第05讲 有理数的乘方运算与近似数（3大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（沪科版）

第05讲 有理数的乘方运算与近似数（3大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 程序流程图与有理数计算 题型七 含乘方的有理数混合运算 题型八 计算器--有理数 题型九 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型十 将用科学记数法表示的数变回原数 题型十一 求一个数的近似数 题型十二 指出一个近似数精确到哪一位 题型十三 由近似数推断真值范围 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【典型例题一 有理数幂的概念理解】 1．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）代数式的意义可以是（    ） A．6个n相加 B．6个n相乘 C．n个6相加 D．n个6相乘 2．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·上海·期中）的底数是 ． 4．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 5．（22-23八年级下·全国·课前预习）a、n、an分别叫做什么？ 6．（2023七年级上·全国·专题练习）（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 【典型例题二 有理数的乘方运算】 1．（2024年浙江省初中学业水平考试数学模拟试题）（    ） A． B．6 C． D．8 2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）计算的结果为（    ） A．3 B．9 C．5 D．6 3．（23-24七年级下·广西贵港·期中）计算： ． 4．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）不超过的最大整数是 ． 5．（23-24九年级上·吉林松原·期中）计算： 6．（2023七年级上·浙江·专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【典型例题三 有理数乘方逆运算】 1．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 2．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）扶桑的丁同学周末翻看哥哥的高中数学课本，对一个数学概念产生了兴趣：若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如．则叫做以为底的对数，记为（即），根据以上运算规则，（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）平方等于36的数 ． 4．（22-23七年级上·四川凉山·阶段练习）平方等于4的数为 ． 5．（22-23七年级上·浙江·期末）已知，，且，求的值． 6．（22-23七年级上·福建三明·阶段练习）（1）计算下面两组算式： ①与；②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时， 等于什么? 请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【典型例题四 乘方运算的符号规律】 1．（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）已知a＝110，b＝（﹣2）6，c＝（﹣3）5，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 2．（22-23七年级上·河南开封·期末）代数式：，，，，，的值一定为正数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．以上答案都不对 3．（23-24七年级上·河南焦作·期中） ． 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，0的任何正整数次幂都是 ． 5．（23-24七年级上·广东湛江·阶段练习）已知，求和． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题五 乘方的应用】 1．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）池塘里的荷花面积每天长大一倍，经过12天就长满整个池塘，则这些荷花长满半个池塘需要（　　）天． A．6 B．8 C．7 D．11 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）某种霉菌的生长速度是每天增加1倍，若经过14天，霉菌能长满整个缸面，请问长满半个缸面所用的时间是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（23-24七年级上·广西南宁·期中）将一张纸对折1次可裁2张，对折2次可裁4张，对折5次可裁 张． 4．（2023·四川广元·一模）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 5．（23-24七年级上·浙江温州·期中）某企业今年的利润300万元，预计利润的年平均增长率为，则后年该企业的利润是多少万元？ 6．（23-24七年级上·广东梅州·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 【典型例题六 程序流程图与有理数计算】 1．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）按下列程序进行运算，若输入的x为，则输出的结果为（    ）     A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·广西河池·期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，我们看到第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，……，第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入则最后输出的结果是 ．    4．（22-23七年级下·广东茂名·期中）如图所示是关于变量的程序计算，若开始输入的值为2，则最后输出因变量的值为 ．    5．（23-24七年级上·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果． 6．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图是一种运算程序．解答下列问题： (1)当时，求b的值； (2)小丽看错了运算程序，误将“”看成了“”，当时，求小丽算出b的值． 【典型例题七 含乘方的有理数混合运算】 1．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）计算：为（    ） A．32 B．72 C．84 D．108 2．（22-23七年级上·河北石家庄·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等于 ． 4．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）小明在电脑中设置一个有理数运算程序：输入数，加键，再输入数，就可以得到运算：．则的值为 ． 5．（2024·广西贺州·三模）计算：． 6．（2024·河北邯郸·三模）在计算“”中的“□”填入运算符号． (1)填入“×”并计算； (2)要使结果最小，“□”内应填写什么符号；并直接写出这个最小值． 【典型例题八 计算器--有理数】 1．（22-23七年级上·河北廊坊·期中）用计算器求，按键的顺序正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2023·江苏镇江·三模）用计算器计算，按键的顺序为（   ） A．12 ab c1 ab c B．124 ab c1 ab c C．12 x ab c1 ab c D．124 x ab c1 ab c 3．（2024·山东淄博·一模）用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如下，则计算结果为 ． 4．（22-23六年级上·山东烟台·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，按键顺序如图所示，则输出结果应为 ． 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）用计算器计算： (1)； (2)． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）用计算器计算： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到百位）． 【典型例题九 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（2024年广东省中考数学试卷）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·重庆·期中）五一小长假期间，我市作为国内旅游十大热门目的地之一，前三天共接待境内外游客约人次．数据用科学记数法表示为 ． 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是亿斤，将亿用科学记数法表示为 ． 4．（2024·江苏扬州·二模）“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为 ． 5．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）在的地图上量得两地间的距离为2.4，用科学记数法表示两地之间的实际距离． 6．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒次，它工作可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 【典型例题十 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（2024·江苏南通·二模）若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．39600 B．396000 C．0.0000396 D．0.00000396 2．（2024·山东泰安·二模）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024·广东汕头·一模）2023年我国国内生产总值约亿元，用科学记数法表示的数亿元的原数约为 亿元． 4．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）用科学记数法写出的数原数是 ． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列用科学记数法表示的数，原数分别是什么？ (1)； (2)； (3)． 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列用科学记数法表示的数写成原来的形式． (1)__________________； (2)__________________； (3)__________________． 【典型例题十一 求一个数的近似数】 1．（2024·陕西渭南·一模）精确到个位，则近似值为（    ） A．1080 B． C．1079 D．1070 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用四舍五入法按要求对取近似值，其中错误的是（    ） A．精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到千分位） D．（精确到） 3．（22-23七年级上·河南鹤壁·期末）将130524精确到千位，所得的近似数为 ． 4．（23-24七年级下·上海宝山·期中）对于近似数，它有 个有效数字． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到百分位）； (3)（精确到万位）； (4)万（精确到百位）． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）四舍五入法中的“新定义” 阅读材料：四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同．但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分与实际值的差值不超过最后一位数量级的二分之一，假如0～9等可能出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的．我们规定：对非负有理数数“四舍五入”到个位的值记为．例如：，，，…． 解决问题： (1)________（为圆周率）； (2)若，则的取值范围是________． 【典型例题十二 指出一个近似数精确到哪一位】 1．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．精确到百位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到个位 2．（2024·湖北宜昌·模拟预测）某会议参会人数准确数为人，新闻报道参会人数约为百人，下列说法正确的是（    ） A．人数统计精确到百位 B．人数统计精确到十位 C．人数统计精确到个位 D．人数统计精确到十分位 3．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）某实验学校建筑面积约为万平方米，近似数精确到 位． 4．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）用四舍五入法得到的近似数精确到 位． 5．（23-24七年级上·湖北恩施·阶段练习）一个高为，宽为的长方形的面积是多少．（精确到） 6．（22-23七年级·全国·假期作业）车间接受了两根轴的任务，车间主任交给小明去完成，小明记图纸一看，轴长是2.60m，他用了3天时间，把任务完成了，可把轴交给主任验收后，主任很不高兴，板着脸说，长度都不合格，只能报废！小明不信，又跟主任一起把加工好了的两根轴的长度量了又量，确定无疑，一根长2.56m，另一根长2.62m，小明说，这两个长度应该合格．