第03讲 一元二次方程的根与系数间的关系（2大考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第03讲 一元二次方程的根与系数间的关系 课程标准 学习目标 1 理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）； 2 能运用根与系数的关系解决相关问题. 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系； 2. 学会运用根与系数关系解决问题； 3. 提升分析问题和解决问题的能力. 知识点一、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 知识点二、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 题型01 利用根与系数间的关系求代数式的值 1．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）﹣2x2+3＝0； （2）x2﹣7x﹣3＝0； （3）3x（x﹣2）＝5． 【分析】（1）根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程﹣2x2+3＝0的两根之和与两根之积； （2）根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程x2﹣7x﹣3＝0的两根之和与两根之积； （3）将原方程化为一般式，根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程3x（x﹣2）＝5的两根之和与两根之积． 【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝0，c＝3， ∴x1+x20，x1•x2； （2）∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣3， ∴x1+x27，x1•x23； （3）原方程化为一般式为3x2﹣6x﹣5＝0． ∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣5， ∴x1+x22，x1•x2． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的一般式，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 2．设x1，x2是方程2x2﹣6x﹣1＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． （1）x12+x22； （2）（x1﹣1）（x2﹣1）． 【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，各式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣6x﹣1＝0的两个实数根 ∴x1+x2＝3，x1x2， （1）原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝9+1＝10； （2）原式＝x1x2﹣（x1+x2）+13+1＝﹣2． 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解本题的关键． 3．关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0 （1）不解方程，判断方程根的情况； （2）若方程有一个根为1，求方程的另外一个根． 【分析】（1）找出方程a、b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断； （2）将x＝1代入方程得到关于m的方程，进而解方程即可． 【解答】解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣×1×（m2﹣1）＝4＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）把x＝1代入方程x2+2mx+m2﹣1＝0并整理，得m2+2m＝0．解得m1＝0，m2＝﹣2． 当m＝0时，原方程为x2﹣1＝0．解得x1＝1，x2＝﹣1． 当m＝﹣2时，原方程为x2﹣4x+3＝0．解得x1＝1，x2＝3． ∴方程的另外一个根是﹣1或3． 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”． 4．已知一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，不解方程，求的值． 【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝3，x1•x2，将转化为只含x1+x2和x1•x2的形式，代入数据即可得出结论． 【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两实数根为x1、x2， ∴x1+x2＝3，x1•x2． ∴2＝﹣20． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是求出x1+x2＝3，x1•x2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键． 题型02 利用根与系数间的关系构造一元二次方程 1．请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根为1，则你构造的一元二次方程是 　 　． 【分析】根据根与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵一元二次方程的一个根为2，另一根为1， ∴2+1＝3，2， ∴该一元二次方程可以为：x2﹣3x+2＝0， 故答案为：x2﹣3x+2＝0（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键． 2．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1和x2，那么x1+x2，x1x2． 例如：方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2，x1x2． 请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题： （1）已知方程3x2﹣7＝11x的两根分别是x1和x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　． （2）已知方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1和x2，求x12+x22的值． （3）已知α和β是方程2x2+3x﹣1＝0的两根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和β． 【分析】（1）根据题目中的材料，可以求得x1+x2和x1x2的值； （2）根据题目中的材料，可以求得x1+x2和x1x2的值，然后通过转化，可以得到x12+x22的值； （3）根据题意，可以得到α+β，αβ，进而得到（）+（β）＝α+β，（）（β）＝αβ2，即可得到以和β为根的一元二次方程． 【解答】解：（1）∵方程3x2﹣7＝11x的两根分别是x1，x2， ∴方程3x2﹣11x﹣7＝0的两根分别是x1，x2， ∴x1+x2，x1x2， 故答案为：，； （2）∵方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1和x2， ∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3， ∴（x1+x2）2＝25， ∴x12+2x1x2+x22＝25， ∴x12+x22＝25﹣2x1x2＝25﹣2×（﹣3）＝31； （3）∵α和β是方程2x2+3x﹣1＝0的两根， ∴α+β，αβ， ∴（）+（β）＝α+β，（）（β）＝αβ2， ∴构造一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，它的两根分别是和β． 