专题2.4 指数与指数函数【六大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题2.4 指数与指数函数【六大题型】 【新高考专用】 【题型1 指数幂的运算】 2 【题型2 指数方程与指数不等式】 3 【题型3 指数函数的图象与性质】 4 【题型4 利用指数函数的单调性比较大小】 6 【题型5 利用指数函数的单调性解不等式】 7 【题型6 指数函数的综合问题】 9 1、指数与指数函数 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质 (2)熟练掌握指数函数的图象与性质 2022年全国甲卷（文数）：第12题，5分 2023年新课标I卷：第4题，5分 2024年天津卷：第2题，5分、第5题，5分 指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型. 【知识点1 指数运算的解题策略】 1．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【知识点2 指数函数的常见问题及解题思路】 1．比较指数式的大小 比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3．指数型函数的解题策略 涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【题型1 指数幂的运算】 【例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【解题思路】根据指数幂的运算性质进行求解即可. 【解答过程】， 故选：A. 【变式1-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】 给平方后再开方求解即可. 【解答过程】，所以. 故选：A. 【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得. 【解答过程】. 故选：C. 【题型2 指数方程与指数不等式】 【例2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于的方程的解为 ． 【解题思路】由可得出，结合可求得的值. 【解答过程】由可得，即， 因为，可得，故. 所以，方程关于的方程的解为. 故答案为：. 【变式2-1】（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集为 ． 【解题思路】利用指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性将原不等式化为求解即可. 【解答过程】原不等式可化为 因为函数单调递减， ∴，解得． ∴不等式的解集是． 故答案为：. 【变式2-2】（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集是 ． 【解题思路】利用指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性将原不等式化为求解即可. 【解答过程】由，得， 因为函数单调递增， ∴，即，解得． ∴不等式的解集是． 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知和是方程的两根，则 . 【解题思路】由题知，，进而得，再结合求解即可. 【解答过程】解：方程可化为，由韦达定理得，， 所以，得. 又， 所以. 故答案为：. 【题型3 指数函数的图象与性质】 【例3】（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【解题思路】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【解答过程】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确； ，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：C. 【变式3-1】（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案. 【解答过程】令，则， 由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间为函数的单调递减区间， 又函数， 即函数为偶函数， 结合图象，如图所示， 可知函数的单调递减区间为和， 即的单调递减区间为和． 故选：C． 【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【解题思路】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得. 【解答过程】由对称中心性质可知函数满足， 即， 整理可得，即， 解得. 故选：C. 【变式3-3】（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围. 【解答过程】设，，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4. 故选：A. 【题型4 利用指数函数的单调性比较大小】 【例4】（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据中间数比较与，根据中间数比较与. 【解答过程】因为，， 所以，因为，， 所以，所以. 故选：D. 【变式4-1】（2024·四川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案. 【解答过程】因为指数函数是单调减函数，所以， 又由幂函数在上单调增函数，所以， 又因为指数函数是单调增函数，所以， 综上可得：， 故选：D. 【变式4-2】（2023·上海闵行·一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据不等式性质可判断A，B；举反例可判断C；根据指数函数的单调性判断D. 【解答过程】对于A，B，a，，，则,一定成立； 对于C，取，满足，则， 当时，，故C中不等式不一定成立； 对于D，由，由于在R上单调递增，则成立， 故选：C. 【变式4-3】（2024·全国·二模）设实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【解题思路】先假设，再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解. 【解答过程】假设，则，， 由得， 因函数在上单调递减，又，则，所以； 由得， 因函数在上单调递减，又，则，所以； 即有与假设矛盾，所以， 故选：C. 【题型5 利用指数函数的单调性解不等式】 【例5】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，即可判断为奇函数，又，可得图象的对称中心为，则，再判断的单调性，不等式，即，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【解答过程】设，，则，所以为奇函数． 又， 则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的， 所以图象的对称中心为，所以． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 因为， 所以，所以，解得， 故满足的的取值范围为． 故选：B. 【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在区间恒成立，只需要即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解. 【解答过程】由解析式易知：单调递增， 当时，恒成立，则，得． 故选：B． 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据奇偶性定义判断出为偶函数，再根据上的单调性得到参数的取值范围. 【解答过程】由题意可知的定义域为，且，所以为偶函数． 当时，函数，单调递减． 若成立，则，解得或． 又，所以正实数的取值范围是． 故选：A． 【变式5-3】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解法一：判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 解法二：特值排除法. 【解答过程】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数， 因此函数是R上的增函数，由，得，解得， 所以原不等式的解集是. 故选：A. 解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C， 对A：当时，，因为函数是R上的增函数，所以，故A成立. 故选A． 【题型6 指数函数的综合问题】 【例6】（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 【变式6-1】（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数． (1)当时，不等式总成立，求a的取值范围； (2)试求函数（）在的最大值． 【解题思路】（1）根据函数单调性得到，恒成立，结合函数开口方向，得到不等式组，求出答案； （2）换元后得到，，分，，和分类讨论，得到函数最大值，求出. 【解答过程】（1）函数在定义域R上单调递增， 不等式， 依题意，，恒成立， 由于开口向上，故只需，无解， 所以的取值集合是． （2）函数，， 令，，， 当时，函数在上单调递增，； 当时，，， 当，即时，开口向上，函数在上单调递增， 所以； 当即时，开口向下，； 当即时，开口向下，函数在上单调递增， ． 综上. 