专题1.3 集合的基本运算（6类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题1.3 集合的基本运算 【考点1：并集运算】 1 【考点2：交集运算】 2 【考点3：全集与补集运算】 2 【考点4：含参数的集合运算】 3 【考点5：集合的实际应用】 6 【考点6：集合的新定义】 7 【考点1：并集运算】 【知识点：并集】 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称作集合A与集合B的并集，记作A∪B． 1．（2024高三上·甘肃定西·阶段练习）设集合，则 ． 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京东城·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【考点2：交集运算】 【知识点：交集】 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称作集合A与集合B的交集，记作A∩B． 1．（23-24高三下·湖南岳阳·期中）已知集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024届青海省海南藏族自治州高考二模数学（理科）试卷）设集合，且，则集合可以为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一下·贵州遵义·阶段练习）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【考点3：全集与补集运算】 【知识点：全集】 一般地，如果一个集合含有所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 【知识点：补集】 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合成为集合A相对于全集U的补集，记作． 1．（2024·湖南·模拟预测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三下·陕西西安·阶段练习）已知全集，集合，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 3．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·三模）已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·四川成都·三模）设全集，集合M、N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【考点4：含参数的集合运算】 1．（2024高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 4．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 5．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 6．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·北京·期中）设全集，集合，. (1)若，求集合并写出的所有子集； (2)若，，求. 【考点5：集合的实际应用】 1．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有（    ）人 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024高一上·安徽·阶段练习）某校高一（3）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．27 B．23 C．15 D．7 3．（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 4．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）某年级先后进行了数学、物理竞赛，其中有65人参加了数学竞赛，有51人参加了物理竞赛，有12人同时参加了数学、物理竞赛，则参加了竞赛的总人数为 人. 5．（23-24高一上·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 6．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    7．（23-24高一上·重庆南岸·期中）重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是 ． 8．（2024高一上·四川成都·阶段练习）中国健儿在杭州亚运会上取得傲人佳绩，获奖多多，为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，石室成飞中学积极开展社团活动，每人都至少报名参加一个社团，高一（1）班参加社团的学生有人，参加社团的学生有人，参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，三个社团同时参加的学生有人，那么高一（1）班总共有学生人数为 ． 【考点6：集合的新定义】 【解决集合新定义问题的着手点】 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 1．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 2．（2024·贵州黔东南·二模）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东威海·二模）在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 5．（多选）（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 6．（23-24高三下·重庆·期中）已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 集合的基本运算 【考点1：并集运算】 1 【考点2：交集运算】 3 【考点3：全集与补集运算】 4 【考点4：含参数的集合运算】 7 【考点5：集合的实际应用】 11 【考点6：集合的新定义】 15 【考点1：并集运算】 【知识点：并集】 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称作集合A与集合B的并集，记作A∪B． 1．（2024高三上·甘肃定西·阶段练习）设集合，则 ． 【答案】 【分析】根据并集的定义直接求解即可 【详解】因为， 所以． 故答案为： 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案. 【详解】由得或，解得：或， 若，则，不符合题意； 若，，从而， 所以中所有元素之和为4， 故选：C． 4．（2024高一上·青海海东·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 5．（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由并集的定义可得出答案. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 6．（2024·北京东城·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得，易求. 【详解】， 所以. 故选：A. 【考点2：交集运算】 【知识点：交集】 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称作集合A与集合B的交集，记作A∩B． 1．（23-24高三下·湖南岳阳·期中）已知集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合集合的交集运算求解. 【详解】因为， 则 故选：D 2．（2024·内蒙古·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求解集合，再求交集. 【详解】依题意得，且,则. 故选：B 3．（2024届青海省海南藏族自治州高考二模数学（理科）试卷）设集合，且，则集合可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，依次判断求解. 【详解】对于A，，此时，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意； 对于D，，不合题意. 故选：B 4．（2024·全国·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 5．（2024高一下·贵州遵义·阶段练习）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集的定义计算可得. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：D. 【考点3：全集与补集运算】 【知识点：全集】 一般地，如果一个集合含有所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 【知识点：补集】 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合成为集合A相对于全集U的补集，记作． 1．（2024·湖南·模拟预测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，再求与交集即可. 