【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 3．阅读材料： 材料1：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：x1+x2，x1•x2． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可将m、n看作是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a、b满足a+b＝3、ab＝2，则可以将a、b看作是方程x2﹣3x+2＝0的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，求的值． （2）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5，ab，且c＜5，求c的最大值． 【分析】（1）当m≠n时，m、n是方程3x2﹣x﹣2＝0的两根，利用根与系数的关系可求得m+n和mn的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当m＝n时，易得原式＝2； （2）将a、b看作是方程x2﹣（c﹣5）x0的两实数根；利用判别式的意义得到Δ＝（c﹣5）2﹣40，所以（5﹣c）3≥64，解得c≤1，从而得到c的最大值． 【解答】解：（1）当m≠n时， ∵实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0， ∴m、n可看作方程3x2﹣x﹣2＝0的两根， ∴m+n，mn， ∴原式， 当m＝n，则原式＝1+1＝2； 综上所述，原式的值为或2； （2）∵a+b＝c﹣5，ab， ∴将a、b看作是方程x2﹣（c﹣5）x0的两实数根． ∵Δ＝（c﹣5）2﹣40， 而c＜5， ∴（5﹣c）3≥64， ∴5﹣c≥4， 即c≤1， ∴c的最大值为1． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了判别式的意义． 4．【背景】法国数学家弗朗索瓦•韦达于1615年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． 【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根x1、x2满足： 1 x1+x2＝﹣3，x1•x2＝2 　 　； 2 x1+x2＝A，x1•x2＝B x 2+　 　x+　 　＝0． 【应用】，，若（3m2﹣12m+a）•（4n2﹣16n﹣7）＝30，求a的值． 【推广】若实数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝2，求正数c的最小值． 【分析】【探究】①②均根据一元二次方程根与系数的关系：，把二次项的系数固定为1，然后根据根与系数的关系，写出答案即可； 【应用】先根据已知条件，把m，n的值代入所给的等式，进行计算化简，得到关于a的方程，进行解答即可； 【推广】先根据已知条件，把a+b和ab用含有c的式子表示出来，把a，b看作一个一元二次方程的根，根据根与系数的关系，写出一个含有字母参数c的一元二次方程，根据c是正数，判断方程根的情况，列出不等式，求出c的取值范围，从而求出答案． 【解答】解：【探究】①∵x1+x2＝﹣3，x1•x2＝2， ∴写出的方程为：x2+3x+2＝0， 故答案为：x2+3x+2＝0； ②∵x1+x2＝A，x1•x2＝B， ∴写出的方程为：x2﹣Ax+B＝0， 故答案为：﹣A，B； 【应用】∵， ∴， 12m， 16n， ∴（3m2﹣12m+a）•（4n2﹣16n﹣7）＝30， ， ﹣15（a﹣6）＝30， a﹣6＝﹣2， a＝4； 【推广】∵a+b+c＝0，abc＝2， ∴a+b＝﹣c，ab， ∴方程两根是a和b的一元二次方程为：， ∵c是正数， ∴方程一定有两根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， ， c3﹣8≥0， c3≥8， c≥2， ∴正数c的最小值为2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系等知识点，能求出m的值是解此题的关键． 题型03 利用根与系数间的关系求参数的取值范围 1．若方程2x2+x﹣2m+1＝0有一正实根和一负实根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：由根与系数的关系可知：﹣2m+1＜0， ∴m， 由Δ＝1﹣8（﹣2m+1）＞0， ∴m， ∴m， 故选：B． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式，本题属于基础题型． 2．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根． （1）m的取值范围是 　　． （2）若满足，则m的值为 　　． 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可知Δ＞0，求出m的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝（2m+3）2﹣4m2＞0，解得， 故答案为：； （2）∵α，β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2． ∵， ∴﹣（2m+3）＝﹣m2，解得m1＝3，m2＝﹣1（舍弃）． ∴m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，是解答此题的关键． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x1，x2满足，求m的值． 【分析】（1）根据Δ＞0，构建不等式求解； （2）构建方程求解． 【解答】解：（1）由题意Δ＞0， ∴4﹣4（m﹣3）＞0， ∴4﹣4m+12＞0， ∴m＜4； （2）∵x2﹣2x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根x1，x2． ∴x1+x2＝3，x1x2＝m﹣3， ∵4， ∴4， ∴4， ∴m． 经检验m是分式方程是解．故m． 【点评】本题考查根与系数关系，根的判别式等知识，解题的关键是掌握一元二次方程的根与系数关系． 4．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2﹣k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若，求k的值． 【分析】（1）根据有两个不相等的实根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据根于系数的关系可知x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k2﹣k﹣1，代入x1x2﹣2（x1+x2）+1＝0构造关于k的方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k）2﹣4（k2﹣k﹣1）＝4k+4＞0， ∴k＞﹣1； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k2﹣k﹣1， ∵， ∴•3， ∴x1x2﹣2（x1+x2）+1＝0， ∴k2﹣k﹣1+4k+1＝0， 解得：k＝0或﹣3（舍去）， ∴k的值为0． 