第6章 平面向量及其运用知识点汇总-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第二册）

《人教A版必修二知识点汇总》 第6章 《 平面向量及其应用 》知识点汇总 6.1 平面向量的概念 1.向量的概念 (1)向量：像力、位移这样，在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：像长度、质量这样，在数学中，我们把只有大小没有方向的量叫做数量. 注：物理学中常称向量为矢量，数量为标量，你还能举出物理学中其他的一些向量和数量吗？ 例1 下列物理量中，向量有（③⑤⑦⑩），数量有（①②④⑥⑧⑨） .（填序号） ①质量； ② 年龄 ； ③ 位移； ④ 角度； ⑤ 加速度； ⑥ 面积； ⑦ 风速； ⑧ 身高； ⑨ 温度； ⑩ 弹力. 2.向量的表示与特殊向量 （1）有向线段 如图所示，我们把具有方向的线段叫做有向线段. 以为起点、为终点的有向线段记作，线段的长度也叫做有向线段的模，记作 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 注：知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了. （2）向量的表示 ①几何表示 如图，数学上通常用有向线段表示向量，以为起点、为终点的有向线段表示向量. 其中有向线段的长度表示向量的大小（或模），记作，有向线段的方向表示向量的方向. 注：在空间中，向量是可以进行平移的. ②字母表示 向量可以用字母表示(印刷用黑体书写时用） 温馨提示：有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素，而向量有大小和方向两个要素.在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的.每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段. （3）特殊向量 ①零向量 长度为的向量叫做零向量 , 记作. 注： 的模为，即 ； 的方向是任意的，即它的方向可以看作任意方向. ②单位向量 长度等于个单位长度的向量，叫做单位向量 , 通常用表示，即| |=1. 注：任何一个非零向量都有它的单位向量，且. （4）实例运用 例2如图，分别用向量表示地至，两地的位移，并根据图中的比例尺，求出地至，两地的实际距离精确到． 解：如图所示 表示表示地至地的位移， 表示表示地至地的位移， ∵ 图中比例尺为 即图上代表实际距离 ∴ 答:地至，两地的实际距离分别约为 3.向量间的特殊关系 （1）平行向量（或共线向量） 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量），记作. 注① 我们规定，零向量与任意向量平行， 即对于任意向量，都有. 注② 如图,已知是一组平行向量，任作一条与所在直线平行的直线，在 上任取一点，则可在上分别作出，，=． 这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上， 因此平行向量也叫做共线向量 . （2）相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 如图 向量与为相等向量，记作. 注：①任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关； ② 同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量， 因为向量完全由它的模和方向确定. （3）相反向量 长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 如图 向量与为相反向量，记作. 注①向量的相反向量为，且； 注②规定: 的相反向量为 ，记作 . （4）实例运用 例3如图，设是正六边形的中心． ①写出图中的共线向量 ②分别写出图中与，，相等的向量． 解： ①如图所示 ∵ 已知是正六边形的中心． ∴ , ,, 是共线向量 , ,, 是共线向量 ,,,是共线向量 ②由图可知 ; ; . 6.2.1 向量的加法运算 1.向量加法的定义与三角形法则 （1）向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 注：对于零向量与任意向量，规定 , 即“任何向量与零向量相加等于它本身”. （2）向量加法的三角形法则 如图，已知非零向量，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作， 即. （语言表达）：两个向量的求和，等于先把第一个向量的尾端和第二个向量的首端连接，那么连接第一个向量的首端与第二个向量的尾端得到的向量即为这两个向量的和. 即向量加法的三角形法则简称为“首尾相连接”. （3） 实例运用 例1如图，已知平面四边形，则 (　 　) A. B. C. D. 2. 向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点为起点的两个已知向量，，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量 (是平行四边形的对角线)就是向量 与 的和. 即 温馨提示 : 应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”.向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义. 3.向量加法的性质及其运算律 （1）一般地，我们有 ，当且仅当，中有一个是零向量或，是方向相同的非零向量时等号成立. 注：当等号不成立时，这一不等式的几何意义为“三角形的任意两边之和大于第三边” （2）交换律：. （3）结合律：()＋. 4.实例运用 例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图，一艘船从长江南岸地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东． 用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 解：如图所示，表示船速， 表示江水速度， 以为邻边作平行四边形， 据平行四边形法则可知, 故表示船实际航行的速度 （2） 求船实际航行的速度的大小与方向 解: ∵ 由（1）知四边形为平行四边形 ∴ 又 ∵已知 ∴ ∴ 四边形为矩形 ∴ 即 为直角三角形 ∴ 又 ∵ 且 ∴ 答：船实际航行的速度的大小为，方向为东偏北（即与江水速度的夹角为） 6.2.2 向量的加法运算 1.