【变式6-2】（2024高二下·浙江·学业考试）设函数. (1)判断函数在区间和上的单调性（不需要证明过程）； (2)若函数在其定义域内为奇函数，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，当时，不等式在恒成立，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据复合函数单调性即可判断出结论； （2）利用奇函数定义可求得，经验证满足题意； （3）将不等式转化成在恒成立，再利用基本不等式即可得出. 【解答过程】（1）由指数函数单调性可知单调递增， 对分类讨论如下： ①当时，为常函数； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递减 ③当时，在区间上单调递增，在区间上单调递增 （2）易知函数的定义域为， 是奇函数，， 即， 所以， 经验证时，满足， 所以与的关系式为. （3）由已知得， 整理可得：在恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. 【变式6-3】（23-24高一上·广东广州·期末）定义在上的奇函数，当时，，其中，且，其中是自然对数的底，． (1)求的值； (2)当时，求函数的解析式； (3)若存在，满足，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据奇函数的定义即可求得的值； （2）根据奇函数的定义求解析式； （3）由函数解析式，根据x的范围分类讨论，分别得出的关系，把化为的函数，从而得其范围. 【解答过程】（1）∵，是奇函数， ∴，则； （2）当时，，，又是奇函数，则， 当时，，，又是奇函数，则， 因为是定义在R上的奇函数，则， 故； （3）若，则由，有，且，从而有， 若，则由，有，而，所以等式不成立； 若，则由，有，即，且，从而有， 综上：的取值范围为. 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】利用指数幂的运算性质化简计算即可. 【解答过程】． 故选：A． 2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确. 【解答过程】A选项，且，故，A错误； B选项，且，故，B错误； C选项，，C错误； D选项，且，故，D正确. 故选：D. 3．（2023·山东·模拟预测）若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 【解题思路】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可. 【解答过程】解：因为， 所以. 故选：D． 4．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而判断选项. 【解答过程】对于B，当时，，，，则，不满足图象，故B错误; 对于C，，定义域为，而，关于轴对称，故C错误; 对于D,当时，，由反比例函数的性质可知在单调递减，故D错误; 利用排除法可以得到，在满足题意，A正确. 故选：A. 5．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【解题思路】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可． 【解答过程】因为是奇函数，所以，所以． 即，则，解得， 经检验符合题意，所以， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， ，整理得， 解得或(舍去)，所以； 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，，整理得， 解得或(舍去)，所以， 综上，或3． 故选：A． 6．（2023·吉林·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可. 【解答过程】由单调递减可知：，即； 由单调递增可知：，即 所以. 故选：D. 7．（2023·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（    ） A．是有理数 B．是无理数 C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数 【解题思路】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答. 【解答过程】这段文字中，没有证明是有理数条件，也没有证明是无理数的条件，AB错误； 这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确； 这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b，都成立的问题，D错误. 故选：C. 8．（2023·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，且函数的最小值为1，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】先通过求出的关系，再根据函数的最小值为1可求出，代入，直接解不等即可. 【解答过程】因为函数的图象关于直线对称， 所以，即恒成立， 即 恒成立， 即恒成立， 所以，即， 所以， 又因为函数有最小值为1， 所以且，即， 所以，即， 所以，所以不等式， 即，即， 解得或， 故选：D． 二、多选题 9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下列各式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数幂的运算性质逐项分析可得答案. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【解题思路】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【解答过程】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确； ，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在实数集单调递减 C． D．或 【解题思路】 根据函数的奇偶性可得出关于的方程组，即可得的解析式，从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据的解析式，求出的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得，即可判断选项C与选项D. 【解答过程】A，因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以， 因为①，所以，即②， 由得：，，所以选项A正确； B，因为函数在上均为增函数， 故在上单调递增，所以选项错误； C、D，因为， 所以， 又，当，即时等号成立，， 设，对称轴， 当时，函数在上为减函数，在上为增函数， 则，解得或（舍）； 当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意. 综上，所以选项C正确，错误. 故选：. 三、填空题 12．（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 【解题思路】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可 【解答过程】 故答案为：. 13．（2024·上海·三模）设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【解题思路】根据在上恒成立，故，分时，满足要求，当时，变形为在上恒成立，构造，，根据函数单调性得到，从而得到，得到答案. 【解答过程】由题意得在上有意义，故在上恒成立， 故， 当时，，而，满足，符合题意， 当时，，在上恒成立， 令，， 其中在上单调递减， 故， 故， 综上，t的取值范围是， 故答案为：. 14．（2023·四川成都·模拟预测）设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 . 【解题思路】根据偶函数的性质求出函数在时的解析式，即可得到，则不等式，即，再根据指数函数的性质得到，解得即可. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数，且当时，， 设，则，所以，又，所以 ， 所以，则， 所以不等式，即，即，即， 即，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2023·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案. 【解答过程】（1）原式 （2）由根式与分数指数幂互化运算可得， . 16．（2024·山东济宁·模拟预测）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【解题思路】（1）利用指数的运算法则计算即可. （2）根据完全平方式计算即可求出. 【解答过程】解： （1） ； （2），所以 . 17．（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【解题思路】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案； （2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【解答过程】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 18．