精品解析：江苏省宿迁地区2023-2024学年高一下学期期中调研测试数学试题

2023~2024学年度第二学期期中调研测试 高一数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知、两地的距离为，、两地的距离为，现测得，则、两地的距离为（ ）． A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于方程有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ） A B. C. D. 8. 在中，，满足此条件的有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角是斜三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第一象限 C. D. 11. 设为的内角，向量，向量，则（ ） A. 对任意不平行 B. 存在，使得 C. 存，使 D. 对任意， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 13. 若向量满足，，则在上的投影向量为______（用表示） 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．（以弦为边长得到正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是实数，求． 16. 设实数，若向量． （1）若与垂直，求的值； （2）当为何值时，三点共线． 17. 已知向量． （1）求的值； （2）求图象的对称轴方程； （3）若，求的值域． 18. 在直角三角形中，，点在边上，且，设． （1）若，求的值； （2）若，求的最大值． 19. 法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，． （1）求； （2）若的面积为，求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期期中调研测试 高一数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量相等、向量共线的概念以及零向量的表示逐个分析可得答案. 【详解】对于A，长度相等的向量方向不一定相同，故A不正确； 对于B，因为向量的方向不能比较大小，所以向量不能比较大小，故B不正确； 对于C，因为两个向量相等，所以方向一定相同，所以两个向量共线，故C正确； 对于D，由，所以，故D不正确. 故选：C 2. 已知、两地的距离为，、两地的距离为，现测得，则、两地的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理即可. 【详解】在中，, 所以： , 所以 故选：D 【点睛】本题考查了利用余弦定理求边长，属于容.易题 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再利用复数的除法化简. 【详解】因为，所以. 故选：D. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角差的正弦公式，即可得到答案. 【详解】，， ， ， 故选：D. 5. 已知关于的方程有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出方程的两个虚数根，然后由复平面上对应两虚根之间的距离为列方程求解即可. 【详解】由题意得，得， 方程的虚数根为 ， 因为在复平面上对应两虚根之间的距离为， 所以，得， 故选：B 6. 函数的值域是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数为，结合正弦函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为， 当时，可得；当时，可得， 所以函数的值域为. 故选：D. 7. 在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为，所以，即， 又，所以， 因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：B 8. 在中，，满足此条件的有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解. 【详解】∵有两解， ∴， ∴，即 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角是斜三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由结合诱导公式分析判断，对于C，利用正弦定理和三角形的性质分析判断，对于D，利用诱导公式与两角和的正切公式分析判断. 【详解】对于A，因，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以由正弦定理可得， 因为在三角形中大边对大角，所以，所以C正确， 对于D，因为在斜三角形中，， 所以， 所以， 所以， 所以，所以D正确， 故选：ACD 10. 已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第一象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出，结合复数的意义判断AB；利用复数模及乘法运算判断CD即得. 【详解】复数，则， 对于A，的虚部为，A错误； 对于B，在复平面内对应的点在第一象限，B正确； 对于C，，，则，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 11. 设为的内角，向量，向量，则（ ） A. 对任意不平行 B. 存在，使得 C. 存在，使 D. 对任意， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量平行及垂直的坐标表示，得到相应的关系式，结合三角函数恒等变换公式及三角函数的性，即可判断各选项. 【详解】对于A，若‖，则， 所以，即， 因为，所以，所以对任意不平行，所以A正确， 对于B，若，则， 所以， 因为，所以，所以存在，使得，所以B正确， 对于C，若，则，且， 所以， 因为，所以不存在，使，所以C错误， 对于D，因为，， 所以，所以， 所以，所以， 所以对任意，，所以D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简，再利用余弦的二倍角公式变形，然后代值求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为： 13. 若向量满足，，则在上的投影向量为______（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】由，可得，即， 化简得，即， 所以在方向上投影向量为． 故答案为： 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，由正弦定理求出大小正三角形的面积，即可求得的值；然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果. 【详解】由，设，则，， 如图 由题可知：， 由 所以，则， 所以小三角形面积， 因为，所以,即， ， 所以 因为， 又 所以 所以 即 所以 又 所以 所以 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是实数，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是实数，可得，求出，然后计算即可； （2）先计算，再由为实数，可得虚部为零，从而可求出，进而可求出. 【小问1详解】 由，，得， 而实数，于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是实数， 因此，解得， 所以． 16. 设为实数，若向量． （1）若与垂直，求的值； （2）当为何值时，三点共线． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解； （2）根据题意先求，再结合向量共线的坐标表示运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 若与垂直，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得：，， 若三点共线，则， 可得，解得或． 17. 已知向量． （1）求的值； （2）求图象的对称轴方程； （3）若，求的值域． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标运算结合三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后将代入求解即可； （2）由可求得图象的对称轴方程； （3）由，求出的范围，再结合正弦函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 因为， 所以 所以； 【小问2详解】 由，得， 所以对称轴方程为； 【小问3详解】 当时，， 所以， 所以， 所以， 所以的值域为． 18. 在直角三角形中，，点在边上，且，设． （1）若，求的值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求的正切值，再利用两角差的正切公式即可求；利用，即可求. （2）先求的正切值，接着利用两角差的正切公式求出，再结合基本不等式即可求出最大值. 【小问1详解】 若，则三角形为等腰直角三角形， 所以， 所以， . 【小问2详解】 若，则， 所以 ， 当且仅当即时取等号， 所以的最大值为. 19. 法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，． （1）求； （2）若的面积为，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知等式利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形可求出角； （2）连接，，则由等边三角形的性质可求得其长度，再利用的面积求出，在△中利用余弦定理可得，结合基本不等式可求出的最大值，从而可求出的面积的最大值． 【小问1详解】 在中，因为， 所以， 根据正弦定理可得， 即， 因为，， 可得，由，可得； 【小问2详解】 如图，连接，， 则， 正△面积， ，而，则， △中，由余弦定理得：， 即，则， 由基本不等式知，， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 所以的面积的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$