专题1.2 空间位置关系的向量证明（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.2 空间位置关系的向量证明 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【详解】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B 2．（2024高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由，得到直线与平面的法向量垂直，得出，进而求得的值. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选：. 3．（2024高二下·江苏扬州·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则，即可得到方程组，解得、的值，即可得解. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为且， 所以，则，即， 所以，解得，所以. 故选：B 4．（2024高一下·江苏南通·阶段练习）在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出两平面的法向量，根据垂直关系得到方程，求出，得到答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D 5．（2024高二下·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的数量积表示计算得解. 【详解】以正方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 设正方体棱长为1， 则， 所以， 若，则， 即，方程有无数组解， 故选：D 6．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系，求出相关点的坐标，用表示出，证明平面，求得平面的法向量，由条件得到，将的表达式整理成二次函数，利用其最小值即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 7．（2024·北京怀柔·模拟预测）如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ）    A．存在点E，使平面 B．三棱锥的体积随动点E变化而变化 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点E，使平面 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用空间向量求出线线角的余弦判断C；利用等体积法确定的体积情况判断B. 【详解】在正方体中，以点D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，则， 由在线段上运动，设（），则， 平面的法向量，显然，则直线与平面不平行，A错误； ，设直线与所成角为，则， 显然当时，，，即存在点E使得直线与所成的角为，C错误； 设平面的法向量为，， 则，令，得， 当时，，因此平面，D正确； 点在正方体的对角面矩形的边上，则， 而平面平面，则，又， 可得平面，点到平面的距离为，则三棱锥的体积为定值，B错误. 故选：D 【点睛】思路点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，可选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 8．（2024·北京顺义·二模）如图，正方体中，P是线段上的动点，有下列四个说法： ①存在点P，使得平面； ②对于任意点P，四棱锥体积为定值； ③存在点P，使得平面； ④对于任意点P，都是锐角三角形. 其中，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量的位置关系判断说法①；由棱锥的底面积和高为定值得体积为定值判断说法②；利用向量数量积验证垂直关系判断说法③；利用向量的模和向量夹角的计算，验证说法④. 【详解】以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体棱长为1， 则，， 设， ，，， 平面的一个法向量为，， 令，则，即， 若，得， 则时，，又平面，所以平面， 即点P为中点时， 平面，说法①正确； 正方体中，平面平面，平面， 则点到平面的距离为定值，又正方形面积为定值， 所以对于任意点P，四棱锥体积为定值，说法②正确； ，，, 若平面，则有，方程组无解， 所以不存在点P，使得平面，说法③错误； ，，， ，， 则中，，都是锐角， ，也是锐角， 所以对于任意点P，都是锐角三角形，说法④正确. 只有说法③不正确. 故选：C. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量（不重合），则正确选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据方向向量和法向量的关系可判断线面关系和面面关系，即可得到答案. 【详解】由得，故不正确； 由得或，故不正确； 由，平面，不重合，得，故正确； 由，故正确. 故选：. 10．（2024·重庆·三模）如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C． D．RS与所成角为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长即可得各点的坐标，利用向量法判断线线位置关系判断AB，求解线线角判断CD. 【详解】以D为坐标原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系： 设正方体的棱长为2， 则， 因为分别为棱、的中点， 所以， 对于A，因为，所以， 所以，所以四点共面，正确； 对于B，因为，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，错误； 对于C，因为，所以， 所以，即，正确； 对于D，因为， 所以，， 所以， 设RS与所成角为，，则，所以， 即与所成角为，错误. 故选：AC 11．（2024高三下·山东菏泽·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，是线段（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．对于任意的点，四棱锥的体积为定值； B．对于任意的点，平面被正方体所截得的截面形状为五边形； C．存在点，使得平面； D．存在点，使得平面； 【答案】AC 【分析】对A：借助体积公式计算即可得；对B：连接，借助平行线的性质即可得；对C、D：建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得. 【详解】对A：因为正方形的面积为4，点到平面的距离为， 所以，即四棱锥的体积为定值，故选项A正确； 对B：把截面补形为四边形，易得， 故平面被正方体所截得的截面多边形为四边形，故选项B错误； 对C：以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，设， 设平面的一个法向量为，因为，， 所以，即，令，则，，所以， 若平面，，则，解得， 所以存在点G，使平面．故选项C正确； 对D：设平面的一个法向量为，因为，， 所以，即，令，则，，所以， 若平面，，则， 则，，分别解得，， 显然和不平行，所以不存在点G，使平面．故选项D错误． 故选：AC． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二上·全国·专题练习）如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ . 【答案】1 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用向量的数量积为0表示垂直可求得结论． 【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1， ，则，，. 设，则 因为， ，， 即是AD的中点，故， 故选：B. 13．（2024·北京西城·一模）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、， 设，，其中，， 对①：，则， 当，，时，有， 故存在点，使，故①正确； 对②：，， 若，则有， 由，，故当时，，， 此时有，即，即， 此时与重合，与重合，故不存在点，使，故②错误； 对③：点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即有，即，由， 故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故③正确； 对④：，， 由，故有，则， 又， 故，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值. 14．（2024·北京海淀·二模）如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足.给出下列四个结论： ①； ②线段的长随线段的长增大而增大； ③存在点，使得； ④存在点，使得平面. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】根据给定条件，以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，进而求出点的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案. 