1.5特殊平行四边形与折叠综合问题（三大难点培优压轴练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.5特殊平行四边形与折叠综合问题 （三大难点培优压轴练） 题型一、矩形与折叠综合问题 1．（2024·安徽阜阳·三模）如图，把矩形沿折叠，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质， 解题时注意： 折叠前后的图形全等， 找出图中相等的角是解答此题的关键． 根据折叠的性质及可求出的度数， 再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图， 四边形是四边形折叠而成， ，． ，， ， 又， ， ． 故选C． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，已知矩形纸条，将该纸条折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，若，，则四边形的周长是（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的性质，三角形的面积，矩形的性质，解答本题的关键是依据折叠的性质得出，，并推导出．由折叠的性质推导出，，从而得出，，，依据三角形的面积比值推导出，进一步推导出，利用勾股定理求得，进一步解答即可得解． 【详解】解：连接，如图； 已知矩形纸条，将该纸条折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，， 由折叠的性质得：，，， ； 同理，，，， ， ，，， ， ， 即， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ，， ， 四边形的周长为：， 故选：B 3．（2024·广东·三模）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠，使得点A落在点G处，点B恰好落在边上的点H处，连接．若C，H，G三点共线，且，则的长为（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】由折叠的性质可知，，，，在中，根据，可得，．从而可求出，，．再证明，即可求得，即可由求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，， ∵C，H，G三点共线， ∴． 在中，∵， ∴，． 又∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质．熟练掌握矩形与折叠的性质是银题的关键． 4．（23-24八年级下·广东阳江·期中）如图，矩形沿着直线对折，点D恰好落与边上的点H重合，，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析； (2)40． 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理． （1）由矩形和平行线的性质得到，由折叠得到，从而，根据等角对等边得到，即可解答； （2）由矩形的性质和折叠的性质知：，设，则，在中，由勾股定理可构造方程，求解得到，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 理由：四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， 三角形是等腰三角形； （2）四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质知：， 设，则， 在中， ，即， 解得， ∴， 三角形的面积为． 5．（2024·河北邯郸·二模）如图1，一矩形纸片，，，点P是边上的动点（不与端点重合），把沿折叠，点A落在点E处，连接，设，． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)当P，E，C三点在一条直线上时，如图2所示，求证：，并求此时m的值； 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) (4)有4个符合条件的m值，或或 【分析】（1）根据矩形及折叠的性质得出，即可求解； （2）根据题意得出P，E，C三点在一条直线上，然后利用勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质确定，结合图形即可求解； （3）过点E作的平行线，分别交于点G、F，根据矩形的判定和性质得出，，利用三角形等面积法确定，再由相似三角形的判定和性质求解即可； （4）分三种情况分析：当时，当时，当时，分别作出相应图形，然后利用矩形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形纸片，， ∴， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴； （2）证明：∵沿折叠得， ∴，， ∵P，E，C三点在一条直线上， ∴， 即， ∴， ∵矩形纸片， ∴, ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； 题型二、菱形与折叠综合问题 6．（2024·江苏南通·二模）如图，在菱形中，，点P是上一点（不与端点重合），点A关于直线的对称点为E，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理即菱形的性质，理解对称的性质是解题的关键． 由对称得从而得到，由菱形性质得，从而得到，由四边形内角和为等量代换即可得到结果． 【详解】解：连接，如图： 由点A关于直线的对称点为E，得： ， 为等腰三角形，故， 由菱形可得，， ， ， 在四边形中，由内角和为得， ， 由，得， ， ， ，即， 故选：D． 7．（2024·河南平顶山·二模）如图，菱形的顶点在轴上．于点，将菱形沿所在直线折叠，点的对应点为．若，点的横坐标为2，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，根据点的横坐标为2，可得，则可求得，即可得到点坐标，熟练利用相关性质得到菱形的边长是解题的关键． 【详解】解：四边形为菱形，， ，， ，菱形沿所在直线折叠，点的对应点为， ， ， ， ， 点的横坐标为2， ， , ， ， 则点的坐标为， 故选：A． 8．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，，则的度数为 ． 【答案】/85度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，根据菱形性质可知，，，根据折叠可知，，，求出，根据等腰三角形性质求出即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， 根据折叠可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，在菱形中，，，折叠该菱形，使点落在边上的点M处，折痕分别与边，交于点E，F．