【点评】本题考查了根的判别式，根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 题型04 利用根与系数间的关系解决字母系数存在性问题 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根． （1）若x1＝1，求x2及m的值； （2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据一元二次方程根和系数的关系，得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，即可求出x2及m的值； （2）将x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1代入（x1﹣1）（x2﹣1），整理得：m2﹣8m+12＝0，求出m的值，然后再舍去不合题意的值即可． 【解答】解：（1）根据题意得，x1x22m﹣1，x1+x2＝6， 若x1＝1，1+x2＝6，解得x2＝5， ∵52m﹣1， 解得：x2＝5，m＝3； （2）∵（x1﹣1）（x2﹣1）， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1， ∵x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1， ∴2m﹣1﹣6+1， 整理得：m2﹣8m+12＝0， 解得：m1＝2，m2＝6， 经检验m1＝2，m2＝6为原方程的解， 又∵一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0， 解得：m≤5， ∴m＝2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，根和系数的关系，解分式方程，熟练掌握一元二次方程根和系数的关系：x1+x2，x1x2是解题关键． 2．关于x的方程kx2+（k+2）x0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）方程kx2+（k+2）x0有两个不相等的实数根，由此可得判别式是正数，这样即可得到关于k的不等式，解不等式即可求解； （2）设方程kx2+（k+2）x0的两个根分别为x1、x2，由根与系数的关系式得：x1+x2，x1•x2，又因为，然后把前面的等式代入其中即可求得k，然后利用（1）即可判断结果． 【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（k+2）2﹣4k•0且k≠0， ∴k2+4k+4﹣k2＞0，且k≠0， ∴k＞﹣1且k≠0， 即k的取值范围是k＞﹣1且k≠0． （2）不存在．理由如下： ∵关于x的方程kx2+（k+2）x0的两根分别为x1、x2， ∴x1+x2，x1•x2， 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，则x1，x2不为0，且0， ∴0， ∴k+2＝0， ∴k＝﹣2， 而k＝﹣2与方程有两个不相等实数根的条件k＞﹣1且k≠0矛盾， 故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在． 【点评】本题考查了一元二次方程的根及其一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴4（k+1）2﹣4k（k﹣1）＞0， 即12k+4＞0， 解得，k， 又k≠0， ∴k且k≠0； （2）不存在． x1+x2，x1•x2， 由题意得，1， 即1， 解得，k＝﹣3， ∵k且k≠0时方程有两个不相等的实数根， ∴不存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 4．已知关于x的方程2x2﹣（k﹣1）xk2有两个实数根x1、x2． （1）求的取值范围； （2）是否存在k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×2k2≥0，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到x1+x2，x1•x2k2，，再变形得到∴（x1+x2）2﹣2x1•x2，所以∴（）2k2，解关于k的方程得到k1＝6，k2＝﹣2，然后利用k的范围可确定k＝﹣2满足条件． 【解答】解：（1）2x2﹣（k﹣1）xk2整理得2x2﹣（k﹣1）xk2＝0， 根据题意得Δ＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×2k2≥0， 解得k； （2）成立． 根据题意得x1+x2，x1•x2k2， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2， ∴（）2k2， 整理得k2﹣4k﹣12＝0， 解得k1＝6，k2＝﹣2， ∵k， ∴当k＝﹣2时，成立． 【点评】本题考查了根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则x1+x2，x1•x2．也考查了根的判别式． 1．已知x1与x2分别为方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值等于（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可直接求解． 【解答】解：∵x1与x2分别为方程x2+2x﹣3＝0的两根， x1+x2＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握根据根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两个根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2是解决问题的关键． 2．若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（　　） A．12 B．10 C．7 D．4 【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝3，αβ＝1，再根据α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ继续求解即可． 【解答】解：∵方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α，β， ∴α+β＝3，αβ＝1， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝9﹣2＝7， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式等，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 3．已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2＝5，那么b的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3 【分析】直接利用根与系数的关系得出x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，进而求出答案． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣b， x1x2＝﹣3， 则x1+x2﹣3x1x2＝5， ﹣b﹣3×（﹣3）＝5， 解得：b＝4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，正确得出x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3是解题关键． 4．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝8， ∵x1＝3x2， 解得x1＝6，x2＝2， ∴m＝x1x2＝6×2＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 5．