有关的线段（3大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 三角形的分类 题型四 构成三角形的条件 题型五 确定第三边的取值范围 题型六 三角形三边关系的应用 题型七 画三角形的高 题型八 与三角形的高有关的计算问题 题型九 根据三角形中线求长度 题型十 根据三角形中线求面积 题型十一 三角形角平分线的定义 题型十二 利用网格求三角形面积 题型十三 三角形的稳定性及应用 题型十四 四边形的不稳定性 知识点01： 三角形的相关概念 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 知识点02： 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点03：三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 【典型例题一 三角形的识别与有关概念】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·天津津南·期中）下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫做三角形． 4．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在中，的对边是 ．    5．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 6．（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【典型例题二 三角形的个数问题】 1．（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23七年级下·山东青岛·单元测试）如图，其中三角形的个数是（　　）    A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示，图中共有 个三角形．    4．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示的多边形被分割成了 个三角形． 5．（22-23八年级上·内蒙古赤峰·期末）平面内有四个点A，B,C，D，用它们作顶点可以组成几个三角形？画出图形，并写出存在的三角形．（只写含已知字母的） 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．    【典型例题三 三角形的分类】 1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）三角形的三个角的度数分别是，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（22-23八年级上·全国·课后作业） 的三角形叫做直角三角形，记作 ． 4．（22-23六年级下·黑龙江绥化·期末）三角形按照角可以分成锐角三角形，钝角三角形， ． 5．（22-23七年级·全国·假期作业）已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【典型例题四 构成三角形的条件】 1．（2024·湖南长沙·三模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，7 C．2，6，7 D．3，3，6 2．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（23-24七年级上·山东东营·期中）三角形任意两边之和大于 ． 4．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）等腰三角形的两边长分别是2和4，则这个三角形的周长是 ． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）小刚要从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根围成一个三角形，那么他应该选择哪三根木棒？为什么？ 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列各组数分别表示三根木棒的长度，试判断以它们为边能否组成三角形． (1)4，5，6； (2)6，8，15； (3)7，5，12； (4)3，7，13． 【典型例题五 确定第三边的取值范围】 1．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）已知三角形的三边长分别为，，，则符合条件的有 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·青海海东·期末）在中，，，则边的长可能是（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若三角形的两边分别是6和2，第三边长是偶数，则此三角形的第三边为 ． 4．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，，c为偶数，求的周长． 6．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已如三角形的三条边长为3、5和. (1)若3是该三角形的最短边长，求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值. 【典型例题六 三角形三边关系的应用】 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（    ） A．5，10，7 B．3，5，2 C．16，21，9 D．10，16，9 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，、为池塘岸边两点，小丽在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离不可能是（    ） A．25米 B．27米 C．5米 D．4米 3．（23-24八年级上·北京房山·期末）等腰三角形的腰长为，则底边的取值范围是 ． 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）三边长不等的的两条边长分别为2和3，则且第三边长为整数值，则这个三角形的第三边长为 ． 5．（22-23八年级上·四川绵阳·阶段练习）设，，是的三边．化简． 6．（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，点D是的边上任意一点，求证：．    【典型例题七 画三角形的高】 1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，下列关于高的说法正确的是（    ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 3．（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图所示，中，边上的高线是线段 ． 4．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，那么以为高的三角形有 个． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）对于下面每个三角形，过顶点A画出中线和高． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，已知， 求作：（1）边上的高；（2）边上的高． 【典型例题八 与三角形的高有关的计算问题】 1．（23-24八年级上·辽宁营口·阶段练习）如图：是的边上的中线，若，，，边上的高，边上的高（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级上·海南海口·开学考试）下面三个完全一样的梯形中，阴影部分的面积相比，（      ）    A．甲的最大 B．乙的最大 C．丙的最大 D．一样大 3．（22-23八年级上·湖南怀化·期中）小红要剪一个面积为的三角形纸片，它的一边是，那么它这边上的高是 ． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，，，，，则边上的高的长为 ． 5．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，分别是的高，，求的长．    6．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，，，，求      【典型例题九 根据三角形中线求长度】 1．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，CM是的中线，，，则的周长比的周长大（    ）      A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，在中，为边上的中线，已知的周长为，则的周长为 ． 4．（22-23八年级上·江西九江·期中）如图，若是的中线，，则 ． 5．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，的周长是．求的长．    6．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． 【典型例题十 根据三角形中线求面积】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．边的中垂线 2．（23-24七年级上·山东东营·期中）下列线段能将三角形的面积分成相等两部分的是三角形的（    ） A．垂直平分线 B．中线 C．高线 D．角平分线 3．（23-24八年级上·广西崇左·期中）如图，是的中线，若的面积是，则的面积是 ．    4．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图， 的边上有一点，取的中点，连接，，如果的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 5．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 6．（22-23八年级上·安徽宣城·期末）如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为18，的面积为3，求四边形的面积． 【典型例题十一 三角形角平分线的定义】 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ） A．直角三角形的高只有一条 B．三角形的高至少有一条在三角形内部 C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 D．钝角三角形的三条高都在三角形外部 3．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 4．（22-23八年级上·重庆·期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= ． 5．（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，平分平分，且，，，求的周长． 6．（22-23七年级下·甘肃平凉·期末）请画出中边上的高，边上的中线和的角平分线． 【典型例题十二 利用网格求三角形面积】 1．（23-24七年级下·天津河西·期中）三角形三个顶点的坐标分别为，则三角形的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的面积为1，点在格点上，在格点取一点C，使得的面积等于1的点个数有（  ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（23-24八年级上·陕西·阶段练习）已知，，点C在x轴上，且的面积为4，则点C的坐标为 ． 4．（2023·北京·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则 (填“＞”，“＜”或“＝”)．    5．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段的端点、均在小正方形的顶点上，在网格中分别画出以为边，面积为8的和，点、在小正方形的顶点上，且和不全等．    6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知：，， (1)在坐标系中描出各点，画出． (2)求的面积； (3)设点P在坐标轴上，当与的面积相等时，直接写出点P的坐标． 【典型例题十三 三角形的稳定性及应用】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期中）小华家的人字梯在两旁分别有一根“拉杆”，这样设计是利用（    ）    A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性 2．（23-24八年级上·重庆开州·期中）下列图形中具有稳定性的是（    ） A．梯形 B．长方形 C．三角形 D．正方形 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，自行车车架中部做成三角形形状，运用的几何原理是 ．    4．（22-23八年级上·广西北海·期末）木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是 ． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    6．（23-24七年级下·全国·假期作业）我们知道，四边形不稳定，易变形．工人师傅现做了一个正方形窗框（如图），为了防止它在安装前变形，你有什么办法？请画图说明． 【典型例题十四 四边形的不稳定性】 1．（22-23八年级下·河北邢台·开学考试）如图，拉闸门的开关是利用了（　　）    A．三角形的稳定性 B．三角形的不稳定性 C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性 2．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）在中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·湖南郴州·阶段练习）学校大门口的伸缩门，实际上利用了四边形具有 的性质． 4．（2023八年级上·全国·专题练习）我校大门口的电子伸缩门是利用了数学的 原理． 5．（19-20七年级·全国·假期作业）请举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【变式训练1 三角形的识别与有关概念】 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列图形，其中是三角形的是 （    ） A．    B．    C．    D．    2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 3．（22-23八年级上·江西南昌·期中）一个三角形的两条边长分别为3，5，周长为11，那么它的第三边长为 ． 4．（2024七年级·全国·竞赛）某有理数等于它的倒数的4倍，现在某三角形的两条边的长度分别是这个有理数和它的倒数，这个三角形的面积最大是 ． 5．（2022八年级·全国·专题练习）如图，已知，△ABC的周长是14cm，求BC的长． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 【变式训练2 三角形的个数问题】 1．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）如图，图中共有（    ）个三角形．    