相反向量及其性质 （1）向量加法的定义 长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 如图， 向量 与 互为相反向量，记作 . 注①向量 的相反向量为，且 ； 注②规定：的相反向量为，记作. （2）相反向量的性质 如图，由两个向量和的三角形法则易知： 当 与 互为相反向量时，则满足 即“互为相反向量的两个向量的和为零向量” 2.向量减法的定义及其运算法则 （1）向量减法的定义 向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，记作： . 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 注：由向量减法的定义可知，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. （2）向量减法的运算法则（几何意义） ①作法 如图，已知非零向量 与 , 在平面内任取一点， 作， ， ∵ 据向量加法的三角形法则有 , ∴ . ②几何意义 对于具有公共起点的非零向量 与 ，- 可以表示为从向量的终点指向向量 的终点的向量. 注：向量减法的运算法则可以简称为具有公共起点的两向量“尾尾倒相连”. 3.实例运用 例 如图 （2），在平行四边形中 ， , ,你能用 , 表示向量 吗？ 解：∵ 已知在平行四边形中 ， , , ∴ 据向量加法的平行四边形法则可知 又据向量的减法法则可知 6.2.3 向量的数乘运算 1.定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： （1） 的长度为:; （2） 的方向为： ①当 时， 的方向与的方向相同； ②当时， 的方向与的方向相反； ③当时，＝. 温馨提示　Ⅰ.向量的数乘仍是一个向量； Ⅱ.实数与向量 不能相加减. 2.运算律 根据向量数乘的定义可以得到如下的运算律 设为实数，则有： (1)； (2)； (3). 特别地，有，. 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数， 恒有 . 例1 计算： （1）; （2）; （3）. 4.向量共线定理及其推论 （1）向量共线定理 向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 （2）向量共线定理的推论 在平面中三点共线的充要条件是：(为平面内直线外任意一点)， 其中 例2如图，已知任意两个非零向量，，试作，，． 猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想． 解:如图，分别作向量，，，过点作直线 观察发现，不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想三点共线. 证明：∵ ∴ ∴ 为共线向量 又∵ 故三点共线. 6.2.4 向量的数量积 1.向量的夹角与数量积 （1）向量的夹角 如图，已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作向量 , ,则∠叫做向量与的夹角,记作. 注：特别地， ①当 时，与同向 ； ②当 时，与反向； ③当 时，我们说与垂直，记作 . 温馨提示　 ①两向量的夹角的范围是； ②两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. （2）向量的数量积 如图，已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为，我们把数量 叫做 与的数量积(或内积)，记作 ， 即 规定：零向量与任一向量的数量积为，即. 温馨提示　 ①数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写. ②向量的数量积是一个实数(数量)，不是向量，它的值可正、可负、可为0. （3）实例运用 例1 已知，，与的夹角，求 ． 解： ; 例2设，，，求与的夹角． 解：由 可得 又∵ ∴ 2.投影向量、向量数量积的性质与运算律 （1）投影向量的概念 如图，设，是两个非零向量，, ，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为,得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影，叫做向量在向量上的投影向量. 特别地，如图，在平面内任取一点，作, ，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. （2）投影向量的求解公式 对于任意的 ，都有向量向量在向量上的投影向量为 注：其中 为向量 与 夹角. （3）向量数量积的性质 由向量数量积公式 ＝||||cos θ 可得如下的性质 设两个非零向量 与 ，它们的夹角为，是与 方向相同的单位向量，则有 ① ; ② ; ③Ⅰ.当与 同向时，; Ⅱ.当 与 反向时，; Ⅲ.特别地,，则有 ; ④由可得 ：. （4）向量数量积的运算律 由向量数量积的定义可得如下的运算律： 对于向量， 和实数，有 ① ＝ (交换律)； ②(数乘结合律)； ③( + )·(分配律); ④(完全平方公式); ⑤（平方差公式）. 注：等式不成立，因为表示与共线的向量，表示与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定成立. （4） 实例运用 例3已知，，与的夹角为，求 解： 例4 已知，,且与不共线. 当为何值时，向量与相互垂直？ 解：向量的充要条件为 ∵ 已知， ∴ ∴ 满足 解得 故当 时，向量与相互垂直. 6.3.1 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 由上探究可知 如图所示，如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 ， 如果，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 注：由平面向量基本定理知，任一向量都可以由基底唯一表示. 2.实例运用 例 如图，，不共线，且，用，表示． 解：∵已知， ∴ 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加减运算的坐标表示 1.