主任明白了，原来小明把图纸上的长度2.60m看成2.6m，近似2.6m的要求是精确到0.1m，而2.60m的要求是精确到0.01m，两个近似数2.60与2.6的差别很大，主任把情况一讲，小明服气了．由于出了废品，小明不但自己的奖金没有了，而且也使国家的财产遭受了损失．小明的失误就是把两个精确度不同的数2.6与2.60混为一谈了，从而使个人和国家都蒙受了损失．请你想一想，近似数2.6与2.60到底有什么不同？ 【典型例题十三 由近似数推断真值范围】 1．（23-24七年级上·四川眉山·期中）估算的计算结果大约是（    ） A．1500 B．2000 C．2400 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一个数a精确到十分位的结果是，那么这个数a的范围满足（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·湖北随州·期中）近似数的准确值a的取值范围是 ． 4．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）某同学体重为，这个数字是四舍五入得来的，那么这位同学的体重的取值范围是 . 5．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）甲、乙两名同学的身高都约是，但甲却比乙高9，有这种可能吗？为什么？若有，请举例说明． 6．（23-24六年级下·全国·假期作业）某工厂小张师傅接受了加工两根轴的任务，他很快地完成了任务，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小张不服气地说：“图纸上要求的是，而我做的轴，一根是，另一根是，怎么不合格了？” 请你说一说，是小张师傅做的轴不合格，还是质检员故意刁难？为什么？ 【变式训练1 有理数幂的概念理解】 1．（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）下列对于式子的说法， 错误的是（    ） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 3．（23-24七年级上·广西钦州·期中）中，指数是 ． 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把写成乘方的形式是 ，底数是 ，指数是 ，读作 ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下列各幂的底数与指数： （1）在()6中，底数是________，指数是________； （2）在a4中，底数是________，指数是________； （3）在(－6)4中，底数是________，指数是________ 【变式训练2 有理数的乘方运算】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）计算的结果是（    ） A．1 B． C．2024 D． 3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习） ； ； . 4．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）已知 ， 若， 则 ； 若， 则 ； 5．（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 6．（23-24七年级上·内蒙古乌海·期末）我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果)，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 【变式训练3 有理数乘方逆运算】 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）已知，若，则的值（    ） A．86.2 B． C． D． 2．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 3．（22-23七年级上·全国·单元测试）立方得的数是 ． 4．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如果一个数的平方是，那么这个数是 ． 5．（22-23七年级·江苏·阶段练习）计算： （1）      （2） 6．（22-23七年级上·浙江温州·期中）已知一个棱长为的立方体铁块． (1)如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中（杯子底面直径和高度均为），则溢出水的体积为________． (2)将铁块恰好分割成16个棱长为的立方体与6个棱长为的立方体，求的值． 【变式训练4 乘方运算的符号规律】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若，那么下列哪种情形一定符合要求（    ） A．m为奇数 B．m为偶数且 C．m为奇数且 D．为偶数 3．（22-23七年级下·宁夏银川·期中）= ． 4．（22-23七年级下·山东潍坊·期中）n是正整数，则（-2）2n+1+2×（-2）2n= ． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式训练5 乘方的应用】 1．（2024·河南周口·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（    ） A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：若，则，则根据此规定， ． 4．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，受此启发，则 ． 5． （22-23六年级下·山东淄博·期中）请你用几何图形直观地解释． 6．（22-23七年级·全国·假期作业）当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去． (1)当对折3次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是0.1mm，求对折8次时，总厚度是多少mm？ 【变式训练6 程序流程图与有理数计算】 1．（23-24七年级下·陕西·期中）如图是一个数据转换器的示意图，当我们输入时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．2023 D．2021 3．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）按如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出的y值为 ． 4．（22-23七年级上·海南海口·期中）已知为两个不相等的有理数，根据流程图中的程序，当输出数值y为时，所输入的较大的数是 ．    5．（22-23七年级上·吉林长春·期中）定义一种新运算：． (1)求的值； (2)求的值． 6．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）根据如图所示的程序计算，若输入的x的值为-2，求输出的y值． 【变式训练7 含乘方的有理数混合运算】 1．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）计算：的结果是（   ） A． B． C．1 D．7 2．（2024·山东聊城·一模）体重指数（）是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重50千克，则小张的体重状况是（    ） 体重指数（）的范围 体重状况 体重指数 消瘦 体重指数 正常 体重指数 超重 体重指数 肥胖 A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）对于非零有理数a、b，定义运算，例如，则 ． 4．（23-24七年级上·重庆南岸·阶段练习）数学课上，老师编制了一个程序，当输入任意一个有理数时，显示屏上的结果总是输入的有理数的平方与1的差的2倍，若输入，并将显示的结果再次输入，则这时显示的结果是 ． 5．（2024·广西·中考真题）计算： 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 【变式训练8 计算器--有理数】 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）使用计算器进行计算，其按键顺序为：，则输出结果为(    ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果应为（   ） A．6 B．2 C．5.171 D．1.171 3．（23-24六年级上·山东烟台·期中）若用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下，则计算结果是 ． 4．（22-23六年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：则输出结果应为 ． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）用计算器计算： （1）； （2）． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出一个四位数，它的各个数位上的数字都不相等（如6731）．用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的四位数．对于新得到的四位数，重复上面的过程，又得到一个新的四位数．一直重复下去，你发现了什么？请借助计算器帮助你进行探索． 【变式训练9 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就．某大数据中心存储约本电子书籍，将用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·三模）年末，南京市常住人口为万人，将“万”用科学记数法表示为 ． 4．（2024·广东东莞·三模）“嫦娥六号”在月球背面缓缓伸出的小小国旗引发网友热议，而它的上一任，“嫦娥五号”带回的月球土壤让科学家推断出月球早在20亿年前死亡，20亿用科学记数法表示为 ． 5．（22-23八年级上·云南昆明·期中）已知每台水压机有四根空心钢立柱，如图，每根高都是，外径D为，内径d为．每立方米钢的质量为，则25台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是多少？（取，最后结果的数值用科学记数法表示） 6．（22-23七年级上·四川宜宾·阶段练习）根据测算，太阳能热水器每平方米集热面积平均每月所产生的能量相当于10千克煤燃烧所产生的能量．某新建居民小区共600户，开发商统一为每户安装一台2平方米集热面积的太阳能热水器．这个小区一年中所产生的太阳能能量大致相当于多少千克煤燃烧所产生的能量？（结果用科学记数法表示） 【变式训练10 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）实数1200用科学记数法表示为，则 表示的原数为（    ） A．1200000 B．120000 C．14400000 D．1440000 2．（23-24七年级下·河北承德·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23七年级上·河北沧州·期中）156000000用科学记数法表示为 ，的原数是 4．（22-23六年级上·全国·单元测试）用科学记数法表示人体中约有的红细胞为个，不用科学记数法表示，原来的数据是 个． 5．（2020七年级上·全国·专题练习）把下列用科学记数法表示的数转化成原数.   （1）；  （2）；  （3）千米 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ （1）北京故宫的占地面积约为； （2）人体中约有个红细胞； （3）全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【变式训练11 求一个数的近似数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·贵州贵阳·期中）下列数据中，是近似数的是（    ） A．足球比赛开始时每方有11名球员 B．我国有31个省、直辖市、自治区 C．光明学校有856人 D．光的速度为米/秒 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）近似数有 个有效数字． 4．（22-23七年级上·广东·开学考试）有一个三位小数，用“四舍五入”法保留整数是3，保留一位小数是3.0，保留两位小数是3.00，这个小数各个数位上的和是25，这个三位小数是 ． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值： (1)38063（精确到千位）； (2)（精确到百分位）： (3)（精确到）； (4)（精确到十分位）． 6．（2023七年级上·浙江·专题练习）某人买了一辆小轿车，他记录了连续七天中每天行驶的路程： 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程/千米 36 29 27 40 43 72 33 请你用学过的统计知识解决下面的问题： (1)此人的轿车每月（按30天计算）要行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升6.61元，请你算出此人一年（按12个月计算）的汽油费用大约是多少元（精确到百元）． 【变式训练12 指出一个近似数精确到哪一位】 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）近似数0.8和0.80所表示的意义（    ） A．相同 B．不同 C．无法比较 2．（22-23七年级上·山东济南·期中）下列说法正确的是（　　） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 3．（23-24七年级下·上海松江·期中）近似数亿精确到 位 4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）温州市苍南县在龙港独立建市后的常住人口为万人，由四舍五入得到的近似数万精确到 位． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）7.93；      （2）0.0405；      （3）25.9万；      （4）． 6．（20-23七年级上·全国·课后作业）按括号里的要求对下列各数取值 （1）0.9541（精确到十分位）； （2）2.5678（精确到千分位）； （3）14595（用科学记数法表示） （4）﹣30130978（用科学记数法表示）； （5）789532000（用科学记数法表示） 【变式训练13 由近似数推断真值范围】 1．