精品解析：天津市蓟州区第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月检测（6月）数学试题

蓟州区第一中学2023-2024学年度第二学期第二次月检测 高二年级数学学科 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 交易量（万套） 0.8 1.0 1.2 1.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 根据表中数据可知，变量与正相关 B. 经验回归方程中 C. 可以预测时房屋交易量约为（万套） D. 时，残差 5. 已知函数，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往，，，四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ） A. 78 B. 96 C. 126 D. 128 9. 已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 某班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在分以上的有______________人； 11. 在二项式的展开式中，的系数为__________． 12. 甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球大小、形状完全相同）.先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则______，______. 13. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是___________． 14. ，，且恒成立，则的最大值为__． 15. 已知函数导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是_________． 三．解答题（共5小题，共60分） 16. 张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线（如图）， 路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，． （1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率； （2）若走路线，求他遇到红灯的次数的数学期望 17. 已知二次函数. （1）若函数零点是和1，求实数b，c的值； （2）已知，设、关于x的方程的两根，且，求实数b的值； （3）若满足，且关于x的方程的两个实数根分别在区间，内，求实数b的取值范围. 18. 已知函数，，其中． （1）若，求实数a的值 （2）当时，求函数的单调区间； （3）若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 19. 在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有个，其余的球为红球． （Ⅰ）若，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率； （Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望． 20. 已知函数，其中为实数． （1）当时， ①求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程； ②若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数．若，且为在上的下界函数，求实数的取值范围． （2）当时，若，，且，设，．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蓟州区第一中学2023-2024学年度第二学期第二次月检测 高二年级数学学科 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求出集合B，根据补集与解集的定义写出. 【详解】集合, , 或, 故选： 2. 设，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式及分式不等式，结合充分条件不必要条件的概念可得到结果． 【详解】若，则，所以， 若，则，所以，所以或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以举反例说明，BC选项可以通过作差法来说明，D选项可以通过基本不等式来说明. 【详解】A选项，若，则，A选项错误； B选项，， 由于，故，，故， 即，B选项正确； C选项，，由于，故， 即，C选项错误； D选项，根据基本不等式，， 当且，即时取得等号，此时，D选项错误. 故选：B 4. 随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 交易量（万套） 0.8 1.0 1.2 1.5 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A 根据表中数据可知，变量与正相关 B. 经验回归方程中 C. 可以预测时房屋交易量约为（万套） D. 时，残差为 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出、，根据回归方程必过样本中心点求出参数，从而得到回归方程，再一一判断即可. 【详解】对于B，依题意，， 所以，解得，所以，故B正确； 对于A，因为经验回归方程，， 所以变量与正相关，故A正确； 对于C，当时，， 所以可以预测时房屋交易量约为（万套），故C正确； 对于D，当时，， 所以时，残差为，故D错误. 故选：D 5. 已知函数，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数，分解不等式即可得解. 【详解】因为， 所以当时，原不等式可化为，解得或； 当时，原不等式可化为，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：A 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 7. 我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“躺平点”新定义，可解得，，利用零点存在定理可得，即可得出结论. 【详解】根据题意，，又， 则，解得； 同理，即，令， 则，所以在上单调递增， 又，，所以在上存在唯一零点， ； 又，则，解得； 所以. 故选：C. 8. 某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往，，，四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ） A. 78 B. 96 C. 126 D. 128 【答案】A 【解析】 【分析】分组讨论结合组合排列关系计算即可. 【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组。 甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：种情况， 甲，乙，丙中有1位教师与丁或戊去同一所学校有：种情况， 丁，戊两人选择同一所学校有：种情况， 所以满足题意的情况为：36+36+6=78, 故选：. 9. 已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性化简目标，然后构造，利用导数求最值即可. 【详解】作出的图象如图： 若存在实数，且，使得 因为的图象关于直线对称， 所以, 所以， 由图可知，, 所以 设，， 所以， 易知在上单调递增， 又， 所以当时，， 所 以 在 上 单 调 递 增， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：把题目条件转化成交点问题，通过图像分析得到交点关系进行消元即可. 二．填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 某班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在分以上的有______________人； 【答案】8 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得概率，然后乘以人数得出结果. 【详解】由正态分布的特点，得；则该班学生数学成绩在分以上的约有人. 故答案为：8. 11. 在二项式的展开式中，的系数为__________． 【答案】. 【解析】 【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可. 【详解】结合二项式定理的通项公式有：， 令可得：，则的系数为：. 【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 12. 甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）.