第07讲 一元二次方程的概念（八大题型）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第07讲 一元二次方程的概念（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 了解一元二次方程的概念； 2、 知道一元二次方程的一版形式； 3、 掌握一元二次方程的根的概念，以及整体代换思想。 一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】 设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【方法规律】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项. 例1判断下列方程是否为一元二次方程： 解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是. 【方法规律】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断. 例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项. 解:2x2-13x+11=0；2，-13，11. 【方法规律】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整. 问题3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 思考 1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ 2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？ 【方法规律】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； 2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n. 题型1：一元二次方程的概念 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下面关于的方程中：①；②；③； ④（）；⑤=X-1 一元二次方程的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列叙述正确的是（    ） A．形如的方程叫一元二次方程 B．方程不含有常数项 C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0 D．是关于y的一元二次方程 4．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 题型2：一元二次方程的一般形式 5．方程的一般形式是（  ） A． B． C． D． 6．将方程3x（x﹣1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（　　） A．3 B．﹣8x C．﹣8 D．﹣10 7．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　) A． B． C．2，2，2 D．1，2，2 8．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 题型3：根据一元二次方程的概念确定参数 9．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 10．当 时，方程是一元二次方程． 11．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 12．已知是一元二次方程，则 ． 13．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 14．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 15．关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足 时，方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程． 16．关于x的一元二次方程，常数项为0，求m的值．下面是小莉和小轩的解题过程： 小莉：由题意，得，所以． 小轩：由题意，得，且，所以． 其中解题过程正确的是（    ） A．两人都正确 B．小轩正确，小莉不正确 C．小莉正确，小轩不正确 D．两人都不正确 题型4：一元二次方程的解 17．已知一元二次方程有一个根为1，则的值为（　　） A． B．2 C． D．4 18．已知关于x的方程的一个根为0，则m的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 19．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为（　　） A．2﹣ B．2+ C．1 D．﹣1 题型5：根据一元二次方程的解整体代换 20．若m是方程的一个根，则的值为 ． 21．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（    ） A．2022 B．2020 C．2019 D．2021 22．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 23．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为 ． 题型6：试根法和利用整体未知数求解方程的解 24．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 25．关于的方程必有一个根为（ ） A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2 26．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 27．如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有( ) A．2个 B．3个 C．6个 D．8个 28．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 题型7：新定义题 29．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 题型8：一元二次方程的近似求解法 30．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 31．解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 32．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是 （精确到0．01） 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（    ）． A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+3m的值为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．-2020 4．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D．-1 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．4，6，1 B．4，6， C．4，，1 D．4，， 6．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 7．已知a，b，c满足，则关于x的一元二次方程的解的情况为（    ） A． B． C．方程的解与a，b的取值有关 D．方程的解与a，b，c的取值有关 8．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 9．方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣4，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝x2＝﹣2 10．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，设，…，则的值为（    ） A．2019 B．2018 C．0 D．2020 二、填空题 11．一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是 ；它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 12．已知方程是关于的一元二次方程，则 ． 13．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ． 14．若关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的和为0，则的值是 ． 15．一元二次方程有两个解为1和﹣1，则 ， ，= ． 16．已知关于x的方程，当m 时，原方程是一元二次方程；当m 时，原方程是一元一次方程． 17．关于的一元二次方程均为常数，)的根是，则方程的根是 ． 18．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则 ， ． 三、解答题 19．把下列方程先化为一元二次方程的一般式，再写出它的二次项、一次项和常数项． （1）；               （2）． 20．下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 21．已知关于x，y的方程（﹣1）＋（k＋1）x＋（k﹣7）y＝k＋2 （1）当k取什么值时，该方程为一元一次方程？ （2）当k取什么值时，该方程为二元一次方程？ 22．若是方程的一个根，求代数式的值． 23．把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． （1）下列式子中，有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） ①x2-x-2=0；②-x2+x+2=0；③x2-2x-4=0； ④-x2+2x+4=0； ⑤x2-2x-4=0． （2）方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？ 24．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 25．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一元二次方程的概念（八大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（八大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 了解一元二次方程的概念； 2、 知道一元二次方程的一版形式； 3、 掌握一元二次方程的根的概念，以及整体代换思想。 