【详解】在正方体中，令，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， 令平面的法向量，则，取，得， 由平面于，得，即， ，显然，解得， 于是， 对于①，，①正确； 对于②，在上单调递增，②正确； 对于③，而，， 若， 显然，即不存在，使得，③错误； 对于④，平面的一个法向量，而， 由，得，即，整理得， 令，显然函数在上的图象连续不断， 而，因此存在，使得，此时平面， 因此存在点，使得平面，④正确. 所以所有正确结论的序号是①②④. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间位置关系的方法解决. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 16．（2024·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为， 【分析】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的坐标运算确定线线垂直，结合线面垂直判定定理证明即可； （2）由（1）坐标关系与线面垂直，设，可得，建立坐标等式关系，利用基本不等式求得最值即可. 【详解】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设， 当E，F为中点时，，有， 所以，，，有，， 所以，又平面， 所以平面． （2）由（1）可得，，， 若平面，则，，所以， 设，则， 由平面ACE，所以， 当时，，有，当时，等号成立， 所以，即， 综上，的最大值为，． 17．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，直四棱柱的底面为菱形，且，分別是上，下底面的中心，是的中点，． (1)求证：平面； (2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心．若存在，求，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析． 【分析】（1）分别取的中点，连接，说明面即为截面，证明后可证得线面平行； （2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，由重心公式求得坐标，由向量的数量积为0求得值． 【详解】（1）分别取的中点，连接， 则在直四棱柱中，，且是中点，所以平面，即为截面， 又是中点，则与平行且相等，从而是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，即平面； （2）不存在，理由如下： 是菱形且，所以都是等边三角形，， 易知，由已知得平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，， 因此有，，，， 则的重心为，， 若平面，则，无解． 因此不存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心． 18．（2024·河北邢台·二模）直三棱柱中，，，， (1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值； (2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？    【答案】(1) (2)存在点在靠近点的三等分点处 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，进而可得出答案； （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设，则， ， 故 ， 所以， 当时，取得最小值， 所以线段长的最小值为； （2）假设存在，设， ， 故， ， 设平面的法向量为， 则有，可取， 因为面，所以， 则，解得， 所以存在点在靠近点的三等分点处，使得面.    19．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，为菱形，，，平面平面，点F在上，且，分别在直线上． (1)求证：平面； (2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线的公垂线，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理可求得，可得，两边平方可求得，由勾股定理的逆定理可证，利用面面垂直的性质可证平面； （2）建立空间直角坐标系，设，，则，利用公垂线可得，求解即可. 【详解】（1）， 所以，所以， 所以，， ，则，又因为平面平面， 平面平面平面，故平面； （2）在平面中过作直线， 以C为原点，的方向为x轴正方向，的方向为轴正向，直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 由，可得，， 所以， 所以， 设，则， 设，则，， 由题知，解得，， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 空间位置关系的向量证明 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 2．（2024高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024高二下·江苏扬州·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·江苏南通·阶段练习）在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2024高二下·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 6．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京怀柔·模拟预测）如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ）    A．存在点E，使平面 B．三棱锥的体积随动点E变化而变化 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点E，使平面 8．（2024·北京顺义·二模）如图，正方体中，P是线段上的动点，有下列四个说法： ①存在点P，使得平面； ②对于任意点P，四棱锥体积为定值； ③存在点P，使得平面； ④对于任意点P，都是锐角三角形. 其中，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量（不重合），则正确选项是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·重庆·三模）如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C． D．RS与所成角为 11．（2024高三下·山东菏泽·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，是线段（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．对于任意的点，四棱锥的体积为定值； B．对于任意的点，平面被正方体所截得的截面形状为五边形； C．存在点，使得平面； D．存在点，使得平面； 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二上·全国·专题练习）如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝ . 13．（2024·北京西城·一模）如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 14．（2024·北京海淀·二模）如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足.给出下列四个结论： ①； ②线段的长随线段的长增大而增大； ③存在点，使得； ④存在点，使得平面. 其中所有正确结论的序号是 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024·山西·三模）如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 16．（2024·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 17．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，直四棱柱的底面为菱形，且，分別是上，下底面的中心，是的中点，． (1)求证：平面； (2)是否存在实数，使得在平面内的射影恰好为的重心．若存在，求，若不存在，请说明理由． 18．（2024·河北邢台·二模）直三棱柱中，，，， (1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值； (2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？    19．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，为菱形，，，平面平面，点F在上，且，分别在直线上． (1)求证：平面； (2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线的公垂线，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$