A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 3．（22-23八年级上·广西百色·期中）如图所示的三角形共有 个． 4．（22-23八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，一共有 个三角形；从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ． 5．（2023八年级·全国·专题练习）如图，已知，△ABC的周长是14cm，求BC的长． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 【变式训练3 三角形的分类】 1．（23-24七年级下·四川德阳·期中）已知三个点，则以这三个点为顶点的三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）直角三角形的定义∶有一个角是 的三角形，是直角三角形． 4．（22-23七年级下·上海·期中）在中，，，，那么是 三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ） 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）在中，，，且的长为偶数，求的周长，并判断其形状． 6．（22-23八年级上·广东湛江·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的格点上． (1)在图①中画出，使为直角三角形（要求点C在小正方形的格点上，画一个即可）． (2)求图①中的面积． 【变式训练4 构成三角形的条件】 1．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东广州·开学考试）下列长度的线段能组成三角形的是（　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是 ． 4．（22-23八年级上·广东江门·期中）如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是 ． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)，，； (2)，，； (3)，，． 6．（22-23八年级上·山东聊城·期中）已知a，b，c为三角形的三边，满足，且，求三角形周长． 【变式训练5 确定第三边的取值范围】 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）若长度分别为，，的三条线段恰好可以围成一个三角形，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ． 4．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）三角形的两边长分别是和，第三边长为整数，则三角形的周长为 ． 5．（22-23八年级上·陕西安康·期末）已知，若第三边的长是偶数，求的周长． 6．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）已知a、b、c是的三边长，，设三角形的周长是． (1)直接写出c与x的取值范围； (2)若x是小于18的偶数，求c的长． 【变式训练6 三角形三边关系的应用】 1．（2024·广东河源·一模）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（    ） A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）下列各组长度的3条线段，不能构成三角形的是（    ） A．3cm  5cm  10cm B．5cm  4cm  8cm 3．（23-24八年级上·新疆和田·期中）长分别为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形 种选法． 4．（23-24八年级上·天津武清·期中）长度分别为2cm，3cm，7cm的木条 （填“能”或“不能”）围成一个三角形． 故答案为：不能． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 6．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长． 【变式训练7 画三角形的高】 1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）下列图中，作边上的高正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）中边的高，表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有 个． 4．（23-24七年级上·山东淄博·期中）在如图所示的的三条高中，其中边上的高是线段 5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 6．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，中， (1)画出边上的中线； (2)画出 边上的高 【变式训练8 与三角形的高有关的计算问题】 1．（22-23七年级下·河北唐山·期末）如图，的面积为，如果，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，于点B，则图中以为高线的三角形有 个 4．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，分别是边上的高，且，则的长为 ．    5．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，于点，于点，且与交于点．若，，，求的长． 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，求和的长． 【变式训练9 根据三角形中线求长度】 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（    ） A．4 B．1 C．2 D．7 2．（23-24八年级上·广西贺州·期中）若是的中线，已知比的周长大，则与的差为    （    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，是的中线，，则 ．    4．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ．    5．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知，是边上的中线，且，若的周长比的周长大5，求的长． 6．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．求的长． 【变式训练10 根据三角形中线求面积】 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）能把任意一个三角形分成面积相等的两个三角形的线段是（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．两边中点的连线 2．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，线段把分为面积相等的两部分，则线段是（）    A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上都不对 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，是的一条中线，若的面积是．则的面积为 ． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，D是边上中点，若，则的值为 ．    5． （22-23七年级上·广东·开学考试）如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是多少？ 6．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）如图所示，，，已知阴影部分的面积为平方厘米，求四边形的面积．    【变式训练11 三角形角平分线的定义】 1．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）一个三角形的三条角平分线的交点在（    ） A．三角形内 B．三角形外 C．三角形的某边上 D．以上三种情形都有可能 3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 4．（22-23八年级·全国·假期作业）一个三角形三条角平分线的交点在三角形内．( ) 5．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，是的角平分线．，交于点E，，交于点F，图中与有什么关系？为什么？ 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，已知． (1)用刻度尺画边上的中线． (2)用量角器画以点C为一个端点的的角平分线． 【变式训练12 利用网格求三角形面积】 1．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形的面积为 ． 4．（22-23七年级上·湖南娄底·期末）下图中每个小方格的边长为1个单位长，则格点四边形（四个顶点A、B、C、D都在格点上）的面积为 ．      5．（23-24八年级下·广西贵港·期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高： (2)画出中边上的中线； (3)求的面积． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在每个正方形的边长都是1的方格纸中，有满足大于，并且顶点A、B、C都在小正方形各格点上（请按照以下要求画出所求线段，要求所画线段的端点都落在格点上）． (1)在边上取一点D，连接，使． (2)画边上的高线． (3)直接写出的面积是__________． 【变式训练13 三角形的稳定性及应用】 1．（2024八年级上·广东潮州·学业考试）下列图形具有稳定性的是（ ） A．菱形 B．三角形 C．正方形 D．圆形 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（　　）根木条 A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）按如图所示的放置可以把手机放在一个支架上面，这样做的数学道理是 ． 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图,木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是 ． 5．（22-23七年级上·全国·单元测试）为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？    6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图是一个四腿木椅的侧视图，椅子已经变形，请你将椅子修复加固，并用虚线在图中标明位置． 【变式训练14 四边形的不稳定性】 1．（22-23八年级上·河北廊坊·期中）四边形没有稳定性，当四边形的形状发生改变时，发生变化的是（    ） A．四边形的外角和 B．四边形的边长 C．四边形的周长 D．四边形的对角线长 2．（22-23八年级上·山东滨州·阶段练习）四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（    ） A．四边形内角的大小 B．四边形的周长 C．四边形的边长 D．四边形的内角和 3．（22-23八年级上·广东云浮·期中）新兴县实验中学教学楼一楼打开或者关闭铁闸门的过程是利用了四边形的 4．（2024八年级下·浙江·专题练习）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ． 5．（2023七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 6．（22-23七年级·全国·假期作业）如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？ 归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______； ②四边形木架的形状______说明四边形没有______． 1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）以下列数据为三边长能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．14，4，9 D．7，2，4 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在中，边上的高线是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北石家庄·一模）如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．m，n的大小无法确定 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、是的高，，，，则（    ） A． B．10 C． D．6 6．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 7．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为奇数，则这个三角形的周长为 ． 8．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 9．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）把12cm长的铁丝截成三段，每段长度均为整数．若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形，则不同的三角形有 种． 10．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 11．（2023九年级·全国·专题练习）有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来． 12．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为和的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？ 13．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 14．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上，请在正方形网格中按要求画图． (1)请在图1中画出边上的高，垂足为点D； (2)请在图2中过点A画一条直线，该直线将分割成面积相等的两部分． (3)直接写出的面积是___________ 15．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，中线将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形三边的长．