一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】 设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2） 【方法规律】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项. 例1判断下列方程是否为一元二次方程： 解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是. 【方法规律】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断. 例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项. 解:2x2-13x+11=0；2，-13，11. 【方法规律】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整. 问题3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下： 可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 思考 1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？ 2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？ 【方法规律】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根； 2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n. 题型1：一元二次方程的概念 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A. 不是整式方程，故本选项错误； B. 符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C. 是二元一次方程，故本选项错误； D. 是一元一次方程，故本选项错误； 故选B. 2．下面关于的方程中：①；②；③； ④（）；⑤=X-1 一元二次方程的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】关于x的方程中：①ax2+x+2=0，不一定是；②3（x-9）2-（x+1）2=1，是；③，不是；④x2-a=0（a为任意实数），是； ⑤=x-1，不是，则一元二次方程的个数是2， 故选B 3．下列叙述正确的是（    ） A．形如的方程叫一元二次方程 B．方程不含有常数项 C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0 D．是关于y的一元二次方程 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的一般形式，形如的方程叫一元二次方程，可得答案． 【解析】解：A．形如的方程叫一元二次方程，故A不符合题意； B．方程的一般形式是，常数项是，故B不符合题意； C．一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数及常数项可以为0，故C不符合题意； D．是关于y的一元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的一般形式是解题关键． 4．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解析】解：①，时不是一元二次方程； ②是一元二次方程； ③是分式方程； ④为任意实数）是一元二次方程； ⑤，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程； 综上所述，一元二次方程的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 题型2：一元二次方程的一般形式 5．方程的一般形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0，c是常数）．根据一元二次方程的一般形式解答：先去括号，然后移项、合并同类项． 【解析】解：由原方程，得x2＋x−6＝5x2＋5x， 移项、合并同类项得4x2＋4x＋6＝0， 化简得：2x2＋2x＋3＝0， 故选B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式．比较简单，解题需细心，注意一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）． 6．将方程3x（x﹣1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（　　） A．3 B．﹣8x C．﹣8 D．﹣10 【答案】C 【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可． 【解析】解：方程整理得：3x2﹣8x﹣10=0，其中一次项系数为﹣8， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 7．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　) A． B． C．2，2，2 D．1，2，2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可得解． 【解析】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为． 故选：A． 8．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 3 0 【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【解析】解：，， 去括号：， 移项合并同类项：， ∴二次项系数为：；一次项系数为：，常数项为：； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：是解题的关键． 题型3：根据一元二次方程的概念确定参数 9．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．据此即可得到，且，即可求得的值． 【解析】解：由题意得， ， ， 时，原方程是一元二次方程， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，注意考虑二次项系数不为． 10．当 时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【解析】∵是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 11．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可． 【解析】解： 关于x的方程是一元二次方程， 由①得： 由②得： 所以 故答案为： 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键． 12．已知是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【解析】 解：∵是一元二次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（    ） A．3 B． C． D．0或 【答案】B 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【解析】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键. 14．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【解析】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3． 故选B． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程． 15．关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足 时，方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程． 【答案】 【分析】分别根据一元二次方程和一元一次方程的定义列式求解即可. 【解析】解：由题意得：m2﹣4≠0，解得：，即当时，方程为一元二次方程； 由题意得：m2﹣4＝0，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2，即当m＝﹣2时，方程为一元一次方程． 故答案为：；m＝﹣2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程是通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程；一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 16．关于x的一元二次方程，常数项为0，求m的值．下面是小莉和小轩的解题过程： 小莉：由题意，得，所以． 小轩：由题意，得，且，所以． 其中解题过程正确的是（    ） A．两人都正确 B．小轩正确，小莉不正确 C．小莉正确，小轩不正确 D．两人都不正确 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义和绝对值的性质进行计算，然后即可得出答案． 【解析】由题意，得，且， 解得．故小轩正确，小莉不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，得出关于m的方程是解题关键． 题型4：一元二次方程的解 17．已知一元二次方程有一个根为1，则的值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可． 【解析】解：把代入方程得， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18．已知关于x的方程的一个根为0，则m的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】D 【分析】把代入一元二次方程后得到有关m的方程，求解即可得到m的值． 【解析】解：将代入一元二次方程得， ， 解得，或0， ∵，即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的定义，逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析． 19．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为（　　） A．2﹣ B．2+ C．1 D．﹣1 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝2+代入关于x的方程x2﹣4x+c＝0，列出关于c的新方程，通过解新方程来求c的值． 【解析】解：∵2+是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根， ∴2+满足方程x2﹣4x+c＝0， ∴（2+）2﹣4（2+）+c＝0， 解得c＝1． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的定义． 