当点M的位置变化时，长的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质，得，根据垂线段最短，得当时，最小，此时也最小，过点F作于点，当与点重合时，最小，此时也最小，过点D作于点，根据菱形，，，解答即可． 本题考查了菱形的性质，垂线段最短，平行线间的距离处处相等，特殊角的三角函数值，熟练掌握菱形的性质，垂线段最短，特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】根据折叠的性质，得，根据垂线段最短，得当时，最小，此时也最小，过点F作于点，当与点重合时，最小，此时也最小，过点D作于点，    ∵菱形，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2024·四川南充·三模）如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，将沿直线翻折，得对应． (1)如图，若点与重合，且，与交于点，与交于点，求证：； (2)如图，若点刚好落在的中点处，求的值； (3)如图，若点为的中点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）连接，由折叠性质得：，，得出，再由菱形的性质得，再证明垂直平分即可； （）连接，，过作交延长线于点，过作于点，根据勾股定理和解直角三角形即可求解； （）连接，，由为的中点，则，因而有点在以为圆心，为半径的圆上，又四边形是菱形，则，证明是等边三角形，故有，当三点共线时，最小，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，连接， ∵， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴垂直平分， ∴； （2）如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点， 同（）可得，， ∴， 由折叠性质可知：，设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， 同理：， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； （3）如图，连接，， 由折叠性质可知：点为交点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ 点在以为圆心，为半径的圆上， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理和解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 题型三、正方形与折叠综合问题 11．（2024·四川广安·二模）如图，有一张长方形片，，．点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，． 根据折叠的性质，得 ，， ，． 在中，由勾股定理，得． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴． 解得． 故选B． 12．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，正方形中，点为边延长线上一点，连接，将以为轴进行翻折，得到，射线交于点，连接，．则下列结论错误的是（    ） A． B． C．为的中点 D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质和折叠的性质得出，推出，设，，得出，由三角形内角和定理得出，即可判断A；求出由三角形内角和定理得出，从而得出，即可判断B；假设为的中点，得为定值，与题意相互矛盾，即可判断C；连接和，证明，由相似三角形的性质即可判断D，从而得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质可得：，，，，，，， ∴， ∴， 设，， ， 在中， ，即，故A正确； ， ， ， ∴， ∴， ，故B正确； 假设为的中点，则 ∴，即：为定值， ∵为边延长线上一点， ∴的大小可以发生变化，则与题意相互矛盾，故C错误； 如图：连接和， ∵，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 13．（2024·安徽淮南·二模）如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠性质，勾股定理等知识内容，根据正方形性质得出，结合折叠性质得，运用勾股定理列式得，整理得，即可作答． 【详解】解：如图： 设， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上， ∴， 在中，由勾股定理有：， 即， 整理得出， 则， 故选：B． 14．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长是多少？    【答案】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质；连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则，，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    由折叠可知，，， ， ， 正方形边长是， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得： ，， ， 的周长为． 15．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）（1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数； （2）如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则 ① ； ②若 线段 ； （3）如图3，在矩形中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．    【答案】（4）45度；（2）①60度；②；（3） 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得，再说明点F在的角平分线上，即，最后根据角的和差即可解答； （2）①由折叠的性质和平角的定义即可解答；②先根据①可得，由直角三角形含的性质可得和的长，进而可得和的长，由三角函数可得的长即可； （3）由可得，再证是的中位线可得，然后再证是正方形，可得、，再利用勾股定理可求的长，进而求得，最后再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 由折叠得： ，， ∴， ∴点F在的角平分线上，即， ∴； （2）①如图2，由折叠得：，， ∴， ∵， ． 故答案为：60． ②∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． （3）如图3，延长交于点P，过点P作于N，    ∵， ∴， ∵将矩形纸片沿、折叠，点B落在M处，点D 落在G处， ，，，， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ，， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ， ， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质和判定、含角的直角三角形的性质、三角中位线等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质是解题的关键． 