1.3两条直线的垂直（第2课时） （同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第一章 直线与方程 1.3 两条直线的平行与垂直 第二课时 两条直线的垂直 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.理解并掌握两条直线垂直的条件. 2.会运用条件判定两直线是否垂直. 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 情景导入 除平行外，生活中也存在很多垂直关系，比如十字路口，黑板相邻两边等等，上 节课我们学习了两条直线平行的判定方法，研究了两条平行直线的倾斜角之间的关系， 当斜率存在时，斜率也有联系，那么两条垂直直线的倾斜角和斜率是否也有关系呢？ 前面我们学习了两条直线平行的判断，那么能否利用两直线的斜率关系或直接利用直线的一般式方程来判断两直线的垂直关系呢？如何判断，又如何利用这一关系解题呢？ 两条不重合直线的平行关系判定： 两条直线平行 倾斜角相等 从倾斜角看 两条直线平行 斜率相等或斜率都不存在 从斜率看 从（斜截式）方程看 两条直线平行 或斜率都不存在 k1＝k2 且b1 ≠ b2 复习巩固 平面内任意两条直线的位置关系判定： 1、对于斜率都存在的两条直线 2、对于斜率都不存在的两条直线 （1）l1与 l2 （2）l1与 l2 （3）l1与 l2 平行 重合 相交 (1)l1：y＝ k1 x＋b1，l2：y＝ k2 x+b2； k1＝k2 且b1 ≠ b2 k1＝k2 且b1＝b2 k1≠ k2 （1）l1与 l2 （2）l1与 l2 平行 重合 x1≠x2 x1=x2 l1:x= x1 l2:x= x2 3、对于一条直线斜率存在，另一条直线斜率不存在的两条直线 （1）l1与 l2必相交 （直线斜截式方程) 平行 （1）l1与 l2 （2）l1与 l2 （3）l1与 l2 重合 相交 平面内任意两条直线位置关系的判定（直线一般式方程) （2）与直线l:y=kx+b(k≠0)平行的直线可设为： y=kx+m(k≠0,m≠b) （1）与直线平行的直线可设为： 平行直线系方程 l1 l2 1.两条直线垂直关系的判断——斜截式方程 新知探究 证明：如图，两直线垂直，交点为P l1 l2 1.两条直线垂直关系的判断——斜截式方程 2、两条直线中有一条直线斜率不存在 另一条直线的斜率为0 2.两条直线垂直关系的判断——一般式方程 新知探究 （2）一条直线的斜率不存在时，另一条的斜率为0. 成立 （直线斜截式方程) (4) l1与 l2垂直 平面内任意两条直线的位置关系判定： 1、对于斜率都存在的两条直线 （1）l1与 l2 （2）l1与 l2 （3）l1与 l2 平行 重合 相交 l1：y＝ k1 x＋b1，l2：y＝ k2 x+b2； k1＝k2 且b1 ≠ b2 k1＝k2 且b1＝b2 k1≠ k2 （直线斜截式方程) 3.平面内任意两条直线的位置关系判定： 新知探究 （1）l1与 l2 （2）l1与 l2 平行 重合 x1≠x2 x1=x2 l1:x= x1 l2:x= x2 2、对于斜率都不存在的两条直线 （直线斜截式方程) 3、对于一条直线斜率存在，另一条直线斜率不存在的两条直线 3、平面内任意两条直线的位置关系判定： 平面内任意两条直线位置关系的判定 （直线一般式方程) 4、 平行 （1）l1与 l2 （2）l1与 l2 （3）l1与 l2 重合 相交 其位置关系判定如下： （1） 垂直直线的方程 （2）与直线l:y=kx+b(k≠0)垂直的直线可设为： y= x+m(k≠0) Bx-Ay+D=0（A2+B2≠0） 5、 （1）与直线 l :Ax+ By+C=0（A2 +B2 +0）垂直的直线可设为： 概念归纳 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 概念归纳 典例剖析 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．   概念归纳 练一练 概念归纳 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程．   练一练 练一练 9 典例剖析 解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 概念归纳 (1)“a2＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直的充要条件为1×1＋1×(－a)＝0，即a＝1， 故“a2＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的必要不充分条件． 练一练 (2)若直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．4 答案　C 解析　∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直， ∴(a＋3)＋a－1＝0， ∴a＝－1， ∴直线l1的方程为2x＋y＋4＝0， ∴直线l1在x轴上的截距是－2. 课本例题 课本例6、在路边安装路力路宽23m，刘杆长2.5m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高 h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线?（精确到0.01m） 解：如图，记灯柱顶端为B，灯罩顶为A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路中线交于点C，以灯柱底端O点为原点，灯柱OB为y轴，建系如图，B（0，h），C（11.5，0） ∵∠OBA=120°：直线BA的倾斜角为30° 则A（2.5cos30°，h+2.5sin30°） 即A（1.25 ，h+1.25） 因为CA⊥BA，得 得CA的方程：y-（h+1.25）= 将C点代入方程得：h≈14.92（m） 随堂练 随堂练 随堂练 随堂练 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 4．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．10 答案　A 解析　由2m－20＝0，得m＝10. 由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2， ∴垂足坐标为(1，－2)． 又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，代入得n＝－12. 