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 与三角形有关的线段（3大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 三角形的分类 题型四 构成三角形的条件 题型五 确定第三边的取值范围 题型六 三角形三边关系的应用 题型七 画三角形的高 题型八 与三角形的高有关的计算问题 题型九 根据三角形中线求长度 题型十 根据三角形中线求面积 题型十一 三角形角平分线的定义 题型十二 利用网格求三角形面积 题型十三 三角形的稳定性及应用 题型十四 四边形的不稳定性 知识点01： 三角形的相关概念 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 知识点02： 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点03：三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 【典型例题一 三角形的识别与有关概念】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）一位同学用若干根木棒拼成图形如下，则符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的概念，由三条线段首尾顺次连接构成的图形叫做三角形，据此进行判断即可． 【详解】解：三角形是由三条线段首尾顺次连接构成的，则C选项符合三角形概念， 故选：C 2．（22-23八年级上·天津津南·期中）下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，再确定各图形中多边形的形态进行解答即可． 【详解】解：A、三角形下方是四边形，不具有稳定性，故A不符合题意， B、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故B符合题意， C、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故C不符合题意， D、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故D不符合题意， 故选：B． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫做三角形． 【答案】首尾顺次连接 【分析】根据三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形． 故答案为：首尾顺次连接． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，熟知三角形的定义是解题的关键． 4．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在中，的对边是 ．    【答案】/ 【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可． 【详解】解：在中，的对边是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的边、三角形的角的定义． 5．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，点D，E分别在上，除外，图中还有几个三角形？并说出是哪些三角形的边． 【答案】除外，图中还有4个三角形；是和的边． 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．据此即可求解． 【详解】解：除外，还有、、、， ∴除外，图中还有4个三角形 其中，是和的边． 6．（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】有5个三角形，分别是 【分析】此题主要考查了三角形的定义及其表示．根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可． 【详解】解：图中共有5个三角形，分别是． 【典型例题二 三角形的个数问题】 1．（23-24八年级上·吉林·期中）图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个， 故选C． 2．（22-23七年级下·山东青岛·单元测试）如图，其中三角形的个数是（　　）    A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】根据图形数出三角形个数即可． 【详解】解：图中有、、，、共5个，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形个数问题，解题的关键是数形结合，找出所有的三角形． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示，图中共有 个三角形．    【答案】6 【分析】分别找出图中的三角形即可． 【详解】如图所示，    三角形有：，，，，，． ∴图中共有6个三角形． 故答案为：6． 【点睛】考查了三角形的识别，解题关键是要细心、仔细的数出三角形的个数． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示的多边形被分割成了 个三角形． 【答案】5 【分析】观察图形，根据三角形定义数三角形的个数即可解题． 【详解】观察图形，可知途中的多边形被分割成个三角形， 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形的有关概念，能根据图形数出三角形的个数是解题的关键． 5．（22-23八年级上·内蒙古赤峰·期末）平面内有四个点A，B,C，D，用它们作顶点可以组成几个三角形？画出图形，并写出存在的三角形．（只写含已知字母的） 【答案】详见解析，分别是：△ABC，△ACD，△ABD； 【分析】按点共线分类，可分（1）四点共线；（2）三点共线和（3）任意三点不共线三种情形讨论即可． 【详解】答：按点共线分类，可分为三种情形： （1）四点共线．  四个点A、B、C、D在同一条直线上，不能组成三角形； （2）三点共线．  四个点A、B、C、D中有且仅有三个点（例如B、C、D）在同一条直线上，如图1所示，可组成三个三角形,分别是：△ABC，△ACD，△ABD； （3）任意三点不共线．  四个点A、B、C、D中任何三个点都不在同一条直线上，如图2所示，可组成四个三角形，分别是：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD． 【点睛】本题考查了三角形，掌握知识点是解题关键． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．    【答案】图中共有7个三角形；以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF． 【分析】分别找出图中的三角形以及相关的角即可． 【详解】图中共有7个三角形，分别是： △AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE， 以E为顶点的角是：∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF． 【点睛】本题主要考查了三角形，关键是要细心、仔细的数出三角形的个数． 【典型例题三 三角形的分类】 1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角， ∴这个三角形是钝角三角形； 故选C 2．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）三角形的三个角的度数分别是，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的特征，根据有一个角度为的三角形为直角三角形判断可得，熟悉直角三角形的意义是解题的关键． 【详解】解：三角形的三个角的度数分别是， 因为有最大的角为直角，另外两个角互余， 所以这个三角形为直角三角形， 故选：B． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业） 的三角形叫做直角三角形，记作 ． 【答案】 有一个角是 【分析】根据直角三角形的定义：有一个角是的三角形叫做直角三角形，记作，进行作答即可． 【详解】解：有一个角是的三角形叫做直角三角形，记作； 故答案为：有一个角是， 【点睛】本题考查直角三角形的定义．熟练掌握有一个角是的三角形叫做直角三角形，是解题的关键． 4．（22-23六年级下·黑龙江绥化·期末）三角形按照角可以分成锐角三角形，钝角三角形， ． 【答案】直角三角形 【分析】三角形按照角可以分成锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，据此作答． 【详解】根据三角形按角分类可知：三角形可以分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形的分类，锐角三角形：三个角均小于90°；直角三角形：有一个角为直角；钝角三角形：有一个角大于90°． 5．（22-23七年级·全国·假期作业）已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】的形状是等边三角形． 【分析】利用平方数的非负性，求解a，b，c的关系，进而判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴a=b=c， ∴ 是等边三角形． 【点睛】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【答案】锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有： 【分析】根据三角形的分类进行求解即可． 【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键． 【典型例题四 构成三角形的条件】 1．（2024·湖南长沙·三模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，3，7 C．2，6，7 D．3，3，6 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的和与较长线段的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，能组成三角形； D、，不能组成三角形； 故选C． 2．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得答案． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意； B、，满足三边关系定理，故正确，符合题意； C、，不满足三边关系定理，故错误，不符合题意； D、，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意． 故选：B． 3．（23-24七年级上·山东东营·期中）三角形任意两边之和大于 ． 【答案】第三边 【分析】本题考查了三角形三边的关系，掌握“三角形任意两边之和大于第三边”是解题的关键． 【详解】解：由题意得，三角形任意两边之和大于第三边， 故答案为：第三边． 4．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）等腰三角形的两边长分别是2和4，则这个三角形的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，恰当分类并判定能否构成三角形是解题的关键． 分两种情况：腰长为2或腰长为4，先判定能否构成三角形，再求周长． 【详解】解：分两种情况： ①腰长为2，底边长为4时，∵，∴不能构成三角形； ②腰长为4，底边长为2时，∵，∴能构成三角形，这个三角形的周长是． 故答案为：10． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）小刚要从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根围成一个三角形，那么他应该选择哪三根木棒？为什么？ 【答案】小刚应选择长度分别为，，的三根木棒，理由见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．解题的关键是利用三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边判定即可． 【详解】解：小刚应选择长度分别为，，的三根木棒． 理由：从长度分别为，，，的四根木棒中选出三根有种情况： ①选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ②选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ③选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒围不成三角形； ④选择长度分别为，，的三根木棒， ∵， ∴长度分别为，，的三根木棒可以围成三角形， 综上所述，小刚应该选择长度分别为，，的三根木棒． 6．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列各组数分别表示三根木棒的长度，试判断以它们为边能否组成三角形． (1)4，5，6； (2)6，8，15； (3)7，5，12； (4)3，7，13． 【答案】(1)能 (2)不能 (3)不能 (4)不能 【分析】判断三根木棒能否组成三角形，可以用简便的方法判断：将两根比较短的木棒的长度之和与最长的木棒的长度比较．如果满足两根比较短的木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，就可以判定这三根木棒能构成三角形，其他情形时（两根比较短的木棒的长度之和小于或等于最长的木棒的长度）就不能构成三角形． 【解】（1）∵，∴长度分别为4，5，6的三根木棒能构成三角形． （2）∵，∴长度分别为6，8，15的三根木棒不能构成三角形． （3）∵，∴长度分别为7，5，12的三根木棒不能构成三角形． （4）∵，∴长度分别为3，7，13的三根木棒不能构成三角形． 【典型例题五 确定第三边的取值范围】 1．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）已知三角形的三边长分别为，，，则符合条件的有 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可． 【详解】∵， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·青海海东·期末）在中，，，则边的长可能是（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为7和3， ，即， 故选：D． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若三角形的两边分别是6和2，第三边长是偶数，则此三角形的第三边为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长． 【详解】解：设第三边为x，根据三角形的三边关系可得： ． 即： ， 由于第三边的长为偶数， 则x为6． ∴第三边为6． 故答案为6 4．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如果不等边三角形的三边长分别是、、，那么整数的取值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形三边关系． 三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此即可求解． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：， 即， 又∵该三角形是不等边三角形， ∴且，即且 ∴符合条件的整数x的取值为：5或7． 故答案为：或． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，，c为偶数，求的周长． 