精品解析：江苏省宿迁地区2023-2024学年高二下学期期中调研测试数学试题

2023~2024学年度第二学期期中调研测试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有不同语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有(　　) A. 22种 B. 350种 C. 32种 D. 20种 【答案】A 【解析】 【分析】从中任选一本阅读，选择的方法有三类，故选择1本书的方法需要分三种情况讨论，再利用加法原理解决问题. 【详解】解：由题意知本题是一个分类计数问题， 解决问题分成三个种类，一是选择语文书，有10种不同的选法； 二是选择英语书，有7种不同的选法， 三是选择数学书，有5种不同的选法， 根据分类计数原理知，共有10+7+5＝22种不同的选法. 【点睛】本题考查分类计数原理，本题解题的关键是看清楚完成一件事包含有几类情况，计算出每一类所包含的基本事件数，进而相加得到结果. 2. 已知向量，，若，则z＝（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线得比例关系求解. 【详解】因为，所以. 故选:A. 3. 某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 9种 D. 10种 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有种走法； 从点到点，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有种走法， 由分步计数原理，可得共有种不同的走法. 故选：C. 4. 在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案. 详解】由题意得：， 故选：B. 5. 已知向量则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合已知条件求解即可. 【详解】由投影向量公式得向量在向量上的投影向量为. 故选：D 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C. 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D. 对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由已知条件结合空间向量共面定理，以及向量共线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由空间向量的加法运算可知，故A正确； 空间中任意两个向量都共面，故B错误； 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误； 若，且，则、、、四点共面，故D错误； 故选：A 7 ，则（ ） A. B. 0 C. 32 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法计算可得. 【详解】因， 令可得， 令可得， 令可得， 所以， 则. 故选：A 8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分别求出平面，平面与的法向量，再结合向量知识得到直线的方向向量，最后由线面角的公式求出结果即可. 【详解】因为平面的方程为， 所以平面的一个法向量为， 同理可得平面与的一个法向量为和， 设直线的一个方向向量为， 则， 不妨取，则， 直线与平面所成的角为， 则， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据排列数与组合数的计算公式以及性质即可逐一求解. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，，故，故B错误， 对于C，则或，解得 或，故C错误， 对于D，,故D正确， 故选：AD 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 B. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 C. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 D. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 【答案】BC 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理确定所求事件的方法数，由此判断各选项. 【详解】事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”可分为四步完成， 第一步，第一个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法， 第二步，第二个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法， 第三步，第三个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法， 第四步，第四个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法， 由分步乘法计数原理可得， 完成事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”的方法数为， 所以A错误，B正确， 事件“三个项目冠军的确定”可分为三步完成， 第一步，确定跑步比赛的冠军，有4种方法， 第二步，确定跳高比赛的冠军，有4种方法， 第一步，确定跳远比赛的冠军，有4种方法， 由分步乘法计数原理可得， 完成事件“三个项目冠军的获取”的方法数为种， 所以C正确，D错误， 故选：BC. 11. 如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与所成的角为 B. 点到直线的距离为 C. 与平面所成角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出的坐标，计算其数量积，可判断A；根据空间距离的向量求法可判断B，D；求出平面的法向量，根据空间角的向量求法可判断C. 【详解】由题意可知两两垂直，故以C为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 则，即， 则与所成的角为，A正确； 对于B，，则， 故点到直线的距离为，B正确； 对于C，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设与平面所成角为，其范围为大于等于小于等于， 故，故，C错误； 对于D，，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离为，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为______（用数字做答）. 【答案】12 【解析】 【分析】不相邻问题借助插空法计算即可得. 【详解】先排2名女生，有种排法，借助插空法，共有3个空位，故3名男生有种排法， 共有种排法. 故答案为：12. 13. 平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 则 , 故答案为：1. 14. 直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取交点于点，以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立空间直角坐标系，设，，，可得，则，由求出平面的一个法向量，由点到平面的距离公式可得，再由，可得点到平面的距离的最小值. 【详解】 取交点于点， 因为直四棱柱的所有棱长都为， 所以， 以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，，所以， 因为点在四边形及其内部运动，所以设，， 又因为，所以， 即，则， 设点到平面的距离为，则有， 又因为，所以时，， 即点到平面的距离的最小值为 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知，向量，且满足 （1）求点的坐标； （2）若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由向量共线列方程组，解出即可； （2）由向量的坐标运算分别求出，再由坐标计算结合二次函数求出最值即可； 【小问1详解】 设，则， 因为． 所以，解得． 所以； 【小问2详解】 因为点在直线为坐标原点）上运动， 所以． 所以， ． 所以 ． 当时，取得最小值． ． 16. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列， （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中含的项的系数. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得的值； （2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项； （3）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得含的项的系数． 【详解】解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为， 所以，即， 所以（舍去）或. （2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项， 即. （3）通项公式： 由，， 可得含的项的系数为. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质． 17. 共10个数字． （1）可组成多少个无重复数字的四位数； （2）可组成多少个无重复数字的五位偶数； （3）可组成多少个无重复数字的大于或等于30000的五位数； （4）在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）0不能排在首位，其他任意排即可求解； （2）分0在首位和0不在首位两种情况，满足末位是偶数即可； （3）大于或等于30000的五位数，首位从3，4，5，6，7，8，9任选一个，其它的任意排即可； （4）首先确定比50000大的数，然后确定比50000大比50124小的只有50123，即可求解. 小问1详解】 先选1个数字排在首位，其它任意排，故有个； 【小问2详解】 当0在末位时，有个， 当0不在末位时，从2，4，6，8，选一个放在末位，故有个， 故五位偶数共有个； 【小问3详解】 大于或等于30000的五位数，首位从3，4，5，6，7，8，9任选一个，其它的任意排， 故有个； 【小问4详解】 比50000大的数，故有个， 比50000大比50124小的有，前四位为5，0，1，2，最后一位为3，只有50123， 故在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第个. 18. 如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，若异面直线与所成角等于． （1）求棱的长； （2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）存在，点为棱上靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）先得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，设，得到各点坐标，由异面直线的夹角得到方程，求出，求出棱长； （2）假设棱上存在一点，设，，表达出，求出两个平面的法向量，由平面与平面所成锐二面角的余弦值得到方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 因为底面，平面， 所以，， 又，所以两两垂直， 如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设， 则， 则， 异面直线、所成角为， ， 解得，棱长的大小为2； 【小问2详解】 假设棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为， 设，，且，则， ， 设平面的一个法向量为， ，， 则， 取，得， 平面的法向量， 平面与平面所成锐二面角的正切值为， 由得，又，解得， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为， ， 解得或（舍， 在棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为， 且点为棱上靠近的三等分点． 19. 在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范.根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两边展开式中的系数可得.利用上述思想方法，请计算的值（可用组合数作答）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把看作整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数求得结果. （2）根据二项式定理和三项式的次系数列的定义，分别展开，然后比较的系数，建立方程关系进行求解即可. 【小问1详解】 因为 （在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数）， 从而，，， 故. 【小问2详解】 因为 其中含项的系数为 又， 的展开式中的第项为 ， 令，解得， 所以含项的系数为； 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期期中调研测试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有不同语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有(　　) A. 22种 B. 350种 C. 32种 D. 20种 2. 已知向量，，若，则z＝（ ） A. B. 4 C. D. 3. 某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 9种 D. 10种 4. 在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C. 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D. 对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 7. ，则（ ） A. B. 0 C. 32 D. 64 8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C 若，则 D. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 B. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 C. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 D. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 11. 如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 与所成角为 B. 点到直线的距离为 C. 与平面所成角为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为______（用数字做答）. 13. 平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 14. 直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知，向量，且满足 （1）求点的坐标； （2）若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 16. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列， （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中含的项的系数. 17. 共10个数字． （1）可组成多少个无重复数字的四位数； （2）可组成多少个无重复数字的五位偶数； （3）可组成多少个无重复数字大于或等于30000的五位数； （4）在无重复数字五位数中，50124从大到小排第几． 18. 如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，若异面直线与所成角等于． （1）求棱的长； （2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由． 19. 在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范.根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两边展开式中的系数可得.利用上述思想方法，请计算的值（可用组合数作答）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$