第08讲 特殊的一元二次方程的解法—开平方法（七大题型）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第08讲 特殊的一元二次方程的解法—开平方法（七大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（七大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 学会用开平方的方法来解一元二次方程； 2、 知道用开平方的方法来解一元二次方程的条件； 3、 了解“换元法”一元二次方程。 一、情境导入，初步认识 1.根据完全平方公式填空： （1）x2＋6x＋9＝( )2 （2）x2-8x＋16＝( )2 （3）x2＋10x＋( )2＝( )2 （4）x2-3x＋( )2＝( )2 2.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 3.你会解方程x2＋6x-16＝0吗?你会将它变成(x＋m)2＝n（n为非负数）的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？ 二、思考探究，获取新知 1.解方程：x2-2500=0. 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? 把方程写成x2=2500 这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x=或x= 因此，原方程的解为x1=50，x2=-50 【方法规律】一元二次方程的解也是一元二次方程的根. 2.解方程（2x+1）2=2 解：根据平方根的有意义，得 2x+1=或2x+1= 因此，原方程的根为 3.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？ 【方法规律】对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解. 直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d(d≥0)，然后直接开平方得x+n=和x+n=，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解. 题型1：直接开平方法解一元二次方程 1．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用直接开平方法即可求解． 【解析】解： 故选：C． 2．若，则是（    ） A．-2 B．2 C．-2或2 D．4 【答案】C 【分析】先计算，再用直接开平方法解一元二次方程即可． 【解析】 故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键． 3．方程x2- =0的根为 ． 【答案】x=± 【分析】根据算术平方根的定义得出=8，得出x2=8，利用直接开平方法即可求解． 【解析】解： x2- =0， ∴x2=8， ∴x=． 故答案为：x=． 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤． 4．有关方程的解说法正确的是（    ） A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解析】∵， ∴， ∴该方程无实数解． 故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 5．若方程的两个根分别是与，则 ． 【答案】 【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有，然后两边平方得到的值． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴方程的两个根互为相反数， ∵方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴，， ∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是与， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么． 6．解方程： （1）；                   （2）； （3）；                  （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得； （2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得； （3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得； （4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得． 【解析】（1）， ， ， ， 即； （2）， ， 或， 或， 即； （3）， ， 或， 或， 即； （4）， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键． 7．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　） A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝ C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝ 【答案】D 【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可． 【解析】解：由4（3x+1）2﹣1＝0得（3x+1）2＝， 所以3x+1＝±， 解得x＝﹣或x＝﹣， 由﹣2＝0得y3＝， 所以y＝， 所以x＝﹣或﹣，y＝． 故选：D． 【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键． 8．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得． 【解析】， 两边同除以得：， 利用直接开方法得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键． 题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件 9．下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可． 【解析】解：选项A，B，C方程左边均不能化为完全平方式，故选项A，B，C不能用直接开平方法求解； 由得，故选项D能用直接开平方法求解． 故选：D． 10．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 【答案】A 【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可． 【解析】解：∵方程y2＝﹣a有实数根， ∴﹣a≥0（平方具有非负性）， ∴a≤0； 故选：A． 【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0． 11．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果． 【解析】①x2-2x=0，因式分解法； ②9x2-25=0，直接开平方法； ③(2x-1)2=1，直接开平方法； ④，直接开平方法， 则能用直接开平方法做的是②③④. 故选:C. 【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键. 12．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（    ） A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0 【答案】A 【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x2=1，确定x的值即可. 