平面向量的正交分解与坐标表示 （1）平面向量的正交分解 如图，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. （其中） （2）平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与轴, 轴方向相同的两个单位向量分别为 ，取 作为基底. 对于平面内的任意一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数, 使得 , 如图，以原点为起点作 ,过点作轴，轴，垂足分别为点与，这样点对应着实数，点对应着实数，这样 中的与就被唯一确定了. 如图2所示，我们把 中的有序数对叫做向量的坐标， 记作 =① 其中， 叫做 在在 x 轴上的坐标， 叫做 在 y 轴上的坐标，①式叫做向量 的坐标表示. 例如 =， =， =. 注：求一个向量 的坐标，实际上是把向量 的起点平移到坐标原点，其终点坐标即是向量 的坐标. （3）实例运用 例1 如图，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标． 解：由图可知 ∴ 同理可得 2.平面向量加减运算的坐标表示 （1）平面向量加减运算的坐标表示 如果已知 , 那么 . . 即：“两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.” （2）平面向量坐标的求解方法 如果已知 , 那么 . 即：“一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.” （3）实例运用 例2已知 ，，求，的坐标． 解：∵ 已知 ， ∴ 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 1.平面向量数乘运算的坐标表示 如果已知，那么. 即“实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.” 2.平面向量共线的坐标表示 如果已知＝，＝，其中≠，那么，共线（即）的充要条件是 或， 记作：或. 即：两个向量共线（平行）的充要条件是“坐标交叉相乘积相等”或“坐标交叉相乘再求差值为0”. 3.实例运用 例1已知 ，，求 的坐标． 解：∵已知 ， ∴ 例2已知 ，，且，求． 解：∵已知 ，，且， ∴满足（交叉相乘积相等） 解得 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1.平面向量数量积的坐标表示 如果已知 ，， 那么 =, 简述为：“两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和”. 2.平面向量的模长公式 如果已知 ，那么, 即“一个向量的模长等于它横纵坐标的平方和再开算数平方根” 注：特别地，如图作有向线段, 设 ，A， 则 故此时. 3.平面向量垂直的充要条件 设 与是非零向量， ， 则， 即平面内两个非零向量垂直的充要条件为： “平面内两个非零向量垂直的充要条件为两个向量的坐标对应相乘和为0”. 4.平面向量的夹角公式 设 与是非零向量， ， ，是 与的夹角，根据数量积的定义 , 坐标表示 ，以及向量的模长公式, ,可得 5.实例运用 例1已知 ，，求 ，，． 解：∵已知 ， ∴ 例2 已知向量，，求 . 解：∵已知， ∴ ∴ 又∵ ∴ 6.4.3 余弦定理、正弦定理 1.余弦定理及其推论 （1）探究1 在中，三个角所对的边分别是，怎样用和表示？ 提示：如图，设, 则据向量减法的三角形法则可知 ， 即 ① 又据数量积的性质 ∴对①两边求平方可得 ， ， 即； 同理可得 ； . （2）余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍. 即 ；或 ; ；或 ; ；或 ; 注：利用余弦定理，我们可以从三角形的两边及其夹角直接求出第三边. （3）余弦定理的推论 三角形中任何一个角的余弦值，等于组成这个角两边的平方和减去这个角所对边的平方，再除以组成这个角两边乘积的两倍. 即 注：利用余弦定理推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角. （4）三角形的元素与解三角形 一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （5）实例运用 例1 已知在中，，则＝ . 解：∵ 已知在中，， ∴据余弦定理可得 故 例2 在中，若 ，求,并判断这个三角形的形状. 解：∵ 已知在中， ， ∴可设 ∴据余弦定理推论可得 又∵ ∴ 同理可得 又∵ ∴ ∴ 故是直角三角形. 2.正弦定理及其应用 （1）探究 如图，已知在中，角所对的边分别为为的外接圆,设的半径为,过圆心作直径,则，连接. ∵与是同为所对的圆周角 ∴, 又∵为的直径 ∴ 圆周角, 即为直角三角形, ∴ , 即 , ∴ ， 同理可得 故满足（为的外接圆半径） （2）正弦定理 如图，已知在中，角所对的边分别为那么 （为的外接圆半径） 即“在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，且比值都等于这个三角形外接圆半径的2倍.” 注（作用）：利用正弦定理，不仅可以解决 “已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决 “已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题. （3）正弦定理的变形 已知在中，角所对的边分别为 由正弦定理（为的外接圆半径）可得 1.边化角公式：，，. 2.角化边公式：，，. （4）三角形的面积公式 如图，已知在中，角所对的边分别为作边上的高 ∵在中， ∴, 则, ∴, 同理可得 , . 即“任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值乘积的一半”. （5）实例运用 例1在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的长. 解：∵已知在中，内角，，所对的边分别为，， 且，， ∴由正弦定理可得 例2在中，，，，求角. 解：∵已知在中，，，， ∴ 由正弦定理可得 解得 又∵ , ∴ 或 又∵ ∴ ∴ 例3 在中，，求角. 解：∵已知在中，， ∴ 即 ∴解得 又∵ ∴ 或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$