（1）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1、x2，则5x1﹣2x2的值为 　﹣7　． （2）若m、n是方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为 　2042　． 【分析】（1）根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出3x1＝﹣1，x1+x2＝3，再整体代入即可求出结论． （2）由m，n是方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根可得：m2＝2m+2，n2＝2n+2，m+n＝2，代入所求式子即可得到答案． 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2， ∴3x1＝﹣1，x1+x2＝3， ∴5x1﹣2x23x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7． 故答案为：﹣7． （2）∵m，n是方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根， ∴m2﹣2m﹣2＝0，n2﹣2n﹣2＝0，m+n＝2， ∴m2＝2m+2，n2＝2n+2， ∴2m2+4n2﹣4n+2022 ＝2（2m+2）+4（2n+2）﹣4n+2022 ＝4m+4+8n+8﹣4n+2022 ＝4（m+n）+2034 ＝4×2+2034 ＝2042． 故答案为：2042． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用． 6．已知方程x2+bx+3＝0的一根为，则方程的另一根为 　　． 【分析】设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：设方程的另一个根为c， ∵（）c＝3， ∴c． 故答案为：． 【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键． 7．已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m3﹣5m+5n＝　﹣18　． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣1＝0，即m2＝﹣3m+1，m3＝﹣3m2+m，再把m3﹣5m+5n化简为用m和n的一次式表示得到5（m+n）﹣3，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根， ∴m2+3m﹣1＝0，且m≠0，m+n＝﹣3， ∴m2＝﹣3m+1， ∴m3＝﹣3m2+m， ∴m3﹣5m+5n ＝﹣3m2+m﹣5m+5n ＝﹣3（﹣3m+1）﹣4m+5n ＝5m+5n﹣3 ＝5（m+n）﹣3， ∴原式＝5×（﹣3）﹣3＝﹣18， 故答案为：﹣18． 【点评】本题考查根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键，也考查一元二次方程的解的定义，运用了整体代入和恒等变换的思想． 8．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则另一个根是 　﹣2　． 【分析】设另一个根为m，则3m＝﹣6，解答即可． 【解答】解：设另一个根为m，则3m＝﹣6， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系式是解题关键． 9．设x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，则x1+x2＝1，则|x1﹣x2|＝　5　． 【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，将其代入∴|x1﹣x2|中即可求出结论． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根， ∴x1+x2＝m＝1，x1x2＝﹣6， ∴|x1﹣x2|5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 10．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2（m+1）、x1x2＝m2+2，结合（x1+1）（x2+1）＝8可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，结合m的取值范围即可确定m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0总有两个实数根， ∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0， 解得：m． （2）∵x1、x2为方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根， ∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2． ∵（x1+1）（x2+1）＝8， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝8， ∴m2+2+2（m+1）+1＝8， 整理，得：m2+2m﹣3＝0，即（m+3）（m﹣1）＝0， 解得：m1＝﹣3（不合题意，舍去），m2＝1， ∴m的值为1． 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合（x1+1）（x2+1）＝8找出关于m的一元二次方程． 11．关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知等腰△ABC的一边长c＝3，另两边长a、b恰是方程的两个根，求△ABC的周长． 【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＞0，然后利用判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到x1＝k+1，x2＝k，当k+1＝3时，k＝2；当k＝3时，k+1＝4，然后分别计算对应的△ABC的周长． 【解答】（1）证明：∵△＝（2k+1）2﹣4（k2+k） ＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵x， ∴x1＝k+1，x2＝k， 当k+1＝3时，k＝2，此时△ABC的周长为3+3+2＝8； 当k＝3时，k+1＝4，此时△ABC的周长为3+3+4＝10； 综上所述，△ABC的周长为8或10． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式和三角形三边的关系． 12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2＝﹣1，求m的值 【分析】（1）根据判别式的范围进行证明即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）， ＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m， ＝1＞0， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2m+1，， ∴2x1x2+x1+x2＝﹣1， 2（m2+m）+2m+1＝﹣1， 2m2+2m+2m+1＝﹣1， 2m2+4m+2＝0， （m+1）2＝0， m＝﹣1． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系、根的判别式是解题的关键． 13．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，求的值． 