【解析】∵(x-1)0有意义， ∴x-1≠0，即x≠1， ∵x2=（x﹣1）0 ∴x2=1，即x=±1 ∴x=-1. 故选A. 【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂. 13．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（    ）. A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】根据时方程有实数解，可求出m的取值范围． 【解析】由题意可知时方程有实数解，解不等式得，故选B． 【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解． 14．已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 【答案】B 【分析】将原方程化为的形式，根据可判断出正确答案． 【解析】原方程可化为，∵，∴时方程才有实数解．当c=0时，有实数根；当a、c异号时， ，方程有实数解．故选B． 【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解． 题型3：直接开平方法解一元二次方程—复合型 15．方程(x－2)2=(2x+3)2的根是(     ) A．x1=－,x2=－5 B．x1=－5,x2=－5 C．x1=,x2=5 D．x1=5,x2=－5 【答案】A 【分析】可运用因式分解法来解这两个方程.因为方程两边都是平方的形式，可以移项，用平方差公式分解，用公式ab=0则b=0求值. 【解析】解：(x－2)2 (2x+3)2=0 (x-2+2x+3)(x-2-2x-3)=0 x-2+2x+3=0或x-2-2x-3=0 即x1=,x2=5. 故答案为A. 【点睛】应用因式分解法中的提公因式法是关键是找到公因式，此题渗透了数学中的整体思想． 16．方程(x+1)2=4(x-2)2的解是(   ) A．x=1 B．x＝5 C．x1=1，x2=5 D．x1=1，x2=-2 【答案】C 【分析】根据方程表示x+1与2（x-2）的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此即可把所求方程转化为两个一元一次方程求解． 【解析】解：原方程可化为：(x+1)2=[2(x-2)]2， x+1=±2(x-2)，即x+1=2x-4或x+1=-2x+4， 解得x1=5，x2=1； 所以选C 【点睛】解一元二次方程的基本思想是降次，就是把二次方程转化为一元一次方程． 17．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项后利用直接开平方法解答即可． 【解析】解：移项，得， 两边直接开平方，得， 即或， 解得：，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 18．解方程： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【解析】解：（1）， 整理，得． ∴， 即； （2）， ， ∴或， 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 题型3：一元二次方程的根的概念理解 19．一元二次方程的根与的根（    ） A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解. 【解析】， ， ∴； ， ， ∴，； ∴两个方程有一个相等的根. 故选C. 【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）． 题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式 20．关于x的方程(x+a) =b(b>0)的根是（        ） A．x=±-a B．x=±a+ C．当b≥0时，x=-a± D．当a≥0时，x=a± 【答案】A 【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得． 【解析】∵b>0， ∴两边直接开平方,得：x+a=±， ∴x=±-a， 故选A 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则 21．形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 【答案】D 【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案． 【解析】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意； D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键． 题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次 22．方程的根的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】移项得=24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题． 【解析】解：∵ ∴=24， ∴x=±2， ∴方程的根是x=±2. 故选B. 【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次． 题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法 23．若，则的值是（       ） A． B．3 C．3或 D．或 【答案】B 【分析】设，利用换元法将原方程转化为一元二次方程，再利用的非负性得出结果． 【解析】解：由题意得，， 设， ， ， ， 或， ， （不符合题意，舍去）， ， 故选：． 【点睛】本题考查了换元法，一元二次方程的解法，代数式的非负性，对整体思想的把握是解决问题的关键． 24．如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及非负数的性质，将转换为一元二次方程是解题关键．设，再将转换为一元二次方程并求解，结合非负数的性质即可获得答案． 【解析】解：设， 根据题意可得，， 解得，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 25．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令可将方程化成可得或，由此即可得． 【解析】解：令， 则方程可化成为方程， ∵方程的两个实数根为1和， 方程的两个实数根为1和， 或， 解得或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键． 题型7：直接开平方法解一元二次方程-新定义题 26．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 【答案】 ， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，实数的运算， （1）利用同底数幂的乘法法则和材料中的方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程—配方法即可解答； 准确熟练地进行计算及掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【解析】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ∴，， 故答案为：，． 27．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 【答案】 3 4 4，5，6，7，8 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）根据新定义可得，估算出，即可得到； （2）根据题意可得，据此可得答案． 【解析】解：（1）由题意得，； ∵， ∴， ∴， 故答案为：3；4； （2）∵， ∴，即， ∴满足题意的的整数值为4，5，6，7，8． 