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）一个数精确到十分位的结果是，那么这个数的范围满足（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南周口·期中）近似数是由四舍五入得到的，那么（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一个三位小数保留两位小数约是5.43，这个三位小数的最大值与最小值的差是 ． 3．（22-23七年级上·浙江杭州·期末） ． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）若k的近似值为4.3，求k的取值范围． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员质检错误？ 1．（2024·安徽滁州·三模）等于（    ） A． B．1 C． D． 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 3．（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河南信阳·二模）年月日，我国“羲和号”卫星，完成了全部在轨试验项目，实现了双超平台试验和科学载荷试验的工程目标，获取的数据有力支撑了太阳光谱科学研究，每天产生约原始数据这些数据已通过国家航天局指定网站，按照数据管理政策对外发布，被美国、法国、德国、日本、比利时、捷克、俄罗斯等国家科学家下载使用，显著提升了我国在空间科学领域的国际影响力，我们知道，，，，那么数据等于（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，表示的天数为66天．按同样的方法，图2表示的天数是（    ） A．72 B．343 C．366 D．1032 6．（23-24七年级上·天津宁河·期中）用四舍五入法将精确到百分位约为 ． 7．（22-23七年级上·上海黄浦·阶段练习）准确数A精确到0.01的近似数是2.40，那么A的取值范围为 ； 8．（22-23七年级上·河北张家口·期末）现定义某种运算“”，对任意两个有理数、，有，如，计算： ． 9．（23-24六年级上·山东威海·期末）《庄子·天下篇》中记载道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．这句话的意思是：“一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完”．根据这句话计算： ． 10．（22-23七年级上·陕西西安·期中）《九章算术》中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺；蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日的一半”．则第二十日蒲生长的长度为 尺． 11．（22-23八年级上·陕西渭南·阶段练习）计算：． 12．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： (1)； (2)． 13．（23-24七年级上·全国·课后作业）比较用科学记数法表示的两个数的大小： (1)与． (2)与． 14．（2023七年级上·浙江·专题练习）下列问题中，哪些是近似数？哪些是精确数？ (1)地球半径是6371米； (2)一星期有7天； (3)光的速度是每秒30万千米； (4)我国古代的4大发明； (5)某学校有36个班级； (6)小明的体重是46.3公斤． 15．（22-23七年级上·山东济南·期中）阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： ； 将下式减去上式得： ，即，即； 请你仿照此法计算： （1）． （2）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘方运算与近似数（3大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 程序流程图与有理数计算 题型七 含乘方的有理数混合运算 题型八 计算器--有理数 题型九 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型十 将用科学记数法表示的数变回原数 题型十一 求一个数的近似数 题型十二 指出一个近似数精确到哪一位 题型十三 由近似数推断真值范围 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【典型例题一 有理数幂的概念理解】 1．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）代数式的意义可以是（    ） A．6个n相加 B．6个n相乘 C．n个6相加 D．n个6相乘 【答案】D 【分析】根据幂的定义，乘法的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了，幂的概念理解，解题的关键是：理解幂的概念． 【详解】解： A、6个n相加，表示为：，不符合题意， B、6个n相乘，表示为：，不符合题意， C、n个6相加，表示为：，不符合题意， D、n个6相乘，表示为：，符合题意， 故选：D． 2．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题的关键．根据乘方的意义求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．（23-24六年级下·上海·期中）的底数是 ． 【答案】5 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解本题的关键．根据有理数的乘方的有关定义即可得到结果． 【详解】解：的底数为5， 故答案为：5． 4．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，解答此题的关键是要明确同底数幂的乘法的运算方法．9个2相乘，结果用幂的形式表示时，底数为2，指数为9，所以可以表示为． 【详解】解：9个2相乘的结果用幂的形式表示为． 故答案为：． 5．（22-23八年级下·全国·课前预习）a、n、an分别叫做什么？ 【答案】底数、指数、幂 【解析】略 6．（2023七年级上·全国·专题练习）（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 【答案】（1）底数是，指数是8；（2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【分析】（1）根据乘方的定义，a•a•...•a（n个a）=an，a是底数，n是指数，进而解决本题； （2）根据有理数的乘方的概念即可回答． 【详解】解：（1）中，底数是，指数是8； （2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【点睛】本题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方的概念解答．注意：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 【典型例题二 有理数的乘方运算】 1．（2024年浙江省初中学业水平考试数学模拟试题）（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，一个负数的立方等于它的绝对值的立方的相反数． 【详解】解：， 故选C． 2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）计算的结果为（    ） A．3 B．9 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟记运算法则是关键． 【详解】解： 故选：B． 3．（23-24七年级下·广西贵港·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】此题考查了有理数的乘方运算，涉及等于几的问题，当为偶数时，，当为奇数时，，即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：1． 4．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）不超过的最大整数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，计算出的结果即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴不超过的最大整数是4， 故答案为：4． 5．（23-24九年级上·吉林松原·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘除，最后计算有理数的加减法即可． 【详解】解： ． 6．（2023七年级上·浙江·专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的乘方运算计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：； 故答案为：； （4）解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． 【典型例题三 有理数乘方逆运算】 1．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）平方等于9的数是（  ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算，根据，进而可求解，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 平方等于9的数是， 故选C． 2．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）扶桑的丁同学周末翻看哥哥的高中数学课本，对一个数学概念产生了兴趣：若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如．则叫做以为底的对数，记为（即），根据以上运算规则，（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题干提供的信息进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，乘方的逆运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则． 3．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）平方等于36的数 ． 【答案】 【分析】根据乘方运算的概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴平方等于36的数是． 故答案为：． 【点睛】掌握本题考查了乘方，熟练掌握乘方运算的法则，是解题的关键． 4．（22-23七年级上·四川凉山·阶段练习）平方等于4的数为 ． 【答案】 【分析】利用平方的定义即可得到结果． 【详解】解：平方等于4的数是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（22-23七年级上·浙江·期末）已知，，且，求的值． 【答案】8或-8 【分析】先根据绝对值的性质求出a的值，再根据乘方的运算法则求出b的值，进而相减可得出结论． 【详解】解：∵|a|=5，b2=9， ∴a=±5，b=±3， ∵ab＜0， ∴当a=5时，b=-3， ∴a-b=5+3=8； 当a=-5时，b=3， ∴a-b=-5-3=-8． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法和乘方，熟知有理数乘方的法则是解答此题的关键． 6．（22-23七年级上·福建三明·阶段练习）（1）计算下面两组算式： ①与；②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时， 等于什么? 请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1） ①225，225,=;②36，36，=， （2） （3）见详解 （4）． 【分析】（1）①先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果， ②先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果， （2）直接按（1）写结果即可， （3）利用乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为与乘积即可． （4）利用积的乘方的逆运算把，然后=，再简便运算即可． 【详解】（1）①=152=225， =9×25=225， =， ②=(-6)2=36， =4×9=36， =， （2） （3）． （4）=． 【点睛】本题考查有理数乘法法则问题，先通过不同形式的计算，验证结果相同，达到初步认证，再次认证结果，通过证明先算计积再算乘法，与先算每个数的乘方再算积，验证结论成立，会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键． 【典型例题四 乘方运算的符号规律】 1．（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）已知a＝110，b＝（﹣2）6，c＝（﹣3）5，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【答案】D 【分析】先根据有理数的乘方的运算化简，然后再比较大小即可． 【详解】解：∵a＝110＝1，b＝（﹣2）6＝26，c＝（﹣3）5＝﹣35， ∴c＜a＜b． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的运算，掌握有理数乘方运算的符号规律成为解答本题的关键． 2．（22-23七年级上·河南开封·期末）代数式：，，，，，的值一定为正数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据绝对值和偶次方的非负数性质，有理数的乘方的定义以及大于0的数是正数进行判断即可． 【详解】当 时， ，0不是正数． 当 时，不是正数． 当 时，不是正数． 当时，，0不是正数． ∵ ∴是正数． 当 时， ∴一定为正数的有1个． 故本题选A． 【点睛】本题主要考查了正数和负数以及绝对值，掌握绝对值和偶次方的非负数性质是解答本题的关键． 3．（23-24七年级上·河南焦作·期中） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算法则计算，即可． 【详解】解：． 