【答案】12 【分析】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．根据三角形任意两边之和大于第三边得出，任意两边之差小于第三边得出，列不等式组并求得c的取值范围；结合限制性条件“c为偶数”求得c的值；最后由三角形周长公式解答． 【详解】解：由三角形三边关系，得， 解得． ∵c为偶数， ． ， 解得， ∴的周长为． 6．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已如三角形的三条边长为3、5和. (1)若3是该三角形的最短边长，求的取值范围； (2)若为整数，求三角形周长的最大值. 【答案】(1)； (2)15． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系． （1）由三角形三边关系解答； （2）利用（1）中求得的x的取值范围，确定整数x的值；然后由三角形的周长公式解答． 【详解】（1）由题意得：，即． ∵3是最短边长， ∴． ∴x的取值范围是； （2）由（1）可知，， ∵x为整数， ∴x的最大值为7． ∴三角形周长的最大值为． 【典型例题六 三角形三边关系的应用】 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（    ） A．5，10，7 B．3，5，2 C．16，21，9 D．10，16，9 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：、，5，10，7能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，3，5，2不能构成三角形，故本选项符合题意； C、，16，21，9能构成三角形，故本选项不符合题意； D、，10，16，9能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，、为池塘岸边两点，小丽在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离不可能是（    ） A．25米 B．27米 C．5米 D．4米 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵米，米，且， ∴， ∴、间的距离不可能是4米； 故选D． 3．（23-24八年级上·北京房山·期末）等腰三角形的腰长为，则底边的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系列出不等式是解决问题的关键． 【详解】解：底边的取值范围是， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）三边长不等的的两条边长分别为2和3，则且第三边长为整数值，则这个三角形的第三边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查三角形三边关系．根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：设第三边长为， 由题可得， 则， 又∵c为不等于和的整数， ∴为， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·四川绵阳·阶段练习）设，，是的三边．化简． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可确定绝对值符号内的式子的符号，从而去掉绝对值符号，然后进行化简即可． 【详解】解： ，，是的三边， ，即，，即，， 则| ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，以及绝对值的性质，正确运用定理：三角形两边之和大于第三边是关键． 6．（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，点D是的边上任意一点，求证：．    【答案】见解析 【分析】分别在两个三角形中利用两边之和大于第三边的得到不等式，然后相加可得结论． 【详解】证明：在中，， 在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系得到不等关系． 【典型例题七 画三角形的高】 1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．根据三角形高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：线段是的高的图是选项D． 故选：D． 2．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，下列关于高的说法正确的是（    ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的高的定义对各选项进行分析即可． 【详解】A．于点，中，线段是边上的高，故本选项不符合题意； B．于点，中，线段是边上的高，故本选项不符合题意； C．于点，中，线段是边上的高，故本选项不符合题意； D． 于点，中，线段是边上的高，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（22-23七年级上·山东烟台·期中）如图所示，中，边上的高线是线段 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形中高线的概念即可作答． 【详解】由题意可得：中，边上的高是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形高线的概念，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段． 4．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，那么以为高的三角形有 个． 【答案】6 【分析】根据三角形高的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的高， 故答案为：6 【点睛】本题主要考查三角形高的定义，熟知三角形高的定义是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）对于下面每个三角形，过顶点A画出中线和高． 【答案】见解析 【分析】根据尺规作图即可过每个三角形的顶点A画出中线和高． 【详解】解：如图， 线段AD、线段AE是每个三角形的高和中线． AD、AE即为所求． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，已知， 求作：（1）边上的高；（2）边上的高． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）过点B向作垂线即可； （2）过点A向BC的延长线作垂线即可． 【详解】解：（1）如图，垂线BD即为边上的高； （2）如图，垂线AE即为边上的高． 【点睛】此题考查作三角形的高线，过三角形的一个顶点向对边作垂线，从顶点到垂足之间的线段即为该边的高线，掌握三角形高线的定义是解题的关键． 【典型例题八 与三角形的高有关的计算问题】 1．（23-24八年级上·辽宁营口·阶段练习）如图：是的边上的中线，若，，，边上的高，边上的高（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，列出等式，解答即可． 【详解】解：设边上的高为， ∵， ∴， 解得：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形的高和三角形面积的求法，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半． 2．（23-24七年级上·海南海口·开学考试）下面三个完全一样的梯形中，阴影部分的面积相比，（      ）    A．甲的最大 B．乙的最大 C．丙的最大 D．一样大 【答案】D 【分析】由题意可知，梯形面积相等，且等底等高的三角形面积相等，据此即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，甲乙丙中阴影部分的面积都是梯形的面积减去等底等高的三角形的面积，所以甲乙丙中阴影部分的面积相等， 故选：D． 【点睛】本题考查梯形、三角形的面积，解题关键是掌握等底等高的三角形面积相等． 3．（22-23八年级上·湖南怀化·期中）小红要剪一个面积为的三角形纸片，它的一边是，那么它这边上的高是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式，即可求出这边上的高． 【详解】解：设它这边上的高是， ∴由三角形的面积公式可得，解得：， ∴它这边上的高为， 故答案为：． 【点睛】本题灵活考查了三角形的面积公式用法，掌握三角形的面积的知识是解题的关键． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，，，，，则边上的高的长为 ． 【答案】 【分析】利用三角形的等面积法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高，熟练掌握等面积法求三角形的高是解题的关键． 5．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，分别是的高，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式的应用，掌握“三角形的面积底高”是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，，，，求      【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，根据等面积法即可求解，熟练掌握等面积法求三角形的高是解题的关键． 【详解】解：在中，，是边上的高，，，， ，即：， 解得：． 【典型例题九 根据三角形中线求长度】 1．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，CM是的中线，，，则的周长比的周长大（    ）      A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查三角形中线，，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键． 【详解】∵为的边上的中线， ∴， ∴的周长与的周长大：， 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为， 故选：A． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，在中，为边上的中线，已知的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线的定义，根据题意得，分别表示出、的周长即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴ ∵的周长, ∴ ∴的周长 故答案为： 4．（22-23八年级上·江西九江·期中）如图，若是的中线，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，根据三角形的中线的概念计算即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴ 故答案为：5． 5．（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，的周长是．求的长．    【答案】 【分析】先利用三角形的周长求出的长，然后利用中线的定义计算即可． 【详解】解：∵的周长是为， ∴， 又∵是边上的中线， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中线的定义以及周长的计算，熟练掌握三角形的中线的定义是解题的关键． 6．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为30，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，理解三角形中线的定义是解题的关键． 先根据三角形中线的定义求出的长度，再利用的周长为30求的长即可． 【详解】解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． ∵的周长为30， ∴． 【典型例题十 根据三角形中线求面积】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）能把一个任意三角形分成面积相等的两部分的是三角形的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．边的中垂线 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握中线的性质．根据等底同高的三角形的面积相等解答． 【详解】解：三角形的中线把三角形分成等底等高的两个三角形，面积相等， 所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线． 故选：B． 2．（23-24七年级上·山东东营·期中）下列线段能将三角形的面积分成相等两部分的是三角形的（    ） A．垂直平分线 B．中线 C．高线 D．角平分线 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形， ∴三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分， 而线段垂直平分线，高线和角平分线不一定能平分三角形面积， 故选：B． 3．（23-24八年级上·广西崇左·期中）如图，是的中线，若的面积是，则的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线平分三角形面积，找到等底同高的三角形是解题关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵以为底与以为底的高相同， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图， 的边上有一点，取的中点，连接，，如果的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的面积及三角形中线性质，根据三角形中线平分三角形面积可得，，即可推出，进而求解即可，解题关键是掌握三角形中线的性质． 【详解】解：点是的中点， 是的中线，是的中线， ，， ， 故答案为：2． 5．（23-24八年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线．根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：作于点H， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴同理可得． 6．（22-23八年级上·安徽宣城·期末）如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为18，的面积为3，求四边形的面积． 【答案】 【分析】根据“三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形”得到，然后结合图形来求四边形的面积． 【详解】解：∵的两条中线、相交于点O，已知的面积为14， ∴． 又∵的面积为3， ∴． 【点睛】本题考查了与三角形中线有关的面积问题．解答该题时，需要利用“数形结合”的数学思想． 【典型例题十一 三角形角平分线的定义】 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 2．（23-24七年级下·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ） A．直角三角形的高只有一条 B．