分层练习-基础 分层练习-基础 D 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 两条直线垂直的判定 类型 斜率都存在 一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0 图示     对应关系 l1⊥l2⇔k1k2=-1  ⇒l1⊥l2 课堂小结 证明　(1)由斜率公式，得 kAB＝＝，kCD＝＝－， 则kABkCD＝×＝－1， 所以AB⊥CD. (2)由l1，l2的方程可知，它们的斜率k1＝－，k2＝＝， 从而k1k2＝×＝－1， 所以l1⊥l2. 课本例4　(1)已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，求证：AB⊥CD； (2)已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证l1⊥l2. 例1　(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． 解　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在． 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0， 则l1⊥l2，满足题意． 当l1的斜率存在时，a≠5， 由斜率公式，得k1＝＝， k2＝＝. 由l1⊥l2，得k1k2＝－1， 即×＝－1，解得a＝0. 综上所述，a的值为0或5. 判断下列两直线是否垂直． (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)． (2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2,4)，Q(2,4)． (3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行． 解　(1)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1·k2＝－10×＝－1，所以l1⊥l2. (2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1⊥l2. (3)直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直线l1与l2不垂直． 例2　求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 解　方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1， ∴k＝， 又∵直线l经过点A(2,1)， ∴直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0. 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴直线l的方程为x－2y＝0. (1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程是(　　) A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4 答案　D 解析　直线y＝2x＋1的斜率为2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率为－，又因为所求直线在y轴上的截距为4，所以直线方程为y＝－x＋4. (2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的方程为____________． 答案　3x－5y＋15＝0 解析　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD， 所以kAD·kBC＝－1， 因为kBC＝＝－， 所以－·kAD＝－1，解得kAD＝， 所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝(x＋5)， 即3x－5y＋15＝0. 例3　(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________． 答案　9 解析　∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0， ∴2m＋n＝mn， ∴＋＝1， ∴m＋2n＝(m＋2n) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当m＝n＝3时取等号． (2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为________． 答案　－或－1 解析　由题意，可知两直线平行或垂直， 则 或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0， 解得m＝－或m＝－1. ∵AD⊥BC，∴kAD＝eq \f(3,5)， 根据点斜式，得到所求直线的方程为 y－4＝eq \f(3,5)(x－2)，即3x－5y＋14＝0. 课本例5 已知三角形的三个顶点为A(2,4)，B(1，－2)，C(－2,3)， 求BC边上的高AD所在的直线方程． 解　直线BC的斜率为kBC＝eq \f(3－－2,－2－1)＝－eq \f(5,3)， 1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋2y－2＝0互相垂直，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．4 D．－4 答案　D 解析　两直线的斜率分别为－，－， 依题意得×＝－1，解得a＝－4. 2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B．－ C．a D．不存在 答案　BD 解析　当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－， 当a＝0时，l2的斜率不存在． 3．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)三点，点D在x轴上，则当点D的坐标为__________时，AB⊥CD. 答案　(－9,0) 解析　设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0， 所以直线CD的斜率存在． 则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1， 所以4·＝－1，解得x＝－9， 所以点D的坐标为(－9,0)． 4．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P 的坐标为__________． 答案　(0，－6)或(0,7) 解析　设点P的坐标为(0，y)． 