故答案为：4，5，6，7，8 28．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，那么，的值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】D 【分析】根据题意找出规律，每四项为一个循环，进行计算即可． 【解析】∵i1=i，i2=-1，i3=i2•i=（-1）•i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1， ， ∴原式=（i-1-i+1）×504+i=0+i=i； 故选：D． 【点睛】此题运用直接开平方法解一元二次方程，弄清题中的新定义并找出规律是解本题的关键． 一、单选题 1．方程的解为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直接开方法求解即可． 【解析】解：， 二次项系数化为1得：， 开方得：，即． 故选D． 【点睛】本题考查直接开方法，掌握直接开方法是解题的关键． 2．方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据直接开平方法求解即可． 【解析】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键． 3．下列哪个是一元二次方程的解（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解析】解：， ， ， 解得，，， 故选：C 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，类型有：；（同号且）；；同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解． 4．用直接开平方法解方程，方程必须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方的非负性即可求解． 【解析】解：， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解直接开平方法的条件是解题的关键． 5．已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（    ） A． B．2 C． D．以上选项都不对 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可． 【解析】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键． 6．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【解析】解： 开方得， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 7．若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（    ） A．16 B． C．25 D．或25 【答案】B 【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案． 【解析】解：∵一元二次方程的两个根分别是与， 且， ∴， 解得：， 即方程的根是：，， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题关键． 8．关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用直接开平方法解出，然后再解出，对比两个解的关系，即可得到答案． 【解析】解：（m，h，k均为常数，m≠0）， 解得， 而关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是， 所以， 方程的解为， 所以 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确解出一元二次方程的解． 9．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据数值运算程序可得一个关于x的一元二次方程，再利用直接开平方法解方程即可得． 【解析】由题意得：， ， ， ， 即或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据数值运算程序正确建立方程是解题关键． 10．若方程中，满足和，则方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立和，前式减后式，可得，前式加后式，可得，将、代入原方程计算求出方程的根． 【解析】∵根据题意可得：， ①－②＝，得， ①＋②＝， ∴解得：，． 将、、代入原方程可得， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，联立关于、、的方程组，由方程组推出、、的数量关系是解题关键． 二、填空题 11．填空： （1）方程的根是 ． （2）方程的根是 ． 【答案】 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【解析】（1）解：， ， ∴， 故答案为：； （2） 即 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 12．若关于x的一元二次方程的一个根为2，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将代入方程得到关于的一元二次方程，解题即可． 【解析】解：把代入方程， 得， 解得：． 故答案为：． 13．已知是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【解析】解：是一元二次方程， ， 解得． 故答案为：． 14．若与互为倒数，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，解一元二次方程，根据互为倒数的积为1列出方程，进行求解是解决问题的关键． 【解析】解：由题意可得：， 整理的：，则， ∴， 故答案为：． 15．如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可． 【解析】解：∵方程可以用直接开平方求解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m的不程是解此题的关键． 16．已知关于的一元二次方程的根为，那么关于y的一元二次方程的解 ． 【答案】和 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，进而解关于的一元二次方程即可求解． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为， ∴关于y的一元二次方程可得， 解得和． 故答案为：和． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 17．定义新运算：对于任意实数m，n．都有，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题：若，则x的值是 ． 【答案】， 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义问题，根据已知公式得出，解之可得答案． 【解析】解：， ， 即， 解得：，． 故答案为：． 18．如图，下列图形是由相同的小圆组成的，观察图形的变化： 第1个图形：  →； 第2个图形：  →； 第3个图形：  →； 第4个图形：  →； …… 若第个图形有81个小圆，则的值为 ． 【答案】8 【分析】可得第个图形表示的代数式为：，由即可求解． 【解析】解：由题意得 第个图形表示的代数式为：， ， 即， 解得， （舍去）， 第8个图形有81个小圆； 故答案：8． 【点睛】本题考查了数字型规律探究，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 三、解答题 19．