三角形的高至少有一条在三角形内部 C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部 D．钝角三角形的三条高都在三角形外部 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线，角平分线的概念．根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：A.直角三角形的高有3条，不是只有1条，此项错误； B.三角形的高至少有一条在三角形内部，此项正确； C.三角形的角平分线，中线在三角形内部，但三角形的高可能在三角形的外部，此项错误； D.钝角三角形有2条高在三角形的外部，有1条在三角形内部，此项错误． 故选：B． 3．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期末）三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”） 【答案】线段 【分析】三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线．据此得出． 【详解】解：三角形的角平分线是线段． 故选B． 【点睛】掌握三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段． 4．（22-23八年级上·重庆·期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质，可知∠ACD，进而根据三角形外角定理，即可求得∠A. 【详解】∵CE是角∠ACD的平分线，∠ACE=60° ∴∠ACD=120° 又∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠A=∠ACD-∠B=85° 故答案为85°. 【点睛】本题主要考查角平分线的性质和三角形外角定理，熟知上述知识点是解答本题的关键. 5．（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，平分平分，且，，，求的周长． 【答案】5 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由角平分线的定义，得，结合平行线的性质，得，进行角难度等量代换，得，再结合等角对等边，即可作答． 【详解】解：如图： ∵平分平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 则的周长 6．（22-23七年级下·甘肃平凉·期末）请画出中边上的高，边上的中线和的角平分线． 【答案】见解析 【分析】利用三角尺的直角画高，利用三角尺确定，再连接即可，再利用量角器画，且在上，从而可得答案． 【详解】解：如图，即为所画的高，即为所画的中线，即为所画的角平分线；    【点睛】本题考查的是画三角形的高，三角形的中线，三角形的角平分线，理解概念并进行作图是解本题的关键． 【典型例题十二 利用网格求三角形面积】 1．（23-24七年级下·天津河西·期中）三角形三个顶点的坐标分别为，则三角形的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，三角形的面积．根据点的坐标，用割补法求解即可． 【详解】解：如图， ． 故选：B． 2．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的面积为1，点在格点上，在格点取一点C，使得的面积等于1的点个数有（  ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】如图，以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 这样的点共有6个． 故选：C． 3．（23-24八年级上·陕西·阶段练习）已知，，点C在x轴上，且的面积为4，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】画图分析可知，点C的坐标可能在直线的右侧，也可能在直线的左侧，据此即可求解． 【详解】如图，设点C的坐标为，    ∵ ∴ 在图1中， 即 解得， 故C的坐标为 在图2中， 即 解得 故C的坐标为 故答案为：或 【点睛】本题考查了坐标系中已知三角形的面积求点的坐标，解题的关键是画图分析解题． 4．（2023·北京·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则 (填“＞”，“＜”或“＝”)．    【答案】＜ 【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：由题意， ， ， ∴； 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 5．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段的端点、均在小正方形的顶点上，在网格中分别画出以为边，面积为8的和，点、在小正方形的顶点上，且和不全等．    【答案】见解析 【分析】根据网格的特点和三角形面积公式作出图形即可． 【详解】   【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，三角形的面积，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知：，， (1)在坐标系中描出各点，画出． (2)求的面积； (3)设点P在坐标轴上，当与的面积相等时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析； (2)4； (3)或或或． 【分析】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）根据A，B，C的坐标描出各点，再连接即可； （2）过点向、轴作垂线，垂足为、，再利用割补法求解面积即可； （3）分两种情况讨论：当点在轴上时，的面积，当点在轴上时，的面积，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：为所求， （2）过点向、轴作垂线，垂足为、． 四边形的面积，的面积， 的面积，的面积 的面积四边形的面积的面积的面积的面积 ． （3）当点在轴上时，的面积， 即：，解得：， 所以点的坐标为或； 当点在轴上时，的面积， 即，解得：． 所以点的坐标为或． 所以点的坐标为或或或． 【典型例题十三 三角形的稳定性及应用】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期中）小华家的人字梯在两旁分别有一根“拉杆”，这样设计是利用（    ）    A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是三角形的稳定性，解题关键是熟练掌握三角形的稳定性原理．根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：在人字梯的中间设计的拉杆， 可从不稳定的四边形中构成一个稳定的三角形， 从而达到稳定人字梯的作用． 故选：C． 2．（23-24八年级上·重庆开州·期中）下列图形中具有稳定性的是（    ） A．梯形 B．长方形 C．三角形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据三角形的稳定性求解即可． 【详解】解：梯形、长方形、正方形不具有稳定性，三角形具有稳定性， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的性质，熟记三角形的稳定性是解题的关键． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，自行车车架中部做成三角形形状，运用的几何原理是 ．    【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【详解】解：运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性 4．（22-23八年级上·广西北海·期末）木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．利用三角形的性质解答即可． 【详解】解：木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    【答案】作图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用这一特性即可解决问题．解题的关键是将七边形分成五个三角形． 【详解】解：如图所示（答案不唯一）．    6．（23-24七年级下·全国·假期作业）我们知道，四边形不稳定，易变形．工人师傅现做了一个正方形窗框（如图），为了防止它在安装前变形，你有什么办法？请画图说明． 【答案】见解析 【详解】如图，用木板连接任一对角线，利用“三角形的稳定性”加固防止窗框变形． 【典型例题十四 四边形的不稳定性】 1．（22-23八年级下·河北邢台·开学考试）如图，拉闸门的开关是利用了（　　）    A．三角形的稳定性 B．三角形的不稳定性 C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性 【答案】C 【分析】根据四边形的不稳定性即可求解． 【详解】解：拉闸门的开关利用了四边形的不稳定性， 故选：C． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握四边形的不稳定性是解题的关键． 2．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）在中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：如图， 在中，边的对角是， 故选：A． 3．（22-23八年级下·湖南郴州·阶段练习）学校大门口的伸缩门，实际上利用了四边形具有 的性质． 【答案】不稳定性 【分析】根据四边形的不稳定性进行分析，即可得到答案． 【详解】解：学校大门口的伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性． 故答案为：不稳定性． 【点睛】本题主要考查了四边形不稳定性的是实际应用，正确理解三角形稳定形和四边形不稳定性是解题关键． 4．（2023八年级上·全国·专题练习）我校大门口的电子伸缩门是利用了数学的 原理． 【答案】四边形的不稳定性． 【分析】根据四边形的不稳定性进行分析，即可得到答案． 【详解】解：我校大门口的电子伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性． 故答案为：四边形的不稳定性． 【点睛】本题主要考查了四边形不稳定性的是实际应用，正确理解三角形稳定形和四边形不稳定性是解题关键． 5．（19-20七年级·全国·假期作业）请举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子． 【答案】电动推拉门就是利用四边形不稳定性． 【分析】根据四边形的性质具有不稳定性的特征来解题即可． 【详解】电动推拉门就是利用四边形不稳定性． 【点睛】本题考查了四边形的性质之一：不稳定性，四边形的这个特征和三角形正好形成鲜明的对照，三角形具有稳定性，在日常生活中都有大量的应用． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【变式训练1 三角形的识别与有关概念】 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）观察下列图形，其中是三角形的是 （    ） A．    B．    C．    D．    【答案】B 【分析】根据三角形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知， 是三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握：平面上不共线的三点及其每两点连结的线段所组成的封闭图形是三角形． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三角形是（    ） A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形 B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形 D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形 【答案】B 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的定义，熟知由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形是解题的关键． 3．（22-23八年级上·江西南昌·期中）一个三角形的两条边长分别为3，5，周长为11，那么它的第三边长为 ． 【答案】3 【分析】根据三角形周长的定义求解即可． 【详解】解：∵一个三角形的周长为11，两条边长分别为3，5， ∴第三边长为：， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查三角形的周长计算，理解题意是解题关键． 4．（2024七年级·全国·竞赛）某有理数等于它的倒数的4倍，现在某三角形的两条边的长度分别是这个有理数和它的倒数，这个三角形的面积最大是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的应用，先求出这两个数，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】设这个数是，（因为这个数可以作为三角形的边所以必为正数），三角形的两条边长度分别为2和，这两条边互相垂直时面积最大，此时面积是． 故答案为：． 5．（2022八年级·全国·专题练习）如图，已知，△ABC的周长是14cm，求BC的长． 【答案】4 【分析】根据比值和周长解答即可． 【详解】解：∵， 设AB为5x，BD为2x，AC为5y，CD为2y， ∵△ABC的周长是14cm， ∴5x+2x+5y+2y＝14， 解得：x+y＝2， 所以BC＝2（x+y）＝4． 【点睛】此题考查三角形的问题，关键是根据三角形的周长解答． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 【答案】(1)的长是 (2)，， 【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于的方程并解答即可求得答案； （2）设，则，根据三角形的周长公式列出方程并解答． 【详解】（1）由题意，得， 解得． 即的长是． （2）设，则，， 由题意，得， 解得． 故，，． 所以，，． 【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形的周长公式． 【变式训练2 三角形的个数问题】 1．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）如图，图中共有（    ）个三角形．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意找出三角形的个数，即可求解． 【详解】解：如图所示，    图中有共5个三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键． 2．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有，，，， ∴以为顶点的的三角形的个数是4个． 故选：B． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 3．（22-23八年级上·广西百色·期中）如图所示的三角形共有 个． 【答案】3 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出个数解答即可． 