先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】计算出，，利用条件概率求出；再利用全概率公式求出. 【详解】由题意得：，，故； 又，，，， 故. 故答案为：； 13. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，等价转化为在R上恒成立，分等于零与大于零两种情况进行讨论，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R，∴在R上恒成立， ①当时，符合题意， ②，由，则，解得：， ∴综上所述， 故答案为：． 14. ，，且恒成立，则的最大值为__． 【答案】4 【解析】 【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值． 【详解】解：由于恒成立，且 即恒成立 只要的最小值即可 ，，故，因此 故答案为：4． 15. 已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，结合和，可求得，利用导数求出的单调区间和极值，画出的图象，结合图象可求得结果. 【详解】由，得， 令，则，所以， 因为，所以，所以， 所以，故， 令，则或， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 所以的极大值为，极小值为， 因为，当时，， 所以的图象如图所示， 因为不等式的解集中恰有1个整数， 所以时，不等式的解集中恰有一个整数， 即实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程综合问题，考查导数的应用，解题的关键是根据已知条件求出的解析式，然后利用导数画出的图象，结合图象求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于难题. 三．解答题（共5小题，共60分） 16. 张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线（如图）， 路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，． （1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率； （2）若走路线，求他遇到红灯的次数的数学期望 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设走路线最多遇到1次红灯为事件，利用排列组合知识能求出； （2）根据题意，的可能取值为，再分别求出其概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望. 【详解】（1）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则 ． （2）依题意，的可能取值为，则， ，． 随机变量的分布列为： ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用. 17. 已知二次函数. （1）若函数的零点是和1，求实数b，c的值； （2）已知，设、关于x的方程的两根，且，求实数b的值； （3）若满足，且关于x的方程的两个实数根分别在区间，内，求实数b的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1），1为方程的两个根，把根代入方程，或利用韦达定理，求系数； （2）由已知化简方程，由判别式得出的取值范围，已知等式结合韦达定理求实数b的值； （3）满足，方程中消去，由二次函数的图像和性质，结合实数根所在区间，求实数b的取值范围. 【小问1详解】 法1：由题可知：，1为方程的两个根， 所以， 解之得：，. 法2：由题可知：，1为方程的两个根， 由韦达定理，得， 解之得：，. 【小问2详解】 因为，，所以， 因为、是关于x的方程的两根， 所以，即， 所以， 因为，所以，所以. 所以，所以或， 因为，所以. 【小问3详解】 因为，所以， 设， 则有， 解得，所以b的取值范围为. 18. 已知函数，，其中． （1）若，求实数a的值 （2）当时，求函数的单调区间； （3）若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导可得，由代入计算，即可求解； （2）求导可得，然后分讨论，即可求解； （3）根据题意，由分离参数可得，然后构造函数求导得最值即可得到结果. 【小问1详解】 因为，则， 由可得，解得. 【小问2详解】 函数的定义域为， 且， 当时，令，可得或， ①当，即时， 对任意的，，的单调递增区间为． ②当，即时， ，得或，，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为 ③当，即时 ，得或；，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 综上所述，时，函数的单调增区间为； 时，函数单调增区间为和，单调减区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为. 【小问3详解】 由，可得，即，其中， 令，， 若存在，不等式成立，则，， ，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以函数在端点或处取得最小值． 因为，，所以， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是． 19. 在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有个，其余的球为红球． （Ⅰ）若，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率； （Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用表示取出的2个球所得分数的和，写出的分布列，并求的数学期望． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）3个（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求出从袋中任取1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有2个红球的概率； （Ⅱ）根据从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是建立等式关系，求出的值，从而求出红球的个数． （Ⅲ）的取值为2，3，4，5，6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可； 【详解】（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件，则． 所以，． （Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件，则， 整理得，解得（舍或． 所以红球的个数为个． （Ⅲ）取值为2，3，4，5，6， 且，， ，，． 所以的分布列为 2 3 4 5 6 所以，． 20. 已知函数，其中为实数． （1）当时， ①求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程； ②若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数．若，且为在上的下界函数，求实数的取值范围． （2）当时，若，，且，设，．证明：． 【答案】（1）①；② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①利用导数的几何意义即可求出切线方程；②，利用参变分离构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，从而可求参数k的范围； （2）由基本不等式可得，将问题转化为证，结合，，令，即证，构造函数，研究求性质即可得证. 【小问1详解】 ①当时，，所以， 所以函数的图像在处的切线斜率． 又因为， 所以函数的图象在处的切线方程为， ②因为函数为在上的下界函数， 所以，即． 因为，所以，故． 令，，则． 设，，则， 所以当时，，从而函数在上单调递增， 所以， 故在上恒成立，所以函数在上单调递增， 从而． 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 故，即实数的取值范围为． 【小问2详解】 当时，，，， 要证， 即证， 因为， 所以只要证， 即证， 因为，， 即证， 令，即证， 因为，即证（*）， 令，则． 构造函数： 则， 令, 则， 因为，，， 所以． 所以在单调递增． 得到， 可知在单调递减，． 所以（*）成立，原命题成立． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是等价转化证明，再构造函数，利用多次求导得到其单调性即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$