题型5：根据一元二次方程的解整体代换 20．若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】由题意知，即，再将整理并将整体代入计算求解即可． 【解析】解：由题意知：，即， ∴ =2023． 故答案为：2023． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义． 21．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（    ） A．2022 B．2020 C．2019 D．2021 【答案】D 【分析】设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2021． 【解析】由得到， 对于一元二次方程， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键． 22．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：是一元二次方程0的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 23．关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，则a的值为 ． 【答案】/1.5/ 【分析】根据方程根的定义得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54变形后，利用整体代入，得到关于a的一元二次方程，解方程后去掉不合题意的解即可． 【解析】解：∵关于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为m，n， ∴， ∴， ∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54， ∴[2（am2－2bm＋a）] [3(an2－2bn)－2a]＝54 ∴ 解得或 ∵ab≠0 ∴a，b均为非零实数， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入的方法，熟练掌握整体代入的方法是解题的关键． 题型6：试根法和利用整体未知数求解方程的解 24．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【解析】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 25．关于的方程必有一个根为（ ） A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2 【答案】A 【分析】分别把，，，代入中，利用一元二次方程的解，当为任意值时，则对应的的值一定为方程的解. 【解析】解：A、当是，，所以方程必有一个根为1，所以A选项正确； B、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以B选项错误； C、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以C选项错误； D、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以D选项错误.故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键. 26．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】把化为： 再结合题意可得从而可得方程的解. 【解析】解：可化为： 关于的一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为 故选D 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键. 27．如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有( ) A．2个 B．3个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】先把等式左边展开，由对应相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均为整数，求出k的值即可． 【解析】解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18， ∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18， ∴a+b=k，ab=18， ∵a，b，k均为整数， ∴a=±1，b=±18，k=±19； a=±2，b=±9，k=±11； a=±3，b=±6，k=±9； 故k的值共有6个， 故选C． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握． 28．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解析】∵，，a+c=0 ∴， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念． 题型7：新定义题 29．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 【答案】 【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0， ∴“天宫”方程的一个解为， 方程是“天宫”方程， ， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键． 题型8：一元二次方程的近似求解法 30．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【解析】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 31．解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【解析】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 二、填空题 32．根据表格估计方程x2+2x=6其中一个解的近似值． x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 … 根据表格，求方程x2+2x=6的一个解大约是 （精确到0．01） 【答案】1.65 【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解． 【解析】解：6-5.9696=0.0304， 6.0225-6=0.0225， ∵0.0304＞0.0225， ∴6.0225比5.9696更逼近6， ∴ 方程x2+2x=6的一个解大约是1.65， 故答案为：1.65． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近． 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件逐项判断即可． 【解析】A．，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意． B．，含有两个未知数，故该选项不符合题意． C．，不是整式方程，故该选项不符合题意． D．，a可能为0，即二次项系数可能为0，故该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．直接去括号进而移项，得出答案． 【解析】解：， ， ， ， 故选：B． 3．已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+3m的值为（   ） A．2020 B．2021 C．2019 D．-2020 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2-3m=-1，再把2020﹣m2+3m变形为2020﹣（m2-3m），然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：∵m为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根． ∴m2-3m+1=0， 即m2-3m=-1， ∴2020﹣m2+3m =2020﹣（m2-3m）=2020-（-1）=2020+1=2021． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．0 B． C．1 D．-1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义解答，（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．所以m2+1=2，且m-1≠0，解得m的值只能是-1． 【解析】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：m=-1， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．4，6，1 B．4，6， C．4，，1 D．4，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解析】解：， 整理得， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，，1， 故答案为：C． 6．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答. 【解析】符合一元二次方程定义的是， 故选：D. 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义，掌握一元二次方程的构成特点是解题的关键. 7．已知a，b，c满足，则关于x的一元二次方程的解的情况为（    ） A． B． C．方程的解与a，b的取值有关 D．方程的解与a，b，c的取值有关 【答案】A 【解析】∵，∴①，②，②-①得，∴，分别代入原方程中，得，解得． 8．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】C 【分析】由题意，设，则，然后结合方程的根是，即可求出答案． 【解析】解：根据题意，设， ∵， ∴， ∵一元二次方程有一根为， ∴的一个根为， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握换元法求一元二次方程的解． 9．方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣4，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝x2＝﹣2 【答案】B 【分析】根据方程a(x+m)2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，可知方程a(x+m+2)2+b＝0的解比方程a(x+m)2+b＝0的解小2，从而可以得到方程a(x+m+2)2+b＝0的解． 【解析】方程a(x+m)2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1， 方程a(x+m+2)2+b＝0的两个解是x3＝﹣2﹣2＝﹣4，x4＝1﹣2＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，了解一元二次方程解的意义是解题关键． 