解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开平方法求解； （2）先移项，再利用直接开平方法求解． 【解析】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∴， ∴，． 20．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【解析】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 21．用直接开平方法解下列方程： (1)；   (2)； (3)；   (4). 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），. 【分析】(1)直接开方,再移项、合并同类项即可 (2) 先把-9移项到方程右边,再直接开方 (3) 直接开方,再移项、合并同类项即可 (4)先把9移项到方程右边，再直接开方,再按解一元一次方程的方法求解 【解析】(1)∵， ∴ ∴. (2)∵， ∴， ∴， ∴ (3)∵， ∴， ∴. (4)∵， ∴或， 解得，. 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，掌握运算法则是解题关键 22．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （2）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （3）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （4）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； 【解析】（1）， 方程两边同时除以9得，， 开平方得，， ∴，； （2），移项得，， 开平方得，， ∴，； （3）， 移项得，， 开平方得，， ∴，； （4）， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；运用等式性质将方程变形为形式是解题的关键． 23．用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【解析】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 24．嘉嘉和琪琪用图中的、、、四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按的顺序运算，则琪琪列式计算得：． （1）嘉嘉说-2，对-2按的顺序运算，请列式并计算结果； （2）嘉嘉说，对按的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求． 【答案】（1），；（2）嘉嘉出的数是1或3． 【分析】（1）根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可； （2）根据题意，可以得到关于x的方程，然后解方程即可． 【解析】（1） . （2）根据题意得 ， ， ， ，. 为整数，嘉嘉出的数是1或3. 【点睛】本题考查有理数的混合运算、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，求出x的值． 25．我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如x2=9，（3x﹣2）2=25，…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3． 解决问题： （1）解方程：（3x﹣2）2=25． 解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得3x﹣2=5  或  3x﹣2=　 　． 分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1． （2）解方程． 【答案】（1）﹣5；（2）x1=，x2=． 【分析】（1）根据乘方运算求解； （2）根据题意给出的思路即可求出答案． 【解析】（1）3x﹣2=﹣5， （2）根据乘方运算， 得 ∴x1=，x2=． 【点睛】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正理解题意. 26．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得,我们称晓东这种解法为平均数法， （1）下面是晓东用平均数法解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程， 直接开平方并整理，得，# 上述过程中的□，@，☆，＃表示的数分别为____、____、_____、____； （2）请用平均数法解方程： 【答案】（1）4；2；−1；−7．(2) x1=4，x2=−2 【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的□，@，☆，＃表示的数即可； （2）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【解析】解：(1)解方程(x+2)(x+6)=5， 将原方程变形，得 [(x+4)−2][(x+4)+2]=5， (x+4)2−22=5， ∴(x+4)2=5+22， ∴(x+4)2=9， 直接开平方并整理，得x1=−1，x2=−7． 故□，@，☆，＃表示的数分别为4，2，−1，−7． 故答案为：4；2；−1；−7． （2）(x−3)(x+1)=5 原方程可变形，得[(x−1)−2][(x−1)+2]=5 整理，得(x−1)2−22=5 (x−1)2=5+22，即(x−1)2=9 直接开平方并整理，得x1=4，x2=−2 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 特殊的一元二次方程的解法—开平方法（七大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（七大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 学会用开平方的方法来解一元二次方程； 2、 知道用开平方的方法来解一元二次方程的条件； 3、 了解“换元法”一元二次方程。 一、情境导入，初步认识 1.根据完全平方公式填空： （1）x2＋6x＋9＝( )2 （2）x2-8x＋16＝( )2 （3）x2＋10x＋( )2＝( )2 （4）x2-3x＋( )2＝( )2 2.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 3.你会解方程x2＋6x-16＝0吗?你会将它变成(x＋m)2＝n（n为非负数）的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？ 二、思考探究，获取新知 1.解方程：x2-2500=0. 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? 把方程写成x2=2500 这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x=或x= 因此，原方程的解为x1=50，x2=-50 【方法规律】一元二次方程的解也是一元二次方程的根. 2.解方程（2x+1）2=2 解：根据平方根的有意义，得 2x+1=或2x+1= 因此，原方程的根为 3.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？ 【方法规律】对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可直接用开平方法解. 直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d(d≥0)，然后直接开平方得x+n=和x+n=，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解. 题型1：直接开平方法解一元二次方程 1．方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 2．