故答案为： 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，0的任何正整数次幂都是 ． 【答案】 负数 正数 0 【解析】略 5．（23-24七年级上·广东湛江·阶段练习）已知，求和． 【答案】， 【分析】先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 【典型例题五 乘方的应用】 1．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）池塘里的荷花面积每天长大一倍，经过12天就长满整个池塘，则这些荷花长满半个池塘需要（　　）天． A．6 B．8 C．7 D．11 【答案】D 【分析】此题主要考查了乘方在实际问题中的应用．正确理解荷花面积每天长大一倍是解决本题的关键．池塘里的荷花面积每天长大一倍，12天长满，说明它的前一天荷花占半个池塘，那么11天长到池塘的一半． 【详解】解：∵池塘里荷花面积每天长大一倍，经12天长满整个池塘， ∴荷花长满半个池塘需要：（天）， 即这些荷花长满半个池塘需要11天． 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）某种霉菌的生长速度是每天增加1倍，若经过14天，霉菌能长满整个缸面，请问长满半个缸面所用的时间是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据题意运用乘方的定义进行求解．此题考查了乘方定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． 【详解】解：由题意得，该霉菌第14天生长面积是第13天的2倍， ∴长满半个缸面所用时间是13天. 故答案为：D. 3．（23-24七年级上·广西南宁·期中）将一张纸对折1次可裁2张，对折2次可裁4张，对折5次可裁 张． 【答案】 【分析】根据已知找到规律，即可列式求出答案．本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数乘方的意义和运算法则． 【详解】解：∵将一张纸对折1次可裁（张）， 将一张纸对折2次可裁（张）， 将一张纸对折3次可裁（张）， …， ∴将一张纸对折5次可裁（张）， 故答案为：． 4．（2023·四川广元·一模）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 【答案】516 【分析】 本题考查了有理数的混合运算，根据题意以及图形分析，根据满七进一求解是解题的关键． 【详解】解：绳结表示的数为， 故答案为：516； 5．（23-24七年级上·浙江温州·期中）某企业今年的利润300万元，预计利润的年平均增长率为，则后年该企业的利润是多少万元？ 【答案】后年该企业的利润是363万元． 【分析】此题主要考查了有理数乘方的实际应用．根据今年的利润300万元，年平均增长率为，所以明年的利润为，则后年该公司应缴税为，据此计算即可求解． 【详解】解：后年该公司应缴税为（万元）． 答：后年该企业的利润是363万元． 10．（23-24七年级上·广东梅州·期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个． 根据此规律可得： (1)这样的一个细胞经过2次分裂后可分裂成　　个细胞； (2)这样的一个细胞经过5次分裂后可分裂成　　个细胞； (3)这样的一个细胞经过n（n为正整数）次分裂后可分裂成　　个细胞． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用； （1）根据题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个． （2）根据题意，5次分裂成个； （3）根据规律可得次后分裂为个 【详解】（1）解：依题意，一次分裂成2个，则2次分裂成4个； 故答案为：． （2）解：依题意，5次分裂成个； 故答案为：． （3）解：根据规律可得次后分裂为个 故答案为：． 【典型例题六 程序流程图与有理数计算】 1．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）按下列程序进行运算，若输入的x为，则输出的结果为（    ）     A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算程序进行计算，符合条件即可输出即可． 【详解】解：输入x为时，，不能输出； 输入x为时，，不能输出； 输入x为时，，输出结果； 故选D． 【点睛】题考查了代数式求值，掌握程序问题的循环性是解题的关键． 2．（22-23七年级上·广西河池·期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，我们看到第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，……，第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据流程图分别算出前五次的结果，进行比较，可找出循环规律，由此即可求解． 【详解】解：第一次，； 第二次，； 第三次，， 第四次，， 第五次，， 第六次，， … 第次，，即循环了次， ∴第次应该是， 故选：． 【点睛】本题主要考查流程图中实数的运算，理解流程图的执行顺序，根据条件选择不同的计算方法，掌握有理数的运算方法，及规律是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入则最后输出的结果是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是直接利用运算程序计算得出答案． 【详解】解：当时，， 则时，， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·广东茂名·期中）如图所示是关于变量的程序计算，若开始输入的值为2，则最后输出因变量的值为 ．    【答案】 【分析】根据程序流程图，按照要求，当开始输入的值为2时，代入，从而输出． 【详解】解：由题意可得，当时，， 输出， 故答案为：． 【点睛】本题考查按照程序流程图进行有理数运算，看懂程序流程图按要求求解是解决问题的关键． 5．（23-24七年级上·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果． 【答案】320 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：把20代入程序中得：， 把代入程序中得：， 把80代入程序中得：， 把代入程序中得：， 则最后输出的结果为320． 6．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图是一种运算程序．解答下列问题： (1)当时，求b的值； (2)小丽看错了运算程序，误将“”看成了“”，当时，求小丽算出b的值． 【答案】(1)4 (2)36 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据程序图列出等式进行计算即可； （2）根据题干信息列出算式进行求解即可； 解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， 小丽算出的b的值为： ． 【典型例题七 含乘方的有理数混合运算】 1．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）计算：为（    ） A．32 B．72 C．84 D．108 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先计算乘方，再计算乘法，即可求解． 【详解】解：． 故选：B 2．（22-23七年级上·河北石家庄·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是要熟练掌握运算法则，根据有理数混合运算顺序即可判断出哪个算式的计算正确． 【详解】A 、，该选项正确； B 、，该选项错误； C 、，该选项错误； D 、，该选项错误； 故选：A． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键． 【详解】解： 4．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）小明在电脑中设置一个有理数运算程序：输入数，加键，再输入数，就可以得到运算：．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算，正确理解运算规则即可求解． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 5．（2024·广西贺州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和括号内，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 6．（2024·河北邯郸·三模）在计算“”中的“□”填入运算符号． (1)填入“×”并计算； (2)要使结果最小，“□”内应填写什么符号；并直接写出这个最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）按照有理数的混合运算法则计算即可； （2）依次填入加减乘除进行计算，再比较即可作答． 【详解】（1）解：根据题意有：； （2）填入“”， ； 填入“”， ； 填入“”， ； 填入“”， ； 故填写“”，结果最小，最小为． 【典型例题八 计算器--有理数】 1．（22-23七年级上·河北廊坊·期中）用计算器求，按键的顺序正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据利用计算器进行有理数的运算的步骤求解即可． 【详解】根据利用计算器进行有理数的运算的步骤可知，用计算器求，按键的顺序为    故选：A． 【点睛】本题主要考查利用计算器进行有理数的运算，牢记利用计算器进行有理数的运算的步骤是解题的关键． 2．（2023·江苏镇江·三模）用计算器计算，按键的顺序为（   ） A．12 ab c1 ab c B．124 ab c1 ab c C．12 x ab c1 ab c D．124 x ab c1 ab c 【答案】A 【分析】根据计算器的按键规则即可求解． 【详解】解：对应的按键顺序为：12，，4 对应的按键顺序为：1， 故正确的按键顺序为A 故选：A 【点睛】本题考查计算器使用．掌握相关规则即可． 3．（2024·山东淄博·一模）用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如下，则计算结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学计算器的使用，根据计算顺序可求得结果，熟练掌握科学计算器的使用方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：． 4．（22-23六年级上·山东烟台·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，按键顺序如图所示，则输出结果应为 ． 【答案】8.5 【分析】根据按键顺序可得，再计算即可求解． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了用科学计算器进行计算，熟练掌握计算器上各按键的功能是解题的关键． 5．（23-24七年级上·全国·课堂例题）用计算器计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1889568 (2) 【分析】（1）按照用计算器计算乘方的方法输入计算即可； （2）按照用计算器计算乘方的方法输入计算即可． 【详解】（1）解：计算器输入： 显示： 1889568． （2）解： 显示： ． 【点睛】本题考查了计算器的使用，掌握计算器上负号的输入是解题的关键． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）用计算器计算： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到百位）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用计算器先计算出和的值，再相加，精确到0.01即可； （2）用计算器先计算出与，再相加，然后再乘以，精确到百位即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查用计算器进行有理数的运算，正确使用计算器是解题关键． 【典型例题九 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（2024年广东省中考数学试卷）年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 2．（23-24九年级下·重庆·期中）五一小长假期间，我市作为国内旅游十大热门目的地之一，前三天共接待境内外游客约人次．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故答案为：． 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是亿斤，将亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】亿，亿 故答案为： 4．（2024·江苏扬州·二模）“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”．这是一首用苔藓比喻人生的励志小诗．目前在全世界约有23000种苔藓植物．将数据23000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数． 根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）在的地图上量得两地间的距离为2.4，用科学记数法表示两地之间的实际距离． 【答案】 【分析】根据比例尺算出两地之间的实际距离，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：根据题意，两地的距离为， 即两地之间的实际距离为． 【点睛】本题考查了比例尺和科学记数法．掌握相关结论即可． 6．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒次，它工作可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 【答案】它工作可进行次运算 【分析】先将化为，再进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：， （次）， 答：它工作可进行次运算． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【典型例题十 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（2024·江苏南通·二模）若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（    ） A．39600 B．396000 C．0.0000396 D．0.00000396 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 2．（2024·山东泰安·二模）2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数用科学记数法表示为，则原数中0的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．根据科学记算法将恢复原数，然后得出答案即可． 【详解】解：， 即原数中0的个数为5个． 故选：C． 3．（2024·广东汕头·一模）2023年我国国内生产总值约亿元，用科学记数法表示的数亿元的原数约为 亿元． 【答案】1260000 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数恢复为原数，根据科学记数法中n值的确定方法，将恢复原数后应该是一个七位数的整数，即可得出答案． 【详解】解：亿元的原数约为1260000亿元． 故答案为：1260000． 4．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）用科学记数法写出的数原数是 ． 【答案】 【分析】数据中的，指数，需要把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示的原数，确定的值是解题的关键． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）下列用科学记数法表示的数，原数分别是什么？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了把科学记数法表示的数变回原数，将用科学记数法表示的数还原成原数时，将a的小数点向右移动n位即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把下列用科学记数法表示的数写成原来的形式． (1)__________________； (2)__________________； (3)__________________． 【答案】(1)3000000 (2) (3)202000 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法中的确定方法，进行还原即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：3000000； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法中的确定方法，是解题的关键． 【典型例题十一 求一个数的近似数】 1．（2024·陕西渭南·一模）精确到个位，则近似值为（    ） A．1080 B． C．1079 D．1070 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确度个数即对十分位上的数字进行四舍五入，据此求解即可． 【详解】解：精确到个位，则近似值为1079， 故选：C． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用四舍五入法按要求对取近似值，其中错误的是（    ） A．精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，即对该位的下一位数字进行四舍五入，据此逐一求解判断即可得到答案． 【详解】解；A、（精确到），原式错误，符合题意； B、 （精确到百分位），原式正确，不符合题意； C、（精确到千分位），原式正确，不符合题意； D、（精确到），原式正确，不符合题意； 故选：A． 3．（22-23七年级上·河南鹤壁·期末）将130524精确到千位，所得的近似数为 ． 【答案】131000 【分析】本题考查了近似数：精确到第几位，就看这位的后一位的数值，根据四舍五入进行作答．把百位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：将130524精确到千位，所得的近似数为131000 故答案为：131000 4．（23-24七年级下·上海宝山·期中）对于近似数，它有 个有效数字． 【答案】 【分析】考查了有效数字的概念，一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字，据此作答即可． 【详解】近似数的有效数字有4、5、0三个． 故答案是：3． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到百分位）； (3)（精确到万位）； (4)万（精确到百位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查求一个数的近似数，掌握四舍五入法进行求解即可． （1）四舍五入法，求解即可； （2）四舍五入法，求解即可； （3）四舍五入法，求解即可； （4）四舍五入法，求解即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4）万． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）四舍五入法中的“新定义” 阅读材料：四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同．但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分与实际值的差值不超过最后一位数量级的二分之一，假如0～9等可能出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的．我们规定：对非负有理数数“四舍五入”到个位的值记为．例如：，，，…． 解决问题： (1)________（为圆周率）； (2)若，则的取值范围是________． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由题意可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：3； （2）解：若，①当，但的小数部分大于或等于0.5时，即； ②当，但的小数部分小于0.5时，即， ③当时，满足， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查近似数，解题的关键是理解题中所给新定义． 【典型例题十二 指出一个近似数精确到哪一位】 1．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．精确到百位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到个位 【答案】C 【分析】本题考查了指出一个近似数精确到哪一位，掌握相关结论即可． 【详解】解：精确到千分位，故A错误； 万精确到千位，故B错误； 精确到千分位，故C正确； 精确到万位，故D错误； 故选：C． 2．（2024·湖北宜昌·模拟预测）某会议参会人数准确数为人，新闻报道参会人数约为百人，下列说法正确的是（    ） A．人数统计精确到百位 B．人数统计精确到十位 C．人数统计精确到个位 D．人数统计精确到十分位 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数精确到哪一位是解题的关键，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 运用近似数概念的定义解答即可． 【详解】解：∵报道参会人数约为百人，末位数字为， ∴在人中，在百位上，则精确到了百位， 故选：． 3．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）某实验学校建筑面积约为万平方米，近似数精确到 位． 【答案】百分 【分析】此题主要考查近似数的精确度，解题的关键是熟知近似数．根据近似数的精确度的定义即可求解． 【详解】近似数精确到百分位， 故答案为：百分． 4．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）用四舍五入法得到的近似数精确到 位． 【答案】千 【分析】本题考查了精确度的概念，注意不要在科学记数法中直接读．近似数最后一位所在的数的位数即为该数的精确度． 【详解】解：，5右侧的0位于千位， 故答案为：千． 5．（23-24七年级上·湖北恩施·阶段练习）一个高为，宽为的长方形的面积是多少．（精确到） 【答案】 【分析】运用长方形面积计算法则计算后精确到即可； 【详解】长方形的面积是：， 即． 【点睛】该题主要考查了精确度和近似值，解答该题的关键是掌握近似数的确定方法． 6．（22-23七年级·全国·假期作业）车间接受了两根轴的任务，车间主任交给小明去完成，小明记图纸一看，轴长是2.60m，他用了3天时间，把任务完成了，可把轴交给主任验收后，主任很不高兴，板着脸说，长度都不合格，只能报废！小明不信，又跟主任一起把加工好了的两根轴的长度量了又量，确定无疑，一根长2.56m，另一根长2.62m，小明说，这两个长度应该合格．主任明白了，原来小明把图纸上的长度2.60m看成2.6m，近似2.6m的要求是精确到0.1m，而2.60m的要求是精确到0.01m，两个近似数2.60与2.6的差别很大，主任把情况一讲，小明服气了．由于出了废品，小明不但自己的奖金没有了，而且也使国家的财产遭受了损失．小明的失误就是把两个精确度不同的数2.6与2.60混为一谈了，从而使个人和国家都蒙受了损失．请你想一想，近似数2.6与2.60到底有什么不同？ 【答案】精确度不同 【分析】2.6与2.60在大小上相等，但前者表示26的十分之一，而后者表示260个百分之一，即精确度不同，据此即可解答． 【详解】解：由分析可知：近似数2.6与2.60大小相等，但精确度不同． 【点睛】本题考查近似数和有效数字，解题的关键是正确理解小数的位数不同，它们表示的计数单位就不同，意义也不同． 【典型例题十三 由近似数推断真值范围】 1．（23-24七年级上·四川眉山·期中）估算的计算结果大约是（    ） A．1500 B．2000 C．2400 【答案】B 【分析】本题考查了学生的估算能力，把38看作40， 51看作50来进行计算． 【详解】解： ． 故选∶ B． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一个数a精确到十分位的结果是，那么这个数a的范围满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了由近似数推断真值范围．根据四舍五入的近似法则，应看百分位上的数字，即可得到答案． 【详解】解：把a精确到十分位的近似数是，则a的取值范围是， 故选：D． 3．（23-24七年级上·湖北随州·期中）近似数的准确值a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查近似数与有效数字，近似数精确到哪一位，是对下一位的数字进行四舍五入得到的． 【详解】解：根据取近似数的方法可得：若是向前进1得到的，那么；若是舍去下一位得到的，那么， ∴． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）某同学体重为，这个数字是四舍五入得来的，那么这位同学的体重的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据近似数精确到十分位，是从百分位上的数字四舍五入得到的即可得出答案. 【详解】解：∵近似数是由数x四舍五入得到的， ∴数x的取值范围是； 故答案为： 【点睛】本题考查了近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度. 5．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）甲、乙两名同学的身高都约是，但甲却比乙高9，有这种可能吗？为什么？若有，请举例说明． 【答案】有这种可能，理由见解析 【分析】确定身高约是的实际取值范围即可． 【详解】解：有这种可能，因为身高在至可视为， 当甲的身高为，乙的身高为时，他们相差9． 【点睛】本题考查由近似数推真值的范围．掌握相关结论是解题关键． 6．（23-24六年级下·全国·假期作业）某工厂小张师傅接受了加工两根轴的任务，他很快地完成了任务，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小张不服气地说：“图纸上要求的是，而我做的轴，一根是，另一根是，怎么不合格了？” 请你说一说，是小张师傅做的轴不合格，还是质检员故意刁难？为什么？ 【答案】小张师傅做的轴不合格．理由见解析 【分析】本题主要考查了近似数的应用，根据题意推出近似数的精确数x应满足，据此可得结论． 【详解】解：小张师傅做的轴不合格．理由如下： ∵近似数的精确数x应满足，而小张师傅做的一根轴长，小于， ∴不合格； ∵另一根轴长，大于， ∴也不合格． 【变式训练1 有理数幂的概念理解】 1．（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）下列对于式子的说法， 错误的是（    ） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 【答案】C 【分析】本题考查有理数幂的概念，根据有理数幂的概念进行判断即可． 【详解】解：， 对于，底数是，指数是2，表示2个相乘，幂为16； 故错误的是C； 故选C． 2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握表示个相乘，进行判断即可． 【详解】解：表示3个5相乘的相反数； 故选B． 3．（23-24七年级上·广西钦州·期中）中，指数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，据此作答即可． 【详解】解：依题意，中，指数是3， 故答案为：3 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把写成乘方的形式是 ，底数是 ，指数是 ，读作 ． 【答案】 5 的5次方的相反数 【分析】根据有理数幂的概念进行作答即可． 【详解】解：由题意知，写成乘方的形式是，底数是，指数是5，读作的5次方的相反数， 故答案为：，，5， 的5次方的相反数． 【点睛】本题考查了有理数的幂的概念．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5 (2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下列各幂的底数与指数： （1）在()6中，底数是________，指数是________； （2）在a4中，底数是________，指数是________； （3）在(－6)4中，底数是________，指数是________ 【答案】（1）；6；（2）a；4；（3）-6；4 【分析】（1）根据底数的定义和指数的定义即可得出结论； （2）根据底数的定义和指数的定义即可得出结论； （3）根据底数的定义和指数的定义即可得出结论． 