1．（23-24九年级·辽宁大连·期中）如图，将一张矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得四边形．若，，则四边形的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得，由此可得，则四边形是菱形，进而可得，，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到答案． 本题主要考查了举矩形的性质、菱形的判定和性质、以及菱形的面积．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵四边形 是矩形， ，，， 由折叠的性质可得，，，， ，， ， ， ∴四边形是菱形， ，，， ， 故选：A． 2．（23-24九年级·湖南湘西·期中）如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕，同时使得点A的对称点N落在上，如果，则（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理、矩形的性质等知识，利用面积关系建立方程是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，设，由四边形的面积建立方程求解即可． 【详解】∵对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕， ∴， 由折叠可得，， 在中，， 设， 由四边形的面积， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 3．（23-24九年级·山东烟台·期中）如图，正方形 的对角线与相交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，若，则正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，连接，由正方形的性质可得，，由折叠可得，， ，设，利用勾股定理得到，进而得，在中由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ 四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：． 4．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，已知正方形的对角线长为，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是翻折变换质，即折叠是一种对称变换，先设正方形的边长为，再根据对角线长为求出的值，由图形翻折变换的性质可知，，，由阴影部分的周长即可得出结论，解题的关键是熟记轴对称图形的性质． 【详解】如图：    设正方形的边长为，则， 解得， 由翻折变换的性质可知：，，， ∴阴影部分的周长， ， ， ， ， 故选：． 5．（2024·甘肃·模拟预测）如图，在矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是 ． 【答案】 【分析】连接，根据将沿折叠后，点恰好落到上的点处，可证明，得，设，则，在中，有，可解得，从而在中，．本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程． 【详解】解：连接，如图： 为中点， ， 将沿折叠后，点恰好落到上的点处， ，，， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 在中， ， 故答案为：． 6．（23-24九年级·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 【答案】 60 75 【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义． （1）直接根据菱形的对角相等即可求解； （2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：60 （2）如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 故答案为：75 7．（23-24九年级·江苏扬州·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】由菱形的性质，，可得，是等边三角形，结合是边的中点，根据三线合一可得，根据含角直角三角形的性质，可证③正确， 由，结合折叠的性质，可证①正确， 由折叠的性质得到的度数，结合，得到，根据三角形内角和，可证②正确， 连接，与交于点，由，，得，结合，由，可证④正确， 本题考查了，菱形的性质，折叠的性质，含角直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴，是等边三角形，， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴，故②正确， 连接，与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 8．（23-24九年级·陕西·阶段练习）如图，边长为4的正方形的对角线与交于点O，将正方形沿直线折叠，点A的对应点恰好落在对角线上，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．连接，设点的对应点为，连接，根据正方形的性质求出的长度，再结合翻折的性质可以得到，利用求出，再利用即可求出． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理有， 如图，连接，设点的对应点为，连接， 由折叠性质可知，，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为： 三、解答题 9．（23-24九年级·山东滨州·期中）如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2)． 【分析】（）四边形是菱形．根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得和的值，从而可以得到四边形的面积； 本题考查了翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形中，， ，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积． 10．（23-24九年级·广西河池·期中）【探究与证明】 【探究】某数学兴趣小组在学完第十八章《平行四边形》之后，探究了新人教版九年级册数学教材第64页的数学活动1．