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函数（为常数，且，）． (1)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围； (2)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）先化简，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定的取值范围； （2）先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方程在给定区间有解进行求解. 【解答过程】（1）当时，在上单调递增， ∴当时，， 对任意的都有成立，转化为恒成立，即对恒成立， 令，则恒成立，即， 由对勾函数的性质知：在上单调递增，故， ∴的取值范围是. （2）当为偶函数时，对xR都有，即恒成立，即恒成立， ∴，解得，则， 此时，由可得：有实数解 令（当时取等号），则， ∴方程，即在上有实数解，而在上单调递增， ∴. 19．（2024·河南平顶山·模拟预测）已知函数且）为定义在R上的奇函数 (1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增； (2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围． 【解题思路】（1）先根据奇函数满足可得，再设，证明即可； （2）化简可得恒成立，再讨论为0和大于0时两种情况，结合判别式分析即可； （3）将题意转化为方程有两个不相等的正根， 【解答过程】（1）证明：由函数为奇函数，有，解得， 当时，， ，符合函数为奇函数，可知符合题意． 设，有 ， 由，有，有，故函数在上单调递增； （2）由 ． （1）当时，不等式为恒成立，符合题意； （2）当时，有，解得， 由上知实数的取值范围为； （3）由，方程可化为， 若函数有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根， 故有，即解得． 故实数的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 指数与指数函数【六大题型】 【新高考专用】 【题型1 指数幂的运算】 2 【题型2 指数方程与指数不等式】 2 【题型3 指数函数的图象与性质】 2 【题型4 利用指数函数的单调性比较大小】 3 【题型5 利用指数函数的单调性解不等式】 3 【题型6 指数函数的综合问题】 4 1、指数与指数函数 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质 (2)熟练掌握指数函数的图象与性质 2022年全国甲卷（文数）：第12题，5分 2023年新课标I卷：第4题，5分 2024年天津卷：第2题，5分、第5题，5分 指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，指数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型. 【知识点1 指数运算的解题策略】 1．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【知识点2 指数函数的常见问题及解题思路】 1．比较指数式的大小 比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3．指数型函数的解题策略 涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【题型1 指数幂的运算】 【例1】（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（    ） A． B． C． D． 【题型2 指数方程与指数不等式】 【例2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于的方程的解为 ． 【变式2-1】（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集为 ． 【变式2-2】（2024高一·江苏·专题练习）不等式的解集是 ． 【变式2-3】（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知和是方程的两根，则 . 【题型3 指数函数的图象与性质】 【例3】（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【变式3-1】（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式3-3】（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用指数函数的单调性比较大小】 【例4】（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·四川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·上海闵行·一模）已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·全国·二模）设实数，满足，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【题型5 利用指数函数的单调性解不等式】 【例5】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型6 指数函数的综合问题】 【例6】（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【变式6-1】（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数． (1)当时，不等式总成立，求a的取值范围； (2)试求函数（）在的最大值． 【变式6-2】（2024高二下·浙江·学业考试）设函数. (1)判断函数在区间和上的单调性（不需要证明过程）； (2)若函数在其定义域内为奇函数，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，当时，不等式在恒成立，求的取值范围. 【变式6-3】（23-24高一上·广东广州·期末）定义在上的奇函数，当时，，其中，且，其中是自然对数的底，． (1)求的值； (2)当时，求函数的解析式； (3)若存在，满足，求的取值范围． 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）（    ） A． B． C． D．3 2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东·模拟预测）若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 4．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 6．（2023·吉林·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·湖北武汉·二模）阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数；若为无理数，则取无理数，，此时为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（    ） A．是有理数 B．是无理数 C．存在无理数a，b，使得为有理数 D．对任意无理数a，b，都有为无理数 8．（2023·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，且函数的最小值为1，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 9．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下列各式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 11．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（    ） A． B．在实数集单调递减 C． D．或 三、填空题 12．（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 . 13．（2024·上海·三模）设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 14．（2023·四川成都·模拟预测）设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 . 四、解答题 15．（2023·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 16．（2024·山东济宁·模拟预测）（1）计算：； （2）已知，求的值. 17．（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 18．（23-24高一上·天津和平·期末）已知函数（为常数，且，）． (1)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围； (2)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围． 19．（2024·河南平顶山·模拟预测）已知函数且）为定义在R上的奇函数 (1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增； (2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$