1.6 有理数的乘方讲义 2023—2024学年沪科版数学七年级上册

1.6 有理数的乘方 本节课知识框架： 知识点1：有理数的乘方 知识点2：有理数的混合运算 知识点3：用科学记数法表示数 本节课重难点： 重点：有理数的乘方和用科学记数法表示数 难点：有理数的混合运算 本节课学习目标： 1、 理解乘方的意义,会进行有理数的乘方运算 2、 掌握有理数混合运算的法则和运算顺序,能熟练地进行有理数的加、减、乘除、乘方的混合运算 3、 学会用科学记数法表示绝对值大于或等于10的数 知识点1：乘方的意义 知识点讲解 1.乘方 求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂.一般地， 记作 an，读作 “a 的 n 次方”，其中a 叫做底数， n 叫做指数.当 an 看作 a 的 n 次方的结果时，也可读作“a 的 n 次幂”. 2. 乘方的意义 an 表示 n 个相同因数 a 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 . 例题1：填空： (1) (－2) 5 的底数是 _________， 指数是_________ ， 它表示 _____________. (2) －25 的底数是_________ ， 指数是 ___________， 它表示 ___________. (3) ( －) 2的底数是 ________，指数是________ ，它表示_________ . 1.当底数是分数或负数时，要用括号将底数括起来，若没有括号，则底数就改变了 . 2.一个数可以看作这个数本身的一次方，例如4就是41， m就是m1，指数1 通常省略不写 . 方法总结 知识点讲解 ：乘方的运算法则 1.有理数的乘方运算法则 (1)正数的任何次乘方都取正号； (2)负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号； (3) 0 的任何正整数次幂都是 0. 2.有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值 . 特别地，当底数较大时，可借助于计算器计算 . 3. 用计算器计算乘方 不同类型的计算器操作方法可能有所不同，用计算器计算时，要弄清计算器中每个键的作用，结合有理数运算的顺序，进行计算 . 例题2：计算： (1) (－ 5 ) 4； (2) － 54；(3) () 3； (4) (－ ) 3 ；(5) (－1) 2 024； (6) (－1 )4. 方法总结： an， － an 及(－ a ) n 的区别与联系 an －an (－a) n 相同点 指数都是 n 不同点 意义不同 n 个 a 相乘的积 n 个 a 相乘的积的相反数 n 个 －a 相乘的积 底数不同 a a －a 联系 n 为奇数 －an=(－a) n，且 －an，(－a) n 都与 an 互为相反数( a ≠ 0) n 为偶数 an=(－a)n，且an，(－a)n都与－an互为相反数( a≠0) n 为正整数 an=－an=(－a) n=0( a=0) 牛刀小试： 第一题：32可表示为(　　) A. 3×2 B. 2×2×2 C. 3×3 D. 3＋2 第二题：(－2)5的意义是(　　) A. －5乘2 B. －2乘5 C. 2个－5相乘 D. 5个－2相乘 第三题：对于－32与(－3)2, 下列说法正确的是(　　) A. 底数不同, 结果不同 B. 底数不同, 结果相同 C. 底数相同, 结果不同 D. 底数相同, 结果相同 知识点2：有理数的混合运算 知识点讲解 1.有理数运算的种类：有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到) . 通常把六种基本的代数运算分为三级：加与减是第一级运算； 乘与除是第二级运算；乘方与开方是第三级运算 . 2.有理数混合运算的顺序 (1)先算高级运算，再算低级运算，即：先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，按从左到右的顺序进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 . 例题3：计算： (1) －72+2×(－3) 2+(－6) ÷(－)2； (2) (2) [( 1－)2－(－1 ) ÷ (－ 1 ) ] × (－ 1 )3. 1. 有理数混合运算的解题思 路是： 先观察有几种运算，再将除法运算转化为乘法运算，减法运算转化为加法运算，最后按运算顺序计算 . 2. 运算时，应分级进行，同时，能运用运算律的，要用运算律简化运算 . 3. 在运算过程中，通常将带分数化为假分数，小数化为分数，再进行计算 . 方法总结 牛刀小试： 第一题：计算8－23÷(－4)×(－7＋5)的结果为(　　) A. －4 B. 4 C. 12 D. －12 第二题：对于算式－24＋18×(－3) ÷(－2), 下列运算步骤中, 错误的是(　　) A. －16＋[18÷(－2)]×(－3) B. －16＋(18÷2)×3 C. －16－54÷2 D. －16＋(－54)÷(－2) 第三题：观察下列数: , －, , －, , …, 则第12个数是(　　) A. B. － C. D. － 知识点3：用科学记数法表示数 知识点讲解 1.