若，则是（    ） A．-2 B．2 C．-2或2 D．4 3．方程x2- =0的根为 ． 4．有关方程的解说法正确的是（    ） A．有两不等实数根3和 B．有两个相等的实数根3 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 5．若方程的两个根分别是与，则 ． 6．解方程： （1）；                   （2）； （3）；                  （4）． 7．计算：4（3x+1）2﹣1＝0、﹣2＝0的结果分别为（　　） A．x＝±，y＝± B．x＝±，y＝ C．x＝﹣，y＝ D．x＝﹣或﹣，y＝ 8．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件 9．下列方程能用直接开平方法求解的是(      ) A． B． C． D． 10．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 11．有下列方程：①x2-2x=0；②9x2-25=0；③(2x-1)2=1；④．其中能用直接开平方法做的是(   ) A． B． C． D． 12．方程 x2=（x﹣1）0 的解为（    ） A．x=-1 B．x=1 C．x=±1 D．x=0 13．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（    ）. A． B． C． D．任意实数 14．已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 题型3：直接开平方法解一元二次方程—复合型 15．方程(x－2)2=(2x+3)2的根是(     ) A．x1=－,x2=－5 B．x1=－5,x2=－5 C．x1=,x2=5 D．x1=5,x2=－5 16．方程(x+1)2=4(x-2)2的解是(   ) A．x=1 B．x＝5 C．x1=1，x2=5 D．x1=1，x2=-2 17．方程的解为（    ） A． B． C． D． 18．解方程： （1）；（2）． 题型3：一元二次方程的根的概念理解 19．一元二次方程的根与的根（    ） A．都相等 B．都不相等 C．有一个根相等 D．无法确定 题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式 20．关于x的方程(x+a) =b(b>0)的根是（        ） A．x=±-a B．x=±a+ C．当b≥0时，x=-a± D．当a≥0时，x=a± 21．形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次 22．方程的根的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法 23．若，则的值是（       ） A． B．3 C．3或 D．或 24．如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 25．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 题型7：直接开平方法解一元二次方程-新定义题 26．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：（1）可以运算，例如：，则 ；（2）方程的两根为 ．（根用表示）． 27．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 28．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个“新数”，使其满足(即方程有一个根为)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，那么，的值为（　　） A．0 B．1 C．-1 D． 一、单选题 1．方程的解为(　　) A． B． C． D． 2．方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．下列哪个是一元二次方程的解（   ） A．， B．， C．， D．， 4．用直接开平方法解方程，方程必须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 5．已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（    ） A． B．2 C． D．以上选项都不对 6．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（    ） A．16 B． C．25 D．或25 8．关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 9．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 10．若方程中，满足和，则方程的根是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．填空： （1）方程的根是 ． （2）方程的根是 ． 12．若关于x的一元二次方程的一个根为2，则a的值为 ． 13．已知是一元二次方程，则 ． 14．若与互为倒数，则x的值是 ． 15．如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是 ． 16．已知关于的一元二次方程的根为，那么关于y的一元二次方程的解 ． 17．定义新运算：对于任意实数m，n．都有，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题：若，则x的值是 ． 18．如图，下列图形是由相同的小圆组成的，观察图形的变化： 第1个图形：  →； 第2个图形：  →； 第3个图形：  →； 第4个图形：  →； …… 若第个图形有81个小圆，则的值为 ． 三、解答题 19．解方程： (1) ； (2)． 20．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 21．用直接开平方法解下列方程： (1)；   (2)； (3)；   (4). 22．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．用直接开平方法解方程：． 24．嘉嘉和琪琪用图中的、、、四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按的顺序运算，则琪琪列式计算得：． （1）嘉嘉说-2，对-2按的顺序运算，请列式并计算结果； （2）嘉嘉说，对按的顺序运算后，琪琪得到的数恰好等于12，求． 25．我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程． 如x2=9，（3x﹣2）2=25，…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解． 如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3． 解决问题： （1）解方程：（3x﹣2）2=25． 解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了． 解：根据乘方运算，得3x﹣2=5  或  3x﹣2=　 　． 分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1． （2）解方程． 26．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得,我们称晓东这种解法为平均数法， （1）下面是晓东用平均数法解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程， 直接开平方并整理，得，# 上述过程中的□，@，☆，＃表示的数分别为____、____、_____、____； （2）请用平均数法解方程： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$