【分析】由题意1＝（）2﹣21．推出m1，可得结论． 【解答】解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0． 两边除以n2得到，10． 即1＝0， 又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m． ∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴m2， ∴m+1m1＝2+1＝3． 【点评】本题考查根与系数的关系，分式的值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 14．已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0． （1）求证：无论k为何值，原方程都有实根； （2）若该方程的两实根x1，x2为一菱形的两条对角线的长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k的值． 【分析】（1）首先计算根的判别式，再根据判别式的值判断方程根的情况； （2）由根与系数关系及x1x2+2x1+2x2＝36可以得到关于k的一元二次方程，解方程可以得到k的值，再根据菱形的对角线为正数可得x1+x2＞0，从而可以求得答案． 【解答】（1）证明：根据题意得： Δ＝[﹣（3k+3）]2﹣4（2k2+4k+2）＝（k+1）2≥0， ∴无论k为何值，原方程都有实根； （2）解：∵x1、x2是x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0的两根， ∴x1+x2＝3k+3，， ∴由x1x2+2x1+2x2＝36得，2k2+4k+2+2（3k+3）＝36， 解得：k1＝2，k2＝﹣7． ∵x1，x2为一菱形的两条对角线的长， ∴x1+x2＞0，x1x2＞0， ∴k＝2． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，菱形的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 15．已知在关于x的分式方程2①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个实数根x1，x2，且满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），k为负整数时，试判断m2≤4是否成立，并说明理由． 【分析】（1）分式方程的根x是非负数，即x0． （2）一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0的二次项系数2﹣k的值不为0，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2，x1x2，本题中a是2﹣k，b是3m，c是（3﹣k）n．利用根与系数的关系和判别式大于等于0，列出方程和不等式组，进行运算即可． 【解答】解：（1）解分式方程①得x． ∵方程①的根为非负数， ∴，解得k≥﹣1且k≠1． 又一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0中，2﹣k≠0，所以k≠2． 综上所述可知k≥﹣1且k≠1，2． （2）m2≤4成立．理由如下： ∵k是负整数，k≥﹣1且k≠1，2， ∴k＝﹣1． ∵方程②有两个实数根x1，x2， ∴ ∴n． 化简x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），得（x1+x2）2＝3x1x2+k2，将代入，得（﹣m）2＝3n+（﹣1）2， ∴m2﹣4n＝1，n③，Δ＝（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n＝9m2﹣48n＞0④，把③代入④得9m2﹣480， 整理，可得m2≤4． 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，正确记忆相关公式是解题关键． 16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”； （2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值； （3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值． 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝m，再根据新定义m＝4或m＝1，然后把m＝4或m＝1代入所求的代数式中进行分式的运算即可； （3）设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α⋅2α＝32，然后求出α，再计算对应的m的值． 【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝2，x2＝1， 则方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”； （2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，x﹣2＝0或x﹣m＝0， 解得x1＝2，x2＝m， ∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”， ∴m＝4或m＝1， 当m＝4时，m2+2m+2＝16+8+2＝26； 当m＝1时，m2+2m+2＝1+2+2＝5， 综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5； （3）根据题意，设方程的根的两根分别为α、2α， 根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α⋅2α＝32， 解得α＝4，m＝13或α＝﹣4，m＝﹣11， ∴m的值为13或﹣11． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了阅读理解能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程的根与系数间的关系 课程标准 学习目标 1 理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）； 2 能运用根与系数的关系解决相关问题. 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系； 2. 学会运用根与系数关系解决问题； 3. 提升分析问题和解决问题的能力. 知识点一、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 知识点二、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 题型01 利用根与系数间的关系求代数式的值 1．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）﹣2x2+3＝0； （2）x2﹣7x﹣3＝0； （3）3x（x﹣2）＝5． 2．设x1，x2是方程2x2﹣6x﹣1＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． （1）x12+x22； （2）（x1﹣1）（x2﹣1）． 3．关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0 （1）不解方程，判断方程根的情况； （2）若方程有一个根为1，求方程的另外一个根． 4．已知一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两实数根为x1、x2，不解方程，求的值． 