【详解】解：三角形的个数有，，，共3个， 故答案为：3． 【点睛】此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答． 4．（22-23八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，一共有 个三角形；从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ． 【答案】 6 4 【分析】根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 【详解】解：所有三角形为：共个． 其中青蛙不能落在中，其它均可，即个． 故答案为： 【点睛】本题考查三角形，在找三角形时，要做到不重不漏． 5．（2023八年级·全国·专题练习）如图，已知，△ABC的周长是14cm，求BC的长． 【答案】4 【分析】根据比值和周长解答即可． 【详解】解：∵， 设AB为5x，BD为2x，AC为5y，CD为2y， ∵△ABC的周长是14cm， ∴5x+2x+5y+2y＝14， 解得：x+y＝2， 所以BC＝2（x+y）＝4． 【点睛】此题考查三角形的问题，关键是根据三角形的周长解答． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为， (1)若，求的长； (2)若，求三条边的长． 【答案】(1)的长是 (2)，， 【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于的方程并解答即可求得答案； （2）设，则，根据三角形的周长公式列出方程并解答． 【详解】（1）由题意，得， 解得． 即的长是． （2）设，则，， 由题意，得， 解得． 故，，． 所以，，． 【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形的周长公式． 【变式训练3 三角形的分类】 1．（23-24七年级下·四川德阳·期中）已知三个点，则以这三个点为顶点的三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点的坐标特点确定位置为平行于x轴，y轴即可确定三角形的形状． 【详解】解：，两点的连线平行于轴，，两点的连线平行于y轴， ∵x轴y轴， ∴三角形是直角三角形， 故选D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直接选出答案． 【详解】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形． 故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）直角三角形的定义∶有一个角是 的三角形，是直角三角形． 【答案】90°或直角 【解析】略 4．（22-23七年级下·上海·期中）在中，，，，那么是 三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ） 【答案】钝角 【分析】根据三角形按角的分类可得结论． 【详解】解：在中，，，， ， 是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题考查三角形的分类，熟知三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形是解题关键． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）在中，，，且的长为偶数，求的周长，并判断其形状． 【答案】周长为，是等腰三角形， 【分析】根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，进而判断三角形的形状． 【详解】解：， ， 长是偶数， ， ， 是等腰三角形， 周长为： 【点睛】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，掌握以上知识是解题的关键． 6．（22-23八年级上·广东湛江·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的格点上． (1)在图①中画出，使为直角三角形（要求点C在小正方形的格点上，画一个即可）． (2)求图①中的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据直角三角形的定义画出三角形即可．（答案不唯一） （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图①，△ABC即为所求． （2）解：图①中，△ABC的面积为：ACBC=×4×3=6． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【变式训练4 构成三角形的条件】 1．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）下列各组三条线段的长度，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否构成三角形，只要判断两个较短线段的和>最长线段的长即可．根据三角形的三边关系必须满足：任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边即可得出结论． 【详解】解：A.，能组成三角形，符合题意； B.，不能组成三角形，不符合题意； C.，不能组成三角形，不符合题意； D.，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东广州·开学考试）下列长度的线段能组成三角形的是（　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐个判断即可． 【详解】因为，所以这三条线段不能组成三角形，则A不符合题意； 因为，所以这三条线段不能组成三角形，则B不符合题意； 因为，所以这三条线段能组成三角形，则C符合题意； 因为，所以这三条线段不能组成三角形，则D不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）若一个两边相等的三角形的两边分别是和，则其周长是 ． 【答案】 【分析】底边可能是，也可能是，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长． 【详解】解：①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 4．（22-23八年级上·广东江门·期中）如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是 ． 【答案】16或18或20或22 【分析】已知三角形的两边，则第三边的范围是大于两边之差的绝对值，小于两边之和． 【详解】依据题意得，已知三角形的两边之和为12，两边之差为2，则第三边的范围为大于2、小于12的偶数，故第三边的长度可取：4、6、8、10． 那么这个三角形的周长是：或或或． ∴答案为：16或18或20或22． 【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系及奇偶数的性质，解题的关键是确定第三边的取值范围． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)，，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)不能，理由见解析 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．解题的关键是利用三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边判定即可． 【详解】（1）解：不能． ∵， ∴长度分别为，，的三条线段不能组成三角形； （2）不能． ∵， ∴长度分别为，，的三条线段不能组成三角形； （3）能． ∵， ∴长度分别为，，的三条线段能组成三角形． 6．（22-23八年级上·山东聊城·期中）已知a，b，c为三角形的三边，满足，且，求三角形周长． 【答案】30 【分析】设，可得，，，再由，可得，从而得到，，，即可求解． 【详解】解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 即三角形的周长为30． 【点睛】本题主要考查了求三角形的周长，根据题意得到a，b，c的长值是解题的关键． 【变式训练5 确定第三边的取值范围】 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）若三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系；根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：，， ， 的值可以是． 故选：． 2．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）若长度分别为，，的三条线段恰好可以围成一个三角形，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，根据题意，由三角形三边关系得到，逐项验证即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：长度分别为，，的三条线段恰好可以围成一个三角形， 由三角形三边关系可得，即， 四个选项中，只有1不满足的条件， 故选：A． 3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】 根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系列出不等式是解决问题的关键 【分析】解：根据三角形的三边关系，得， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）三角形的两边长分别是和，第三边长为整数，则三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】考查三角形的三边关系，利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长． 【详解】解：设第三边为，根据三角形的三边关系可得： ． 即： ， 由于第三边的长为整数， 则x可以为3． ∴三角形的周长是 ． 故答案为：． 5．（22-23八年级上·陕西安康·期末）已知，若第三边的长是偶数，求的周长． 【答案】或 【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边的长为偶数求出符合条件的BC值，即可求出周长． 【详解】解：在中，， 第三边的取值范围是： 符合条件的偶数是或， 当时，的周长为：； 当时，的周长为：． 的周长为或． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 6．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）已知a、b、c是的三边长，，设三角形的周长是． (1)直接写出c与x的取值范围； (2)若x是小于18的偶数，求c的长． 【答案】(1)， (2)6或4 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）根据偶数的定义，以及的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以，即． 故周长的范围为，即． （2）因为周长为小于18的偶数， 所以或． 当为16时，； 当为14时，． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，得出的取值范围是解题关键． 【变式训练6 三角形三边关系的应用】 1．（2024·广东河源·一模）在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（    ） A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．首先设第三条线段长为，再利用三角形的三边关系可得的范围，然后可得答案． 【详解】解：设第三条线段长为，由题意得： ， 解得：， 只有适合， 故选：C． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）下列各组长度的3条线段，不能构成三角形的是（    ） A．3cm  5cm  10cm B．5cm  4cm  8cm C．4cm  6cm  9cm D．2cm  3cm  4cm 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系的应用．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，长度是3cm，5cm，10cm的小木棒不能构成三角形，故本选项符合题意； B、，长度是5cm，4cm，8cm的小木棒能构成三角形，故本选项不符合题意； C、，长度是4cm，6cm，9cm的小木棒能构成三角形，故本选项不符合题意； D、，长度是2cm，3cm，4cm的小木棒能构成三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（23-24八年级上·新疆和田·期中）长分别为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形 种选法． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，判断三条线段是否能构成三角形的三边的判定方法是解题关键，根据三角形的三边关系判断即可得解。 【详解】解：从11，8，6，4的四根木条中选三根有4种选法，它们分别是①11，8，6；②11，8，4；③ 11，6，4；④8，6，4． 其中①②④符合三角形的三边关系，②不符合三角形的三边关系． 故有3种选法， 故答案为：3． 4．（23-24八年级上·天津武清·期中）长度分别为2cm，3cm，7cm的木条 （填“能”或“不能”）围成一个三角形． 【答案】不能 【分析】由三角形的三边关系为切入点进行求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：∵， ∴长度分别为2cm，3cm，7cm的木条不能围成一个三角形， 故答案为：不能． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了三角形的三边关系， （1）直接根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可； （2）先求出周长的范围，再根据其为偶数进行求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， 即； （2）∵，设的周长为x， ∴，即， ∵的周长为偶数， ∴其周长为16． 6．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，求该三角形的周长． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边的长为x， 根据三角形的三边关系，，即， ∵第三条边长为整数， ∴第三边是4， ∴该三角形的周长． 【变式训练7 画三角形的高】 1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）下列图中，作边上的高正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查画三角形的高线，根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段，据此，符合题意的是选项B； 故选B． 2．