科学记数法 一般地，一个绝对值大于 10 的数都可记成±a×10n 的形式，其中1 ≤ a ＜ 10， n 等于原数的整数位数减 1. 2. 科学记数法中的 a 和 n (1)将原数的小数点移到从右到左最高数位的数字的后边即可得到 a 的取值 . (2)确定 n 的两种方法： ①根据原数的整数位数来确定 n， n 等于原数的整数位数减 1. 例如 2 024 是一个四位数，用科学记数法表示为 2.024×103，其中 n=4 － 1=3. ② 按小数点移动的位数来确定 n，小数点向左移动了几位， n 就等于几 . 例题4：用科学记数法表示下列各数： (1)12 000；(2) －2 021 000 000；(3)14 000 万 . 例题5：已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： (1)2.01×104；(2) 6.070×105；(3) －3×103. 例题6：比较大小：9.523×1010 与 1.002×1011. 方法总结 在用科学记数法将一个大于10的数表示成±a×10n的形式时， n的值比原数的整数位数少1. 对于带“万”或“亿”等计数单位的数，要先将计数单位进行转换，再用科学记数法表示这个数 . 比较用科学记数法表示的两个数的大小的方法： (1)若两个数都是正数，先看 n， n 大的原数就大，若 n相同，则 a大的原数就大； (2)若是两个负数，则刚好相反， n大的原数就小；若 n 相同，则 a大的原数就小 . 方法总结： 牛刀小试： 第一题：沪渝蓉高铁是国家《中长期铁路网规划》“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道, 其中南通段总投资约39 000 000 000元, 将39 000 000 000用科学记数法表示为(　　) A. 3. 9×1011 B. 0. 39×1011 C. 3. 9×1010 D. 39×109 第二题：据央视6月初报道, 电信5G技术赋能千行百业, 打造数字经济底座, 5G牌照发放三年来, 三大电信运营商共投资4 772亿元, 把4 772亿用科学记数法表示为(　　) A. 4. 772×109 B. 4. 772×1010 C. 4. 772×1011 D. 4. 772×1012 第三题： 2023年第一季度, 湖北全省地区生产总值为11 900亿元, 11 900亿用科学记数法可表示为a×1012, 则a的值是(　　) A. 0. 119 B. 1. 19 C. 119 D. 11 900 课后作业 第一题：规定一种新运算: a*b＝a－ab, 如4*2＝4－42＝－12, 则(－2)*3的值(　　) A. －10 B. －6 C. 6 D. 8 第二题：若(a－2)2＋|b＋3|＝0, 则ab＝________. 第三题：计算: (1)－12＋|－2 023|; (2) 3×(－1)＋22＋|－4|; (3)2100－2101; (4)(－0. 125) 2 022×82 023. 第四题：求出下列各组两个算式的值, 你能发现什么规律? (1)×23与; (2)×43与 (3)(－1)4×24与(－1×2)4; (4)(－5)2×42与[(－5)×4]2. 试用你发现的规律计算(－0. 25)2 023×42 024. 第五题：计算 (1) (－1＋2)×3＋22÷(－4); (2)－72＋2×(－3)2－(－6)÷. 第六题：阅读材料, 解决问题: 由31＝3, 32＝9, 33＝27, 34＝81, 35＝243, 36＝729, 37＝2 187, 38＝6 561, …, 不难发现3的正整数幂的个位数字以3, 9, 7, 1为一个周期循环出现, 由此可以得到: 因为3100＝34×25, 所以3100的个位数字与34的个位数字相同, 应为1; 因为32 009＝34×502＋1, 所以32 009的个位数字与31的个位数字相同, 应为3. (1) 请你仿照材料, 分别求出799的个位数字及899的个位数字; (2) 请探索出221＋721＋821的个位数字; (3)请直接写出822－222－322的个位数字. 第七题：许多人由于粗心, 经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断. 根据测定, 一般情况下一个水龙头“滴水”1 h可以流掉3. 5 kg水, 若1年按365天计算, 这个水龙头1年可以流掉多少千克水? (用科学记数法表示) 第八题：如果规定: 0. 1＝＝10－1, 0. 01＝＝10－2, 0. 001＝＝10－3. (1) 你能用10的指数的形式表示0. 000 1, 0. 000 01吗? (2)你能将0. 001 768表示成a×10n的形式吗? (其中1≤|a|＜10, n为负整数) 2 学科网（北京）股份有限公司 $$