【详解】解：（1）在()6中，底数是，指数是6； 故答案为：；6； （2）在a4中，底数是a，指数是4； 故答案为：a；4； （3）在(－6)4中，底数是-6，指数是4 故答案为：-6；4． 【点睛】此题考查的是有理数乘方的相关概念，掌握底数的定义和指数的定义是解决此题的关键． 【变式训练2 有理数的乘方运算】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·浙江·模拟预测）计算的结果是（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，即可解答． 【详解】解：， 故选：A． 3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习） ； ； . 【答案】 1 9 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：；；． 故答案为：1；9；． 4．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）已知 ， 若， 则 ； 若， 则 ； 【答案】 2 【分析】本题考查了有理数乘方的运算，根据作答即可． 【详解】解：， ， 若， 则； 若， 则； 故答案为：2，． 5．（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后相加即可得到结果，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 6．（23-24七年级上·内蒙古乌海·期末）我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果)，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方； （1）根据有理数的乘方和对数的定义求解即可； （2）根据结合对数的定义可得，进而可求m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵，而， ∴， ∴． 【变式训练3 有理数乘方逆运算】 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）已知，若，则的值（    ） A．86.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴， 则． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 2．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 3．（22-23七年级上·全国·单元测试）立方得的数是 ． 【答案】 【分析】根据立方的定义即可求解． 【详解】解：， 即的立方等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘方；掌握立方的定义是解题的关键． 4．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如果一个数的平方是，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：， 这个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算，本题属于基础题型． 5．（22-23七年级·江苏·阶段练习）计算： （1）      （2） 【答案】(1)-1；（2）5． 【分析】有理数混合运算，按运算顺序进行计算，先乘方，再乘除把除法转化为乘法计算，最后加减，有括号先算括号内的，同级运算从左向右即可． 【详解】 （1）， = ， =， =-8+9-2， =-1． （2）， =-1-1×3×[4-6]， =-1+6， =5． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则，会按法则进运算，会求倒数，会把除法转化为乘法计算是解题关键． 6．（22-23七年级上·浙江温州·期中）已知一个棱长为的立方体铁块． (1)如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中（杯子底面直径和高度均为），则溢出水的体积为________． (2)将铁块恰好分割成16个棱长为的立方体与6个棱长为的立方体，求的值． 【答案】(1)512 (2) 【分析】（1）求出铁块的体积即可得出排开水的体积； （2）用铁块的体积减去16个棱长为的立方体的体积，得出6个棱长为的立方体的体积和，再求出一个立方体的体积，即可得出答案． 【详解】（1）解：溢出水的体积为：， 故答案为：512． （2）解：棱长为的立方体的体积为： ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考出乘方的应用，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则． 【变式训练4 乘方运算的符号规律】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若，那么下列哪种情形一定符合要求（    ） A．m为奇数 B．m为偶数且 C．m为奇数且 D．为偶数 【答案】D 【分析】根据任何非零数的偶数次幂都是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：因为， 所以 所以， 所以m是偶数， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的幂运算，熟练掌握任何非零数的偶数次幂都是正数，负数的奇次幂是负数是解题的关键． 3．（22-23七年级下·宁夏银川·期中）= ． 【答案】 【分析】根据乘方去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方，注意和的区别． 4．（22-23七年级下·山东潍坊·期中）n是正整数，则（-2）2n+1+2×（-2）2n= ． 【答案】0 【分析】先根据有理数的乘方进行计算，然后再合并即可． 【详解】解：（-2）2n+1+2×（-2）2n =-22n+1+22n+1 =0． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，掌握负数的偶次方为正、奇次方为负是解答本题的关键． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，然后求解即可； （2）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，为奇数，然后求解即可； 【详解】解：，则为偶数，为奇数 （1）， （2），， 【点睛】此题考查了有理数乘方的有关性质，解题的关键是根据题意判定出为偶数，为奇数． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】解：（1）的指数是12，为偶数，根据负数的偶次幂是正数，可知的结果为正； （2）的指数是9，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负； （3）表示的是的相反数，根据正数的任何次幂都是正数，可知的结果为正，所以的结果为负； （4）的指数是11，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 【变式训练5 乘方的应用】 1．（2024·河南周口·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据乘方的意义和乘法的意义，根据个3相乘为，个5相加为，即可得出结果为． 【详解】解：个3相乘为，个5相加为， ， 故选：B． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（    ） A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 【答案】D 【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出每次操作后纸张的厚度，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1次操作后的厚度为：； 第2次操作后的厚度为：； 第3次操作后的厚度为：； ， 所以第次操作后的厚度为：； 当时， ， 所以第10次操作后的厚度最接近于一支中性笔的长度． 故选：D． 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：若，则，则根据此规定， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，根据题意直接计算即可求解．理解新定义结合有理数乘方运算法则计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ； 故答案为：． 4．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，受此启发，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用；根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，进而即可求解． 【详解】解：由题意可知， 部分①面积是， 部分②面积是， 部分③面积是， …， 则阴影部分的面积是， 阴影部分的面积是； ∴． 故答案为：． 5．（22-23六年级下·山东淄博·期中）请你用几何图形直观地解释． 【答案】解释见解析 【分析】利用正方形的面积计算方法进行解答即可． 【详解】解：设小正方形的边长为，则正方形的边长为， ∴正方形的面积为：， ∵正方形是由个边长为的小正方形拼接而成， ∴正方形的面积为：， ∴． 【点睛】本题考查积的乘方的实际意义．抓住面积的不同表示方法是解题的关键． 6．（22-23七年级·全国·假期作业）当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去． (1)当对折3次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是0.1mm，求对折8次时，总厚度是多少mm？ 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据题意可知对折3次，层数就是层； （2）先算出层数，再乘0.1即可得出结果． 【详解】（1）解：∵23＝8， ∴对折3次时，层数是8； （2）解：28×0.1 ＝256×0.1 ＝25.6（mm）， ∴总厚度是25.6mm． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键． 【变式训练6 程序流程图与有理数计算】 1．（23-24七年级下·陕西·期中）如图是一个数据转换器的示意图，当我们输入时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求代数式的值，解根据已知条件中示意图和的值，列出算式，求出即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．2023 D．2021 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．把1921代入程序中计算，判断即可得到结果． 【详解】解：把1921代入得：， 把代入得：， 则输出结果为． 故选D． 3．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）按如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出的y值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查有理数计算．根据题意代入数值按照程序图计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵输入x的值为， ∴，，故继续计算， ，，故输出， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·海南海口·期中）已知为两个不相等的有理数，根据流程图中的程序，当输出数值y为时，所输入的较大的数是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，本题是操作性题目，正确利用程序图中的程序列出式子是解题的关键．利用分类讨论的方法，根据程序图中的程序列式计算即可． 【详解】解：当时， 输出数值为， 当时， 输出数值为， 综上，中较大的数为 故答案为∶ 5．（22-23七年级上·吉林长春·期中）定义一种新运算：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目的新定义可得：；计算即可； （2）根据题目的新定义可得：，计算出括号里的数，然后再根据新定义计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，定义新运算，读懂题意，理解题目所给出的新运算是解本题的关键． 6．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）根据如图所示的程序计算，若输入的x的值为-2，求输出的y值． 【答案】输出的y值为11 【分析】根据程序计算列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据程序计算，得： ． 答：输出的y值为11． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序，是解题的关键． 【变式训练7 含乘方的有理数混合运算】 1．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）计算：的结果是（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．按顺序先计算乘方，再计算加法即可． 【详解】解：． 故选B． 2．