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）中边的高，表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形高线的画法，掌握三角形画高的方法是解题的关键． 从点向边作垂线即可求解． 【详解】解：A、是边上高，不符合题意； B、点到的垂线，不符合题意； C、点到的垂线，不是符合题意； D、点到的高，符合题意； 故选： D． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有 个． 【答案】6 【分析】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活． 由于于，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数． 【详解】解：于， 而图中有一边在直线上，且以为顶点的三角形有6个， 以为高的三角形有6个． 故答案为：6． 4．（23-24七年级上·山东淄博·期中）在如图所示的的三条高中，其中边上的高是线段 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形高线定义“从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形该边的高线”即可判断． 【详解】解：∵为钝角是三角形，， ∴为边上的高． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可 【详解】如图为中线， 为角平分线，为高 6．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，中， (1)画出边上的中线； (2)画出 边上的高 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图——三角形的中线和高，根据相关定义正确作图即可． （1）根据三角形中线的定义作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图，中线即为所求作； （2）解：如图，高即为所求作． 【变式训练8 与三角形的高有关的计算问题】 1．（22-23七年级下·河北唐山·期末）如图，的面积为，如果，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】的边上的高和的边上的高的长度相同，据此可求得答案． 【详解】解：根据题意可知的边上的高和的边上的高的长度相同，设为． ∵，，， ∴，， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的高，牢记三角形的高的定义是解题的关键． 2．（22-23七年级下·广东惠州·期中）如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据面积相等即可求出点C到的距离． 【详解】解：∵在直角三角形中，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查点到直线的距离，求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，于点B，则图中以为高线的三角形有 个 【答案】3 【分析】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握三角形高的定义．利用三角形的高的定义可得答案． 【详解】解：图中以为高线的三角形有，，，共3个， 故答案为：3． 4．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，分别是边上的高，且，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，运用不同的底和高计算一个三角形的面积，关键要注意选取三角形底边时，要准确找到底边所对应的高． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． ∴， 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，于点，于点，且与交于点．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积的计算，利用，即可求出．熟练掌握用面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，求和的长． 【答案】，． 【分析】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，利用得出的长，由是边上的中线即可得出和的长． 【详解】解：是中边上的高，且， ， ， ， 是中边上的中线， ，． 【变式训练9 根据三角形中线求长度】 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（    ） A．4 B．1 C．2 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差 ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·广西贺州·期中）若是的中线，已知比的周长大，则与的差为    （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线定理，根据中线定理得出，再根据周长定义即可求得结果． 【详解】解：如下图： ∵是的中线， ∴ ∵比的周长大 ∴． 故选∶B． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，是的中线，，则 ．    【答案】 【分析】根据中线的定义，得到为的中点，即可得解． 【详解】解：∵是的中线，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中线．熟练掌握三角形的中线是顶点与对边中点形成的线段，是解题的关键． 4．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ．    【答案】18 【分析】此题考查了三角形的周长和中线，根据线段的和可得出，根据中线的定义得出，从而得出，最后再根据线段的和即可得出答案． 【详解】的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故本题答案为：． 5．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知，是边上的中线，且，若的周长比的周长大5，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．根据中线的性质得到，根据三角形的周长公式计算得到答案． 【详解】解：如图， ∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大5， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形高的定义，先根据三角形面积计算公式求出，再由三角形中线的定义即可得到． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴． 【变式训练10 根据三角形中线求面积】 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）能把任意一个三角形分成面积相等的两个三角形的线段是（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．两边中点的连线 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线．根据三角形的中线平分面积即可得出结论． 【详解】解：能把任意一个三角形分成面积相等的两个三角形的线段是中线； 故选B． 2．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，线段把分为面积相等的两部分，则线段是（）    A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上都不对 【答案】B 【分析】作三角形的高，根据三角形面积公式，分别表示出和，即可得出，即线段是三角形的中线． 【详解】解：作， ∴，， ∵，即， ∴， 即线段是三角形的中线． 故选：B．    【点睛】本题主要考查了三角形的面积和三角形的中线，三角形的中线可分三角形为面积相等的两部分． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，是的一条中线，若的面积是．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形的中线等分三角形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵是的一条中线，的面积是． ∴， 故答案为： 4．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，D是边上中点，若，则的值为 ．    【答案】4 【分析】 本题考查了三角形的中线的性质．根据三角形中线的性质“三角形的中线等分三角形的面积”即可求解． 【详解】解：∵D是边上中点，， ∴， 故答案为：4． 5．（22-23七年级上·广东·开学考试）如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的性质．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． ，根据三角形的中线平分面积，得到，，进而得到，又因为，即可求出的面积． 【详解】解：点E是线段的中点， ，， ， F是线段的中点， ． 6．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）如图所示，，，已知阴影部分的面积为平方厘米，求四边形的面积．    【答案】平方厘米 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积公式，根据题意可得，，进而即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵，， ∴，， ∵阴影部分的面积为平方厘米， ∴平方厘米 ∴四边形的面积为平方厘米． 【变式训练11 三角形角平分线的定义】 1．（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均为为两份． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）一个三角形的三条角平分线的交点在（    ） A．三角形内 B．三角形外 C．三角形的某边上 D．以上三种情形都有可能 【答案】A 【分析】根据三角形的三条角平分线的概念求解即可． 【详解】解：可画出三角形的三条角平分线，都在三角形的内部， 则三角形的三条角平分线的交点在三角形内， 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的三条角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握三角形的三条角平分线的概念． 3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 4．（22-23八年级·全国·假期作业）一个三角形三条角平分线的交点在三角形内．( ) 【答案】对 【分析】根据三角形角平分线的画法可判断出的正误. 【详解】解：三角形三条角平分线的交点在三角形的内部，说法正确， 故答案为√. 【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握性质是解题关键. 5．（21-22八年级上·全国·课后作业）如图，是的角平分线．，交于点E，，交于点F，图中与有什么关系？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】由角平分线的定义可得．由平行线的性质可得，，最后等量代换即得出． 【详解】． 理由：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质．掌握角平分线分得的两个角相等和两直线平行，内错角相等，是解题关键． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，已知． (1)用刻度尺画边上的中线． (2)用量角器画以点C为一个端点的的角平分线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）用刻度尺，确定线段的中点D，连接，即为所求； （2）用量角器量取度数，再以为端点，为一边，量出度数一半的角，作图即可． 【详解】（1）如图：即为所求； （2）如图，即为所求； 【点睛】本题考查三角形的中线和角平分线．熟练掌握三角形的中线是三角形的一个顶点到对边中点所连线段，角平分线平分一个内角是解题的关键． 【变式训练12 利用网格求三角形面积】 1．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形的面积求出点C到的距离，再判断出点C的位置即可． 【详解】解：∵的面积为4， ∴边上的高为， ∴点C的位置如图所示，共有3个． 故选：C．    【点睛】本题考查了三角形面积，点到直线的距离，根据三角形面积判断出点C到的距离为2是解题的关键． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在长方形网格中画图得出结果． 【详解】解：C点所有的情况如图所示，共有4个 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点A到的距离， ∴三角形的面积为． 故答案为10． 4．（22-23七年级上·湖南娄底·期末）下图中每个小方格的边长为1个单位长，则格点四边形（四个顶点A、B、C、D都在格点上）的面积为 ．      【答案】21 【分析】利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：21． 【点睛】本题主要考查了在方格中求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握格点的特点，注意运用割补法． 5．（23-24八年级下·广西贵港·期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高： (2)画出中边上的中线； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）延长，过A作与D，即可得到答案． （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案． （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求： （2）如下图，即为所求 （3）， ∴． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在每个正方形的边长都是1的方格纸中，有满足大于，并且顶点A、B、C都在小正方形各格点上（请按照以下要求画出所求线段，要求所画线段的端点都落在格点上）． (1)在边上取一点D，连接，使． (2)画边上的高线． (3)直接写出的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查的是画三角形的高，三角形的中线、三角形的面积的计算，熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键． （1）利用网格线作的中点D，并连接即可； （2）利用网格线的特点，取格点E，满足，则即为所求作的线段； （3）利用三角形的面积公式直接计算即可． 【详解】（1）解：D即为所求作的点； （2）即为所求作的线段； （3）解：． 【变式训练13 三角形的稳定性及应用】 1．（2024八年级上·广东潮州·学业考试）下列图形具有稳定性的是（ ） A．菱形 B．三角形 C．正方形 D．