【详解】∵， ∴，由， 所以. 故选：B 2．（2024高三下·陕西西安·阶段练习）已知全集，集合，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知求出，利用集合交集运算可得结果. 【详解】因为，，所以， 所以． 故选：C． 3．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 4．（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】由题得：，，， 或，或， 所以，故A错误； 或，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 5．（2024·安徽·三模）已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成， 而，，则， 得， 故所求集合为. 故选：C. 6．（2024·四川成都·三模）设全集，集合M、N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到，，，根据交集，并集和补集得到ABC错误，D正确. 【详解】，，故， 又，故，， A选项，由题意得交集，并集和，故A错误； B选项，由于，故，B错误； C选项，由于，故，C错误； D选项，由于，故，且， 又，故. 故选：D 【考点4：含参数的集合运算】 1．（2024高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由，得到，分与讨论即可. 【详解】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：， 故选：A 2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 3．（23-24高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 【答案】 【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案. 【详解】由已知的：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 5．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 6．（2024高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 7．（23-24高一上·北京·期中）设全集，集合，. (1)若，求集合并写出的所有子集； (2)若，，求. 【答案】(1)，集合的所有子集为：、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）分析可知，，，求出、的值，可求出集合、，再结合题意进行检验，利用并集的定义可求出集合. 【详解】（1）解：若，， 所以，集合的所有子集为：、、、. （2）解：因为，所以，，因为，所以，， 所以，，解得， 则， ， 所以，，，满足题意， 因此，. 【考点5：集合的实际应用】 1．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有（    ）人 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据集合的知识求得正确答案. 【详解】依题意，这两种都没买的有人. 故选：A 2．（2024高一上·安徽·阶段练习）某校高一（3）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．27 B．23 C．15 D．7 【答案】A 【分析】由题意，求出参加田赛或径赛的同学人数，即可求解． 【详解】设高一（3）班50名学生组成的集合为U ，参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛项目的学生组成的集合为 由题意集合A有15个元素，B有20个元素，中有12个元素， 所以有个元素， 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 故选：A 3．（23-24高一上·四川雅安·期中）某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程即可. 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 故选：B. 4．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）某年级先后进行了数学、物理竞赛，其中有65人参加了数学竞赛，有51人参加了物理竞赛，有12人同时参加了数学、物理竞赛，则参加了竞赛的总人数为 人. 【答案】 【分析】根据题意，结合集合的思想，即可求解. 【详解】根据题意，参加竞赛总人数为人. 故答案为： 5．（23-24高一上·山西朔州·期中）深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 【答案】10 【分析】先分别求出只参加数学活动和只参加物理活动的人数，然后画出韦恩图，利用韦恩图的性质求解即可. 【详解】由题意得只参加数学活动的学生数为人， 只参加物理活动的学生数为，如图所示的韦恩图， 则由图可知既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为 人， 故答案为：10 6．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    【答案】 9 8 10 【分析】根据题意结合图形列方程组求解即可. 【详解】由题意得 ，则，解得， 故答案为：9，8，10 7．（23-24高一上·重庆南岸·期中）重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是 ． 【答案】 【分析】根据集合的知识求得正确答案. 【详解】设只喜欢“大阅读”的有人，两者都喜欢的有人，只喜欢“科技嘉年华”的有人， 则，解得. 故答案为： 8．（2024高一上·四川成都·阶段练习）中国健儿在杭州亚运会上取得傲人佳绩，获奖多多，为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，石室成飞中学积极开展社团活动，每人都至少报名参加一个社团，高一（1）班参加社团的学生有人，参加社团的学生有人，参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，三个社团同时参加的学生有人，那么高一（1）班总共有学生人数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用容斥原理结合集合的运算概念和运算方法，即可求解 【详解】由题意，用分别表示参加杜团、参加杜团和参加杜团的学生形成的集合， 则, , 因此 . 所以高一（1）班总共有学生人数为人. 故答案为：. 【考点6：集合的新定义】 【解决集合新定义问题的着手点】 (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．　　 1．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意求得集合，从而求得其子集的个数. 【详解】因为，， 所以， 所以，有两个元素， 则的子集个数是个． 故选：B． 2．（2024·贵州黔东南·二模）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：分局题意分析即可. 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 3．（2024·山东威海·二模）在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，确定，从而求出的值. 【详解】由题： 所以， 故选：A. 4．（多选）（2024·河南·三模）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 【答案】BC 【分析】由集合的普通运算结合集合新定义逐一判断每个选项即可求解. 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 5．（多选）（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（    ） A． B． C．Ü D． 【答案】ABC 【分析】对于ABC，举例分析判断，对于D，利用直积的定义分析判断即可. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：ABC 6．（23-24高三下·重庆·期中）已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以一定各包含4个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是12，11，9， 特征数的和最小，如：，特征数为13； ，特征数为11；，特征数为9； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为13； ，特征数为15；，特征数为17； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的差为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，利用子集知识求解即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$