（2024·山东聊城·一模）体重指数（）是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重50千克，则小张的体重状况是（    ） 体重指数（）的范围 体重状况 体重指数 消瘦 体重指数 正常 体重指数 超重 体重指数 肥胖 A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖 【答案】A 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据的计算公式求出小张的，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小张的， ∴小张的体重状况是消瘦， 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）对于非零有理数a、b，定义运算，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下含乘方的有理数混合运算，按照新定义的运算法则，进行解答即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·重庆南岸·阶段练习）数学课上，老师编制了一个程序，当输入任意一个有理数时，显示屏上的结果总是输入的有理数的平方与1的差的2倍，若输入，并将显示的结果再次输入，则这时显示的结果是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列式计算即可得出答案，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得： 若输入，得到的结果为：， 将显示的结果再次输入，得到的结果为：， 若输入，并将显示的结果再次输入，则这时显示的结果是， 故答案为：． 5．（2024·广西·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先确定符号，再计算乘法即可． （2）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可． （3）先算乘方与括号内的减法运算，再计算乘法运算，最后计算加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 【变式训练8 计算器--有理数】 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）使用计算器进行计算，其按键顺序为：，则输出结果为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查计算器的基础知识，解题的关键是掌握分数的按键和乘方的按键，并依据其功能列出算式；根据计算器的顺序列出算式计算即可． 【详解】解：根据如图所示的按键顺序，输出结果应为： ； 故选：C. 2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果应为（   ） A．6 B．2 C．5.171 D．1.171 【答案】C 【分析】本题主要考查了计算器的应用，掌握算术平方根的计算器求法是解题的关键． 先将计算器输入转化为算术平方根的形式，然后再根据算术平方根进行计算即可． 【详解】解：由计算器的按键顺序可得：． 故选：C． 3．（23-24六年级上·山东烟台·期中）若用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下，则计算结果是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了计算器计算，根据题意，得，解答即可． 【详解】根据题意，得， 故答案为：36． 4．（22-23六年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：则输出结果应为 ． 【答案】 【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了计算器，有理数的混合运算，掌握用计算器计算有理数的混合运算是解题的关键． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）用计算器计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）依据数值依次按键输入即可计算得到答案； （2）依据数值依次按键输入即可计算得到答案． 【详解】解：（1）按键顺序为 计算器显示结果为，可以按键切换为小数格式，所以． （2）按键顺序为 计算器显示结果为． 【点睛】此题考查计算器输入方法，利用计算器计算的输入顺序，正确掌握输入计算器的顺序及各键的功能是解题的关键． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出一个四位数，它的各个数位上的数字都不相等（如6731）．用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的四位数．对于新得到的四位数，重复上面的过程，又得到一个新的四位数．一直重复下去，你发现了什么？请借助计算器帮助你进行探索． 【答案】借助计算器尝试几次后会发现，对任何一个各个数位上的数字都不相等的四位数，总能得到6174这一结果，并固定在这一结果上，似乎掉进了一个“黑洞”里． 【分析】根据题目指示进行计算，得出结果并进行分析． 【详解】解：四位数8631 8631−1368＝7263， 7632−2367＝5265， 6552−2556＝3996， 9963−3699＝6264， 6642−2466＝4176， 7641−1467＝6174， 7641−1467＝6174， … 由上可知，最终得到6174这一结果，并且固定在这一结果上． 【点睛】本题是一个探究性题目，可以激发学生的学习兴趣．但在探究时一定记住6174是个数字黑洞这个规律． 【变式训练9 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就．某大数据中心存储约本电子书籍，将用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法“科学记数法表现形式为，其中，n为正整数，当原数的绝对值时，的值为所有整数位减”即可得，掌握科学记数法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．（2024·江苏南京·三模）年末，南京市常住人口为万人，将“万”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，然后根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故答案为：． 4．（2024·广东东莞·三模）“嫦娥六号”在月球背面缓缓伸出的小小国旗引发网友热议，而它的上一任，“嫦娥五号”带回的月球土壤让科学家推断出月球早在20亿年前死亡，20亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此解答即可． 【详解】解：∵20亿， ∴20亿用科学记数法表示为， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·云南昆明·期中）已知每台水压机有四根空心钢立柱，如图，每根高都是，外径D为，内径d为．每立方米钢的质量为，则25台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是多少？（取，最后结果的数值用科学记数法表示） 【答案】 【分析】先根据体积=底面积×高，求出每台的体积，再求出25台的总质量即可． 【详解】解：每台体积： 25台的总质量：． 答：25台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是． 【点睛】本题主要考查了求圆柱体的体积，科学记数法，解题的关键是熟练掌握相关体积公式和科学记数法的表示形式． 6．（22-23七年级上·四川宜宾·阶段练习）根据测算，太阳能热水器每平方米集热面积平均每月所产生的能量相当于10千克煤燃烧所产生的能量．某新建居民小区共600户，开发商统一为每户安装一台2平方米集热面积的太阳能热水器．这个小区一年中所产生的太阳能能量大致相当于多少千克煤燃烧所产生的能量？（结果用科学记数法表示） 【答案】千克 【分析】根据题意可直接列式进行求解． 【详解】解：由题意得： （千克）； 答：这个小区一年中所产生的太阳能能量大致相当于千克煤燃烧所产生的能量． 【点睛】本题主要考查有理数乘法的应用及科学记数法，解题的关键是找准题中的等量关系． 【变式训练10 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）实数1200用科学记数法表示为，则 表示的原数为（    ） A．1200000 B．120000 C．14400000 D．1440000 【答案】A 【分析】本题用科学记数法表示的数表示为原数，考查学生的运算能力． 实数1200用科学记数法表示为，则，因此． 【详解】， ， ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·河北承德·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示的数还原成原数．把数据写成原数，就是把8的小数点向右移动5位． 【详解】解：把数据中8后的小数点向左移动5位就可以得到，原数中小数点后“0”的个数为4，其中有1个数未被遮住． 所以，被遮住的0的个数为（个） 故选：C． 3．（22-23七年级上·河北沧州·期中）156000000用科学记数法表示为 ，的原数是 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．科学记数法表示的数，直接用乘法法则计算即可得原数． 【详解】解：， ， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 4．（22-23六年级上·全国·单元测试）用科学记数法表示人体中约有的红细胞为个，不用科学记数法表示，原来的数据是 个． 【答案】 【分析】把个写成不用科学记数法表示的原数的形式，就是把的小数点向右移动位即可得到． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当时，是几，小数点就向后移几位． 5．（2020七年级上·全国·专题练习）把下列用科学记数法表示的数转化成原数.   （1）；  （2）；  （3）千米 【答案】（1）3140；（2）-17320000；（3） 【分析】根据科学记数法知识点计算即可；， 【详解】（1）； （2）； （3）千米=千米； 【点睛】本题主要考查了科学记数法的应用，准确计算是解题的关键． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ （1）北京故宫的占地面积约为； （2）人体中约有个红细胞； （3）全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【答案】（1）；（2）25000000000000个；（3） 【分析】用科学记数法还原原数时，时，是几，小数点向右移动几位． 【详解】解：（1）＝； （2）＝25000000000000个； （3）＝． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10−n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【变式训练11 求一个数的近似数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到即对千分位上的数字进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解：用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是， 故选：D． 2．（22-23七年级下·贵州贵阳·期中）下列数据中，是近似数的是（    ） A．足球比赛开始时每方有11名球员 B．我国有31个省、直辖市、自治区 C．光明学校有856人 D．光的速度为米/秒 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和准确数的定义．近似数∶近似数是指与实际接近的数．通常含有约为、大约等字样的数字都为近似数．经过测量的数据都是近似数．准确数∶一个数能表示原来物体或事件的实际数量，这个数称为准确数． 【详解】解：A．足球比赛开始时每方有11名球员，11为准确数，故本选项不符合题意； B．我国有31个省、直辖市、自治区，31为准确数，故本选项不符合题意； C．光明学校有856人，856为准确数，故本选项不符合题意； D．光的速度为米/秒，为近似数，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）近似数有 个有效数字． 【答案】2 【分析】本题主要考查有效数字个数的确定：从左边第一个不是0的数字起往右，有几个数字既有几个有效数字，据此求解即可． 【详解】解：对于近似数，有效数字是4和0，共有2个有效数字． 故答案为：2． 4．（22-23七年级上·广东·开学考试）有一个三位小数，用“四舍五入”法保留整数是3，保留一位小数是3.0，保留两位小数是3.00，这个小数各个数位上的和是25，这个三位小数是 ． 【答案】2.995 【分析】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．这个三位小数的整数位不可能为3，否则这个小数各个数位上的和不可能是25，所以这个三位小数的整数位为2，这个三位小数的十分位和百分位上的数字为9，最后确定千分位上的数字． 【详解】解：根据题意，这个三位小数的整数位不可能为3，否则这个小数各个数位上的和不可能是25，所以这个三位小数的整数位为2，这个三位小数的十分位和百分位上的数字为9，最后确定千分位上的数字． 这个三位小数是2.995． 故答案为：2.995． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值： (1)38063（精确到千位）； (2)（精确到百分位）： (3)（精确到）； (4)（精确到十分位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，即对该位的下一位数字进行四舍五入，据此求解即可． 【详解】（1）解：（精确到千位）； （2）解：（精确到百分位） （3）解：（精确到） （4）解：（精确到十分位）． 6．（2023七年级上·浙江·专题练习）某人买了一辆小轿车，他记录了连续七天中每天行驶的路程： 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程/千米 36 29 27 40 43 72 33 请你用学过的统计知识解决下面的问题： (1)此人的轿车每月（按30天计算）要行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升6.61元，请你算出此人一年（按12个月计算）的汽油费用大约是多少元（精确到百元）． 【答案】(1)此人的轿车每月（按30天计算）要行驶1200千米 (2)此人一年（按12个月计算）的汽油费用大约是7600元 【分析】（1）先利用平均数的计算公式求出每天行驶的路程，再乘以总天数即可． （2）根据每月要行驶的距离求出每年要行驶的距离，再乘耗油量和价格就可求出一年的汽油费用． 