其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如图1的方法： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到了线段． 【证明】请根据上述过程完成下列问题： (1)连接，如图2．请直接写出：______； (2)请判断和的数量关系，并说明理由； (3)乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图3），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请证明四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查四边形综合题、直角三角形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定等知识，正确的理解题意是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖． （1）根据折叠的性质可得，，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，根据折叠的性质即可得出； （2）由，得到，即可得出； （3）由，根据矩形的性质，，，可得是等边三角形，则，由折叠得，，可得出，即可得出四边形是平行四边形． 【详解】（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， 又∵ ∴ ∴ 再次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段． ， ∴ ∴是等边三角形 ， 由折叠的性质得：； （2）∵， ， ； （3）∵，四边形是矩形， ， ，， 是等边三角形， ， 由折叠得，， ， 四边形是平行四边形． 11．（2024·辽宁盘锦·三模）实践操作： 在矩形中，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原. 初步思考： （1）若点落在矩形的边上（如图①）． 当点与点重合时，__________，当点与点重合时，___________； 深入探究： （2）当点在上，点在上时（如图②）， ①求证：四边形为菱形： ②当时，直接写出四边形的边长． 拓展延伸： 若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度：若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）① 证明见解析； ② 四边形的边长为；拓展延伸：存在，线段的长为：或，过程见解析； 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造全等三角形，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到等角，进而求解； （2）① 根据折叠的性质，得到，利用矩形的性质，证明，，且，即证四边形是平行四边形，又对角线互相垂直，即证明是菱形； ② 设菱形 的边长为，则，，在中，利用勾股定理，即可求出四边形的边长； 拓展延伸：根据点在线段上和线段延长线上，两种情况进行讨论；当点在线段上，连接 ，根据折叠的性质，得到，，，证明，设 ， 则 ， 则 ，在中，利用勾股定理，可解得；当点线段延长线上，根据折叠的性质，可得，，证明，设 ， 则 ，在中，利用勾股定理，可解得． 【详解】解：（1）当点与点重合时，如图所示， 根据折叠的性质，可知， ， 当点与点重合时，如图， 四边形为矩形，， 根据折叠的性质，可知， ． （2）① 当点在上， 点在上时，如图， 是的中垂线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形， ② 设菱形 的边长为， 则，， 在中，，即， 解得， 当 时， 菱形 的边长为 ． 拓展延伸：存在，线段的长为：或，理由如下， 情况一：如图， 连接 ， 根据折叠的性质，，，， 设 ， 则 ， 则 ， ， ， 在中，， 解得： ． 情况二：如图， 根据折叠的性质，可得，， ， 又四边形为矩形， ， ， ，又，， ， ， 设 ， 则 ， ， ，， 在中，， ， 解得， 综上，线段的长为：或． 12．（2024·贵州·一模）图，在菱形中，，E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，分别沿折叠菱形，点B，D的对应点分别为点M，N，连接．      (1)问题解决：如图①，请判断线段的数量关系和位置关系： ； (2)问题探究：如图②，当点M，N分别落在上时，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：如图③，当点A，M，E恰好在一条直线上时，求 的值． 【答案】(1)， (2)四边形是矩形，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，由菱形的性质和线段中点的定义得到，，进而证明得到，由折叠的性质可得，，再证明，，进而证明，得到，证明，得到，则，； （2）由菱形的性质得到，，则，由折叠的性质可得，，即可证明是等边三角形，得到，证明，得到，则，同理可证明，即可证明四边形是矩形； （3）如图所示，过点M作于H，连接，证明是等边三角形，由E为的中点，得到．由折叠的性质可得，则，，推出，则，在中，，则． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， 故答案为：，．      （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E、F是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形是矩形； （3）解：如图所示，过点M作于H，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵E为的中点， ∴． 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即．      【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，熟练掌握菱形的性质和折叠的性质是解题的关键． ( 41 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5特殊平行四边形与折叠综合问题 （三大难点培优压轴练） 题型一、矩形与折叠综合问题 1．（2024·安徽阜阳·三模）如图，把矩形沿折叠，若，则 （    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，已知矩形纸条，将该纸条折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，若，，则四边形的周长是（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 3．（2024·广东·三模）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠，使得点A落在点G处，点B恰好落在边上的点H处，连接．若C，H，G三点共线，且，则的长为（    ） A． B． C． D．9 4．