题型02 利用根与系数间的关系构造一元二次方程 1．请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根为1，则你构造的一元二次方程是 　 　． 2．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1和x2，那么x1+x2，x1x2． 例如：方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2，x1x2． 请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题： （1）已知方程3x2﹣7＝11x的两根分别是x1和x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　． （2）已知方程x2+5x﹣3＝0的两根分别是x1和x2，求x12+x22的值． （3）已知α和β是方程2x2+3x﹣1＝0的两根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和β． 3．阅读材料： 材料1：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：x1+x2，x1•x2． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可将m、n看作是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a、b满足a+b＝3、ab＝2，则可以将a、b看作是方程x2﹣3x+2＝0的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，求的值． （2）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5，ab，且c＜5，求c的最大值． 4．【背景】法国数学家弗朗索瓦•韦达于1615年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． 【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根x1、x2满足： 1 x1+x2＝﹣3，x1•x2＝2 　 　； 2 x1+x2＝A，x1•x2＝B x 2+　 　x+　 　＝0． 【应用】，，若（3m2﹣12m+a）•（4n2﹣16n﹣7）＝30，求a的值． 【推广】若实数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝2，求正数c的最小值． 题型03 利用根与系数间的关系求参数的取值范围 1．若方程2x2+x﹣2m+1＝0有一正实根和一负实根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 2．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根． （1）m的取值范围是 　　． （2）若满足，则m的值为 　　． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x1，x2满足，求m的值． 4．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2﹣k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若，求k的值． 题型04 利用根与系数间的关系解决字母系数存在性问题 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根． （1）若x1＝1，求x2及m的值； （2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 2．关于x的方程kx2+（k+2）x0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 3．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由． 4．已知关于x的方程2x2﹣（k﹣1）xk2有两个实数根x1、x2． （1）求的取值范围； （2）是否存在k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 1．已知x1与x2分别为方程x2+2x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值等于（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 2．若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（　　） A．12 B．10 C．7 D．4 3．已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2＝5，那么b的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3 4．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 5．（1）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1、x2，则5x1﹣2x2的值为 　 　． （2）若m、n是方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为 　 　． 6．已知方程x2+bx+3＝0的一根为，则方程的另一根为 　 　． 7．已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则m3﹣5m+5n＝　 　． 8．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则另一个根是 　 　． 9．设x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，则x1+x2＝1，则|x1﹣x2|＝　 　． 10．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值． 11．关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）已知等腰△ABC的一边长c＝3，另两边长a、b恰是方程的两个根，求△ABC的周长． 12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2＝﹣1，求m的值 13．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，求的值． 14．已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0． （1）求证：无论k为何值，原方程都有实根； （2）若该方程的两实根x1，x2为一菱形的两条对角线的长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k的值． 15．已知在关于x的分式方程2①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个实数根x1，x2，且满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），k为负整数时，试判断m2≤4是否成立，并说明理由． 16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”； （2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值； （3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$