因为∠APB＝90°， 所以AP⊥BP， 又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1， 所以·＝－1， 解得y＝－6或y＝7. 所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7). 答案　C 解析　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°， 所以直线l2的斜率为tan 120°＝－. 1．直线l1的倾斜角α1＝30°，若l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 2．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．可能重合 D．无法确定 答案　B 解析　由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立． 故方程有两不相等的实数根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2. 3．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A．1 B．3 C．0或1 D．1或3 答案　D 解析　因为l1⊥l2， 所以k1·k2＝－1， 即×＝－1， 解得a＝1或a＝3. 5．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为(　　) A．(－1,0) B．(0，－1) C．(1,0) D．(0,1) 答案　D 解析　设点D(x，y)， 则kCD＝＝，kAD＝. kAB＝＝3，kCB＝＝－2， 又CD⊥AB，CB∥AD， ∴∴ 解得即点D(0,1)． 6．(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，则下面四个结论正确的是(　　) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QS D．PR⊥QS 答案　ABD 解析　由斜率公式知， kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行，故ABD正确． 7．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，其中a＋b≠3，则线段PQ的垂直平分线的斜率为______． 答案　－1 解析　由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 8．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a＝______；若l1∥l2，则a＝______. 答案　0或－3　－1或2 解析　当l1⊥l2时，a×1＋(a＋2)a＝0， 解得a＝0或a＝－3； 当l1∥l2时， 易知a≠0，＝≠， 解得a＝－1或a＝2. 9．当实数a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 解　由l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1. ∴当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2. 10．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)． (1)求点D的坐标； (2)试判定▱ABCD是否为菱形？ 解　(1)设点D的坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以解得 所以点D的坐标为(－1,6)． (2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． 11．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则的取值范围为________． 答案　 解析　因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以＝＝，则0<<，故的取值范围为. 12．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为______________． 答案　1或0 解析　直线l1的斜率k1＝＝a. 当a≠0时，l2的斜率k2＝＝. 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1， 即a·＝－1，解得a＝1. 当a＝0时，直线l1为x轴，直线l2为y轴，显然l1⊥l2. 综上，实数a的值为1或0. 13．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________． 答案　(－19，－62) 解析　设A(x，y)，因为AC⊥BH，AB⊥CH， 且kBH＝－，kCH＝－， 所以解得所以A(－19，－62)． 2 14．已知m∈R，动直线l1：x＋my－1＝0过定点A，动直线l2：mx－y－2m＋3＝0过定点B，若l1与l2交于点P(异于点A，B)，则PA＋PB的最大值为________． 解析　当m＝0时，两直线垂直，当m≠0时，对于动直线l1：x＋my－1＝0，令y＝0，得x＝1， 故l1过定点A(1,0)， 且l1的斜率为－. 对于动直线l2：mx－y－2m＋3＝0，即m(x－2)－y＋3＝0， 令x－2＝0，得x＝2，y＝3，∴l2过定点B(2,3)， 且l2的斜率为m，综上l1与l2垂直． ∵l1与l2相交于点P(异于点A，B)， ∴PA2＋PB2＝AB2＝10. ∵2≤＝5， ∴≤， ∴PA＋PB≤2， 当且仅当PA＝PB＝时，PA＋PB取得最大值2. 4＋ 15．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________. 解析　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率 k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 16.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状． 解　由斜率公式得kOP＝＝t， kQR＝＝＝t， kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－. 所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR， 故四边形OPQR为矩形． $$