（23-24八年级下·广东阳江·期中）如图，矩形沿着直线对折，点D恰好落与边上的点H重合，，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 5．（2024·河北邯郸·二模）如图1，一矩形纸片，，，点P是边上的动点（不与端点重合），把沿折叠，点A落在点E处，连接，设，． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)当P，E，C三点在一条直线上时，如图2所示，求证：，并求此时m的值； 题型二、菱形与折叠综合问题 6．（2024·江苏南通·二模）如图，在菱形中，，点P是上一点（不与端点重合），点A关于直线的对称点为E，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南平顶山·二模）如图，菱形的顶点在轴上．于点，将菱形沿所在直线折叠，点的对应点为．若，点的横坐标为2，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，，则的度数为 ． 9．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，在菱形中，，，折叠该菱形，使点落在边上的点M处，折痕分别与边，交于点E，F．当点M的位置变化时，长的最小值为 ．    10．（2024·四川南充·三模）如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，将沿直线翻折，得对应． (1)如图，若点与重合，且，与交于点，与交于点，求证：； (2)如图，若点刚好落在的中点处，求的值； (3)如图，若点为的中点，求的最小值． 题型三、正方形与折叠综合问题 11．（2024·四川广安·二模）如图，有一张长方形片，，．点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．3 D．6 12．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，正方形中，点为边延长线上一点，连接，将以为轴进行翻折，得到，射线交于点，连接，．则下列结论错误的是（    ） A． B． C．为的中点 D． 13．（2024·安徽淮南·二模）如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 14．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长是多少？    15．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）（1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数； （2）如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则 ① ； ②若 线段 ； （3）如图3，在矩形中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．    1．（23-24九年级·辽宁大连·期中）如图，将一张矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开后得四边形．若，，则四边形的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（23-24九年级·湖南湘西·期中）如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕，同时使得点A的对称点N落在上，如果，则（    ） A．6 B． C．2 D． 3．（23-24九年级·山东烟台·期中）如图，正方形 的对角线与相交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，若，则正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山西运城·期中）如图，已知正方形的对角线长为，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·甘肃·模拟预测）如图，在矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是 ． 6．（23-24九年级·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 7．（23-24九年级·江苏扬州·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 8．（23-24九年级·陕西·阶段练习）如图，边长为4的正方形的对角线与交于点O，将正方形沿直线折叠，点A的对应点恰好落在对角线上，则的长为 ． 9．（23-24九年级·山东滨州·期中）如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由. (2)若，，求四边形的面积． 10．（23-24九年级·广西河池·期中）【探究与证明】 【探究】某数学兴趣小组在学完第十八章《平行四边形》之后，探究了新人教版九年级册数学教材第64页的数学活动1．其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如图1的方法： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到了线段． 【证明】请根据上述过程完成下列问题： (1)连接，如图2．请直接写出：______； (2)请判断和的数量关系，并说明理由； (3)乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图3），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请证明四边形是平行四边形． 11．（2024·辽宁盘锦·三模）实践操作： 在矩形中，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原. 初步思考： （1）若点落在矩形的边上（如图①）． 当点与点重合时，__________，当点与点重合时，___________； 深入探究： （2）当点在上，点在上时（如图②）， ①求证：四边形为菱形： ②当时，直接写出四边形的边长． 拓展延伸： 若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度：若不存在，请说明理由． 12．（2024·贵州·一模）图，在菱形中，，E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，分别沿折叠菱形，点B，D的对应点分别为点M，N，连接．      (1)问题解决：如图①，请判断线段的数量关系和位置关系： ； (2)问题探究：如图②，当点M，N分别落在上时，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：如图③，当点A，M，E恰好在一条直线上时，求 的值． ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$