10．已知m，n是关于x的方程的两个实数根，设，…，则的值为（    ） A．2019 B．2018 C．0 D．2020 【答案】C 【解析】∵，，，∴．∵m，n是方程的两个实数根，∴，∴． 二、填空题 11．一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是 ；它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5x2+8x﹣2＝0 5 8 -2 【分析】将等式左边利用整式的乘法法则计算，再整理为一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义解答． 【解析】解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2＝0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2． 故答案为：5x2+8x﹣2＝0，5，8，﹣2． 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，整式的乘法计算法则，熟记一元二次方程的定义是解题的关键． 12．已知方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】-3 【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可． 【解析】解：是关于的一元二次方程， ， 解得：. 故答案为：-3. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件． 13．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】利用一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件判断即可确定出m的范围． 【解析】由题意，得，且， 所以且， 故答案是：且． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 14．若关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的和为0，则的值是 ． 【答案】1 【分析】二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-2，-m+2．它们的和是0，即得到解方程求出m即可． 【解析】解：由题意可得，解得． 故答案为1. 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 15．一元二次方程有两个解为1和﹣1，则 ， ，= ． 【答案】 0 0 0 【分析】一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；分别将1和﹣1代入方程即可得到两个关系式的值，将两式相减即可得到b的值． 【解析】将1代入方程得：a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0①； 将﹣1代入方程得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c=0，即a﹣b+c=0②； ①－②得：b=0． 故答案为0，0，0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义． 16．已知关于x的方程，当m 时，原方程是一元二次方程；当m 时，原方程是一元一次方程． 【答案】 m≠±1 m=±1 【分析】（1）由一元二次方程的定义得到：m2﹣1≠0，由此可以求得m的值； （2）根据一元一次方程的定义得到：m2﹣1=0且m－2≠0，由此可以求得m的值． 【解析】（1）∵关于x的方程，是一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得：m≠±1； （2）∵关于x的方程，是一元一次方程，∴m2﹣1=0且m－2≠0，解得：m=±1． 【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义．注意，一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零． 17．关于的一元二次方程均为常数，)的根是，则方程的根是 ． 【答案】 【分析】将进行变形可得，再根据 的根为，可得，或即可求解. 【解析】解：∵关于的一元二次方程均为常数，)的根是， 将方程变形为，则此方程中或，解得. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握并准确应用是解题的关键. 18．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则 ， ． 【答案】 ； ； 【分析】将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，，据此求解即可． 【解析】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴，也为有理数， 故当时候，只有，， ∴，， 故答案是：，； 【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键． 三、解答题 19．把下列方程先化为一元二次方程的一般式，再写出它的二次项、一次项和常数项． （1）；               （2）． 【答案】答案见解析 【分析】（1）首先移项，把等号右边化为0，再确定二次项、一次项和常数项即可； （2）首先去括号，移项、合并同类项，把等号右边化为0，再确定二次项、一次项和常数项即可． 【解析】（1），，二次项是，一次项是－5x，常数项是﹣3； （2），，，，二次项是，一次项是x，常数项是﹣5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项． 20．下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析；（6）见解析. 【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式、二次项系数、一次项系数及常数项的定义判断即可. 【解析】解：（1）未知数最高次数是1，故不是一元二次方程； （2）是一元二次方程，一般形式为：，二次项系数是：1，一次项系数是：0，,常数项是：-4； （3）是分式方程，故不是一元二次方程； （4）将方程左右展开后可得：4x+8=0，未知数最高次数是1，故不是一元二次方程； （5）方程中，当a=0时不是一元二次方程，故不是一元二次方程； （6）是一元二次方程，一般形式为：，二次项系数是：2，一次项系数是：-5，,常数项是：7. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0），在一般形式中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 21．已知关于x，y的方程（﹣1）＋（k＋1）x＋（k﹣7）y＝k＋2 （1）当k取什么值时，该方程为一元一次方程？ （2）当k取什么值时，该方程为二元一次方程？ 【答案】（1）k＝﹣1；（2）k＝1． 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到﹣1＝0且k+1＝0；或﹣1＝0，且k﹣7＝0； （2）根据二元一次方程的定义得到﹣1＝0、k+1≠0且k﹣7≠0． 【解析】解：（1）①当该方程是关于y的一元一次方程时， 则﹣1＝0且k+1＝0， 解得k＝﹣1． ②当该方程是关于x的一元一次方程时， ﹣1＝0，k+1≠0且k﹣7＝0， 解得k＝﹣1且k＝7， 所以k无解． 综上所述，当k＝﹣1时，该方程为关于y的一元一次方程； （2）依题意，得 ﹣1＝0、k+1≠0且k﹣7≠0． 解得k＝1． 答：当k＝1时，该方程为二元一次方程． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义、一元一次方程的定义，熟练掌握系数与定义的关系，灵活运用分类思想求解是解题的关键． 22．若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将a代入方程再将方程变换，代入所求代数式即可求解； 【解析】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将方程正确进行变换是解题的关键． 23．把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答． （1）下列式子中，有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号） ①x2-x-2=0；②-x2+x+2=0；③x2-2x-4=0； ④-x2+2x+4=0； ⑤x2-2x-4=0． （2）方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？ 【答案】（1）①，②，③，④；（2）二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）． 【分析】（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以-1，-2，2, 即可变形得到正确选项； （2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）． 【解析】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）， 因此①，②，③，④是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式． （2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）， 在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项． 其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 若设方程x2-x=2的二次项系数为a（a≠0）， 则一次项系数为-2a，常数项为-4a， 因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．综述, 这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 24．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【解析】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 25．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； (2)求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【解析】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 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