圆形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 三角形具有稳定性，菱形，正方形，圆形不具有稳定性， 故选：B． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（　　）根木条 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，钉上木条后把六边形分成三角形即可． 【详解】解：如图，他至少还要再钉上根木条． 故选：B． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）按如图所示的放置可以把手机放在一个支架上面，这样做的数学道理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握三角形的稳定性． 三角形手机支架利用了三角形的稳定性，形状稳定，不晃动，方便观看手机． 【详解】∵三角形具有稳定性， ∴三角形手机支架形状不变形，手机放上稳定不晃动，可以非常方便地观看显示内容． 故答案为：三角形具有稳定性． 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图,木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性进行解答． 【详解】解：木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 5．（22-23七年级上·全国·单元测试）为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？    【答案】见解析 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形， 因为三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解概念是解题的关键． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图是一个四腿木椅的侧视图，椅子已经变形，请你将椅子修复加固，并用虚线在图中标明位置． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的稳定性进行解答． 【详解】由于四边形具有不稳定性，所以四腿木椅久坐容易变形，可以利用三角形的稳定性在两腿之间的四边形对角线处加固两根木条使其牢固，如图所示： ． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【变式训练14 四边形的不稳定性】 1．（22-23八年级上·河北廊坊·期中）四边形没有稳定性，当四边形的形状发生改变时，发生变化的是（    ） A．四边形的外角和 B．四边形的边长 C．四边形的周长 D．四边形的对角线长 【答案】D 【分析】根据四边形具有不稳定性，形状改变时，变的是内角的度数，边长不发生变化，即可进行解答． 【详解】解：当四边形的形状发生改变时，四边形的外角和、四边形的边长、四边形的周长不会发生变化，四边形的对角线长会变化； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握四边形的不稳定性． 2．（22-23八年级上·山东滨州·阶段练习）四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（    ） A．四边形内角的大小 B．四边形的周长 C．四边形的边长 D．四边形的内角和 【答案】A 【分析】四边形具有不稳定性，形状改变时，变的是内角的度数，边长和内角和不发生变化． 【详解】解：当四边形形状改变时，发生变化的是四边形的内角的度数， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了多边形，关键四掌握四边形的不稳定性． 3．（22-23八年级上·广东云浮·期中）新兴县实验中学教学楼一楼打开或者关闭铁闸门的过程是利用了四边形的 【答案】不稳定性 【分析】利用四边形的不稳定性进行解答． 【详解】解：铁闸门做成四边形的形状，是利用四边形的不稳定性，易变形的特性． 故答案为：不稳定性． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，四边形的不稳定性运用比较广泛，铁闸门的制作运用了四边形的不稳定性． 4．（2024八年级下·浙江·专题练习）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的不稳定性求解可得． 【详解】解：因为平行四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：平行四边形具有不稳定性． 5．（2023七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案】见解析 【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可． 【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 6．（22-23七年级·全国·假期作业）如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？ 归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______； ②四边形木架的形状______说明四边形没有______． 【答案】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性； 图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定； 图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性； 归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ． 【分析】①根据三角形的稳定性进行解答即可； ②根据四边形的不稳定性进行解答即可． 【详解】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性； 图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定； 图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性； 归纳： ①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ． 故答案为： 是三角形， 稳定性； ②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ． 故答案为： 四边形， 稳定性 ． 【点睛】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单． 1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）以下列数据为三边长能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．14，4，9 D．7，2，4 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，判定形成三角形的标准是两小边之和大于最大边，熟练掌握运用三角形三边关系是解题关键．利用三角形三边关系进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； B、，成立，符合题意； C、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； D、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在中，边上的高线是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高线．熟练掌握三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是解题的关键．直接根据三角形的高的定义即可得到答案． 【详解】解：由图可知：在中，边上的高线是线段． 故选：B． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线与面积的关系，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形求解即可．根据中线与面积的关系可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ ∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ 故选B． 4．（2024·河北石家庄·一模）如图，小红将三角形纸片沿虚线剪去一个角，若剩下四边形纸片的周长为m，原三角形纸片的周长为n，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．m，n的大小无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形三边关系的应用是解题的关键． 如图，由题意知，，，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：如图，    由题意知，，， ∵， ∴， 故选：A． 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、是的高，，，，则（    ） A． B．10 C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【详解】解：， ， 故选：C． 6．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 【答案】 20 锐角 【分析】本题主要考查了三角形的分类．设顶角度数为，则，即可解得，故三个内角度数为20，80，80，即可得它是锐角三角形． 【详解】解：设顶角度数为，则， 解得， 故三个内角度数为20，80，80， 它是锐角三角形． 故答案为：20，锐角． 7．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为奇数，则这个三角形的周长为 ． 【答案】13或15 【分析】根据三角形三边的关系确定出第三边的取值范围，再根据第三边为奇数结合三角形周长公式进行求解即可． 本题主要考查了三角形三边的关系的应用，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：∵一个三角形的两边长为2和6，设第三边长为x， ∴，即 ∵第三边为奇数， ∴第三边长为5或7 当第三边长为5时，该三角形的周长是； 当第三边长为7时，该三角形的周长是； 综上所述，这个三角形的周长为13或15． 故答案为：13或15． 8．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】/24厘米 【分析】本题主要考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据为的中线，得出，借助的周长为，求出，进行计算即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）把12cm长的铁丝截成三段，每段长度均为整数．若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形，则不同的三角形有 种． 【答案】3 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；由题意可知该三角形的周长为12cm，并且都是整数，然后可进行求解 【详解】解：因为周长为12的且三边为整数的只能是3，4，5或4，4，4或5，5，2． 故答案为：3． 10．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线作答即可． 【详解】解：∵， ∴线段是中边上的高， 故答案为：． 11．（2023九年级·全国·专题练习）有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来． 【答案】可以组成3个三角形，见解析 【分析】根据三角形的三边关系，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴可以组成3个三角形， 分别为：（1）8 cm，10 cm，12 cm；（2）4 cm，10 cm，12 cm；（3）4 cm，8 cm，10 cm． 【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟练掌握利用两短边之和大于第三边即可组成三角形，是解题的关键． 12．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为和的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？ 【答案】小颖有9种选法．第三根木棒的长度可以是，，，，，，，，． 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；再结合整数这一条件进行分析． 【详解】解：设第三根的长是． 根据三角形的三边关系，则． 因为是整数，因而第三根的长度是大于且小于的所有整数，共有9个数． 答：小颖有9种选法．第三根木棒的长度可以是，，，，，，，，． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，再利用三角形的三边关系定理解决实际问题． 13．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【答案】(1)以为边的三角形有个，，，， (2)以点为顶点的三角形还有、 【分析】本题考查的是认识三角形， （1）以为边的三角形有个； （2）以为顶点的三角形有个，除外，还有个． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个，，，，． （2）解：除外，以点为顶点的三角形还有、． 14．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上，请在正方形网格中按要求画图． (1)请在图1中画出边上的高，垂足为点D； (2)请在图2中过点A画一条直线，该直线将分割成面积相等的两部分． (3)直接写出的面积是___________ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，三角形的面积，三角形的中线和高，解决本题的关键是准确利用网格作图． （1）根据网格图画出边上的高即可； （2）根据网格找到的中点E，作直线即可； （3）根据三角形面积计算公式计算即可． 【详解】（1）如图，即为所作， （2）如图，直线即为所作， （3）的面积是． 故答案为：10 15．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，中线将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形三边的长．    【答案】这个三角形的三边的长分别为：10、10、7或8、8、11 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，，，根据中线的性质可得，分类讨论：当，即时，当即时，根据题意列式计算，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：为中线， ， ， ， 设，， 当，即时，则，即， 时，； 当即时，则，即． 时，． ，，；或，，． ，，则能构成三角形； ，，则能构成三角形； 所以这个三角形的三边的长分别为：10、10、7或8、8、11． 学科网（北京）股份有限公司 $$