【详解】（1）解：根据题意得： ×（36+29+27+40+43+72+33）＝40（千米）， 40×30＝1200（千米）． 答：此人的轿车每月（按30天计算）要行驶1200千米； （2）解：根据题意得： 1200×12××6.61＝7614.72≈7600（元） 答：此人一年（按12个月计算）的汽油费用大约是7600元． 【点睛】本题考查近似数和有效数字，用样本估计总体及算术平均数的知识，平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．用样本估计总体的思想方法要会运用． 【变式训练12 指出一个近似数精确到哪一位】 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）近似数0.8和0.80所表示的意义（    ） A．相同 B．不同 C．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．据此解答即可． 【详解】解：近似数0.8表示精确到0.1，近似数0.80所表示精确到0.01， 近似数0.8和0.80所表示的意义不同， 故选：B． 2．（22-23七年级上·山东济南·期中）下列说法正确的是（　　） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数字，利用近似数的精确度对各选项进行判断即可，掌握精确度的概念是解题的关键． 【详解】、精确到千分位，原说法错误，不符合题意； 、万精确到千位，原说法错误，不符合题意； 、精确到十位，原说法错误，不符合题意； 、精确到千位，原说法正确，符合题意； 故选：． 3．（23-24七年级下·上海松江·期中）近似数亿精确到 位 【答案】十万 【分析】本题考查了近似数与精确度，根据近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，即可求解，掌握精确度的定义是解题的关键． 【详解】解：∵近似数亿， ∴近似数亿精确到十万位， 故答案为：十万． 4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）温州市苍南县在龙港独立建市后的常住人口为万人，由四舍五入得到的近似数万精确到 位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：近似数万精确到百位． 故答案为：百． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）7.93；      （2）0.0405；      （3）25.9万；      （4）． 【答案】（1）精确到百分位；（2）精确到万分位；（3）精确到千位；（4）精确到万位． 【分析】根据近似数的定义一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度，即可得出答案． 【详解】解：（1）7.93，精确到百分位； （2）0.0405，精确到万分位； （3）25.9万，精确到千位； （4），精确到万位． 【点睛】此题考查了近似数，用到的知识点是近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度． 6．（20-23七年级上·全国·课后作业）按括号里的要求对下列各数取值 （1）0.9541（精确到十分位）； （2）2.5678（精确到千分位）； （3）14595（用科学记数法表示） （4）﹣30130978（用科学记数法表示）； （5）789532000（用科学记数法表示） 【答案】（1）1.0；（2）2.568；（3）1.4595×104；（4）﹣3.0130978×107；（5）7.89532×108． 【分析】根据科学记数法的表示和近似数的知识点书写即可； 【详解】解：（1）0.9541≈1.0（精确到十分位）； （2）2.5678≈2.568（精确到千分位）； （3）14595＝1.4595×104（用科学记数法表示）； （4）﹣30130978＝﹣3.0130978×107（用科学记数法表示）； （5）789532000＝7.89532×108（用科学记数法表示）； 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，结合近似数的知识点是解题的关键． 【变式训练13 由近似数推断真值范围】 1．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）一个数精确到十分位的结果是，那么这个数的范围满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了由近似数推断真值范围．根据四舍五入的近似法则，应看数位上的数字，即可得到答案． 【详解】解：把a精确到十分位的近似数是，则a的取值范围是， 故选：D． 2．（23-24七年级上·河南周口·期中）近似数是由四舍五入得到的，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了近似数近似数与精确数的接近程度，可根据近似数的精确度求解． 【详解】解：根据题意得． 故选：B． 2．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一个三位小数保留两位小数约是5.43，这个三位小数的最大值与最小值的差是 ． 【答案】0.009 【分析】本题考查近似数，根据近似数的含义和四舍五入法，可以写出这个近似数的最小三位数和最大三位数，然后相减即可． 【详解】解：由题意可得， 这个三位小数最小是5.425，最大是5.434， ． 故答案为：0.009． 3．（22-23七年级上·浙江杭州·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，能灵活运用法则进行变形是解此题的关键．先根据积的乘方进行变形，再求出即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）若k的近似值为4.3，求k的取值范围． 【答案】4.25≤k＜4.35 【分析】根据四舍五入的特点即可求解． 【详解】解：∵4.3-0.05≤k＜4.3+0.05， ∴4.25≤k＜4.35． 【点睛】此题主要考查近似数，解题的关键是熟知四舍五入的性质． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员质检错误？ 【答案】(1)； (2)小王加工的轴不合格． 【分析】（1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位， 应当看末位数字实际在哪一位； （2）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格． 【详解】（1）解：近似数的要求是精确到， 所以原轴的范围是. （2）解：原轴的范围是， 故轴长为与的产品不合格，即小王加工的轴不合格． 【点睛】本题考查了近似数及有效数字，小数的位数不同它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． 1．（2024·安徽滁州·三模）等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：D． 3．（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，根据的确定方法解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．（2023·河南信阳·二模）年月日，我国“羲和号”卫星，完成了全部在轨试验项目，实现了双超平台试验和科学载荷试验的工程目标，获取的数据有力支撑了太阳光谱科学研究，每天产生约原始数据这些数据已通过国家航天局指定网站，按照数据管理政策对外发布，被美国、法国、德国、日本、比利时、捷克、俄罗斯等国家科学家下载使用，显著提升了我国在空间科学领域的国际影响力，我们知道，，，，那么数据等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意运用乘方知识进行求解． 【详解】解： ， 故选：． 【点睛】此题考查了运用乘方运算解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识． 5．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，表示的天数为66天．按同样的方法，图2表示的天数是（    ） A．72 B．343 C．366 D．1032 【答案】C 【分析】本题考查了用数字表示事件和有理数的运算．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算记录自己读书的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：图2表示的天数是， 故选：C 6．（23-24七年级上·天津宁河·期中）用四舍五入法将精确到百分位约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位约为． 故答案为：． 7．（22-23七年级上·上海黄浦·阶段练习）准确数A精确到0.01的近似数是2.40，那么A的取值范围为 ； 【答案】 【分析】精确到0.01求近似数要看千分位上的数进行四舍五入，近似值为2.40，有两种情况，千分位上的数舍去，和千分位上的数要进一，找出舍去和进一的数字即可解答． 【详解】解：千分位上舍去的数有1、2、3、4，即数A可能是2.401、2.402、2.403、2.404； 千分位进一的数有5、6、7、8、9，因为千分位进一，得到近似数是2.40， 所以原来的小数的百分位上是10-1=9，百分位9+1=10又向十分位进一， 即原数的十分位原来是4-1=3， 即数A可能是2.395、2.396、2.397、2.398、2.399； 所以数A精确到0.01时近似值是2.40， 所以A的取值范围为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了近似数的求法，考虑A小于2.40，考虑A大于2.40，根据千分位（小数点后第三位）四舍五入是解题的关键． 8．（22-23七年级上·河北张家口·期末）现定义某种运算“”，对任意两个有理数、，有，如，计算： ． 【答案】1 【分析】理解“”，先算括号内的，再算括号外的． 【详解】 故答案为：1． 【点睛】此题是新定义运算题型，考查有理数的乘方．关键要理解新定义的运算含义和乘方的意义． 9．（23-24六年级上·山东威海·期末）《庄子·天下篇》中记载道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．这句话的意思是：“一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完”．根据这句话计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，令原式为S，计算，两数相减即可求解．灵活运用运算法则求解是解答的关键． 【详解】解：设， 则， 得， ∴， 故答案为：． 10．（22-23七年级上·陕西西安·期中）《九章算术》中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺；蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日的一半”．则第二十日蒲生长的长度为 尺． 【答案】 【分析】根据蒲的增长规律即可表示出第二十日蒲生长的长度． 【详解】解：根据题意，第一日长了3尺，第二日长了尺，第三日长了尺，…… ∴第二十日蒲生长的长度为， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘方的应用，根据实际问题准确列出算式是解决问题的关键． 11．（22-23八年级上·陕西渭南·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】先利用有理数的乘方，零次幂分别化简，进而计算即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方、零次幂的概念与计算，掌握有关运算法则是解题的关键． 12．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，乘法分配律； （1）运用乘法分配律展开，进一步运用有理数的乘法法则、加减法法则处理； （2）运用有理数的乘方法则、乘法、除法法则运算处理； 【详解】（1）解： （2）解： 13．（23-24七年级上·全国·课后作业）比较用科学记数法表示的两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将和化成原数比较即可判断出； （2）根据即可判断出． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴； （2）解：∵， ， ∴． 【点睛】本题主要考查的是比较有理数的大小和科学记数法的应用，掌握此类问题的比较方法是解题的关键． 14．（2023七年级上·浙江·专题练习）下列问题中，哪些是近似数？哪些是精确数？ (1)地球半径是6371米； (2)一星期有7天； (3)光的速度是每秒30万千米； (4)我国古代的4大发明； (5)某学校有36个班级； (6)小明的体重是46.3公斤． 【答案】(1)近似数 (2)精确数 (3)近似数 (4)精确数 (5)精确数 (6)近似数 【分析】根据近似数和准确数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】（1）解：地球半径是6371米，其中6371是近似数． （2）解：一星期有7天，其中7是准确数． （3）解：光的速度是每秒30万千米，其中30万是近似数． （4）解：我国古代的4大发明，其中4是准确数． （5）解：某学校有36个班级，其中36是准确数． （6）解：小明的体重是46.3公斤，其中46.3是近似数． 【点睛】本题主要考查对近似数和精确数的概念的理解，注意它们的区别，在生活中有一些事物的数量，有时用比较准确的数表示，我们称之为精确数，有时不用准确的数表示，而用一个与它比较接近的数来表示，这样的数就是近似数． 15．（22-23七年级上·山东济南·期中）阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： ； 将下式减去上式得： ，即，即； 请你仿照此法计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，从而可得的值，再计算，由此即可得； （2）设，从而可得的值，再计算，由此即可得． 【详解】解：（1）设， 将等式两边同乘以得：， 将上式减去下式得：，即， 则， 即； （2）设， 将等式两边同乘以3得：， 将下式减去上式得：，即， 则， 即． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，掌握理解阅读材料中的求解方法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$