21.2二次函数 y=a(x+h)²+k 的图象和性质（第4课时）（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象和性质 第四课时 二次函数 y=a(x+h)²+k 的图象和性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会用描点法画出y=a(x+h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.(重点） 3.理解二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点） 1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况: (1)y=ax2 (2)y=ax2+k (3)y=a(x+h)2 y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 情景导入 2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？ 3.把y=-2x2的图像 向上平移3个单位 y=-2x2+3 向左平移2个单位 y=-2(x+2)2 4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？ O X y 3 -2 O y 3 -2 X 画出函数 y＝－ (x＋1)2－1 的图象，指出它的开口方向、对称轴、顶点． 1.二次函数 y=a(x+h)2+k 的图象和性质 问题1 x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … y＝－ (x＋1)2－1 … 　 　 　 　 　 … 列表 －5.5 －3 －1.5 －1 －1.5 －3 －5.5 新知探究 描点、连线 如图，即得函数的图象. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 O x y -6 -5 y＝－ (x＋1)2－1 x＝－1 开口方向向下； 对称轴是直线 x＝－1； 顶点坐标是 (－1，－1). 画出函数 y＝2(x＋1)2－2 的图象，指出它的开口方向、对称轴、顶点． 列表、描点、连线 问题2 如图，即得函数的图象. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 O x y -1 -2 y＝2(x＋1)2－2 x＝－1 开口方向向上； 对称轴是直线 x＝－1； 顶点坐标是 (－1，－2). 二次函数 y=a(x+h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,k） （h,k） 最值 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 概念归纳 概念归纳 已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是 (　 　) 例1 解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A. A 典例剖析 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系． 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4， 得0＝4a－4，解得a＝1； (2)方法一： 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2， ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2； 例2 方法二： ∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点 (1，－4)，且平行于y轴的直线， ∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2. 总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式． 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个 喷水头，使喷出的抛物线形 水柱在与池中心的水平距离 为 1 m处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？ 例3 解：如图建立直角坐标系，点(1，3)是图中这段抛物线的顶点. ∴设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). ∵这段抛物线经过点(3，0)， ∴0=a(3－1)2＋3. ∴抛物线的解析式为： 当x=0时，y=2.25. 答：水管长应为2.25m. 3 4 a=－ y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3) 3 4 － 解得： 1 2 3 1 2 3 y x O C A (1，3) B (3，0) 16 向左平移 1个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法1 向下平移 1个单位 2.二次函数 y=a(x+h)2+k与 y=ax2 的关系 问题3 新知探究 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法2 向左平移 1个单位 向下平移 1个单位 y = a( x+h )2 + k y = ax2 + k y = ax2 y = a(x+h )2 平移规律 简记口诀 上下平移 上下平移 左右平移 左右平移 上下平移：括号外上加下减； 左右平移：括号内左加右减． 二次项系数 a 不变. 概念归纳 1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2.如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式. 练一练 20 3．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值. 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y＝2(x＋5)2＋1 y＝－3(x－7)2－6 y＝3(x－4)2＋10 y＝－8(x＋4)2－3 向上 x＝－5 (－5，1) 最小值1 向下 x＝7 (7，－6) 最大值－6 向上 x＝4 (4，10) 最小值10 向下 x＝－4 (－4，－3) 最大值－3 练一练 4．把抛物线 y＝－3x2 先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________. 5．抛物线 y＝－3x2＋2 的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为___________________. y＝－3(x－1)2＋2 y＝－3(x－2)2＋3 练一练 6．抛物线 y＝－3(x－1)2＋2 的图象如何得到 y＝－3x2 . 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 （或先向下平移2个单位，再向左平移1个单位） 7．如果一条抛物线的形状与 y＝－ x2＋2形状相同，且顶点坐标是 (4，－2)，试求这个函数关系式. y＝－ (x－4)2＋2 练一练 8.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式. y=a(x-h)2+k 练一练 1. 抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是（ ），对称轴是 ，当x 时，函数y随x的增大而增大；当x 时，函数 y 随 x 的增大而减小.当x= 时,函数取得最 值， = . 向上 1，-1 直线x=1 >1 小 1 小值 <1 -1 2.仿照上题内容，讨论二次函数 y=a(x+h)2+k 的图象特点. 解：①当a>0时，开口向上，顶点坐标为（-h，k），对称轴是直线x=-h.当x>-h时，y随x的增大而增大；当x<-h时，y随x的增大而减小.当x=-h时，y有最小值k. ②当a<0时，开口向下，顶点坐标为（-h，k），对称轴是直线x=-h.当x<-h时，y随x的增大而增大；当x>-h时，y随x的增大而减小.当x =-h 时，y 有最大值 k. 课本练习 直线x＝－h (－h，k) 下 －h 大 k ＞－h ＞－h C 分层练习-基础 C 分层练习-基础 B ＞－2 ＜－2 －2 －1 分层练习-基础 分层练习-基础 加 减 加 减 A ④ 分层练习-基础 C 分层练习-巩固 B C 分层练习-巩固 D (1,0) 分层练习-巩固 分层练习-巩固 (1,2) 2 上 (－1，－2) 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 D 课堂反馈 一般地，抛物线 y = a(x+h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质 图象特点 当a>0,开口向上；当a<0,开口向下. 对称轴是x=h, 顶点坐标是（h,k). 平移规律 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减. 课堂小结 知识点一：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与性质 (1)图象：对称轴是　 　，顶点坐标是　 　，当a＜0，开口向　 　，当x＝　 　时，y有最　 　值为　 　. (2)增减性：若a＞0，当x　 　时，y随x的增大而增大；若a＜0，当 x　 　时，y随x增大而减小． 1．(岳阳中考)抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是(　　) A．(－2,5)　　 B．(－2，－5)　　 C．(2,5)　　 D．(2，－5) 2．对于抛物线y＝－eq \f(1,2)(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1,3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．图中的两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是(　　) A．h＝m B．k＝n C．k＞n D．h＜0，k＞0 4．二次函数y＝－eq \f(1,3)(x＋2)2－1，当x 时，函数值y随x增大而减小；当x 时，函数值y随x增大而增大；当x＝ 时，函数取得最大值为 . 5．已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a的值； (2)若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1和y2的大小． 解：(1)∵抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)，∴－2＝a(1－3)2＋2，解得a＝－1，对称轴为x＝3； (2)∵函数y＝－(x－3)2＋2的对称轴为x＝3，∴A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)在对称轴左侧，又∵抛物线开口向下，∴对称轴左侧y随x的增大而增大，∵m＜n＜3，∴y1＜y2. 知识点二：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象的平移 平移规律：上　 　下　 　，左　 　右　 　. 6．(哈尔滨中考)将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为(　　) A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1 C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3 7．在同一坐标平面内，下列4个函数：①y＝2(x－1)2－1；②y＝2x2＋3；③y＝－2(x＋2)2；④y＝eq \f(1,2)x2－1的图象不可能由函数y＝2x2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是 (填序号)． 8抛物线y＝a(x＋h)2＋k如图所示，则下列判断正确的是(　　) A．a＜0，h＜0，k＜0 B．a＞0，h＜0，k＞0 C．a＜0，h＞0，k＞0 D．a＜0，h＜0，k＞0 9．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标下抛物线的解析式是(　　) A．y＝2(x－2)2＋2　　 B．y＝2(x＋2)2－2 C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x＋2)2＋2 10．已知二次函数y＝(x－3)2＋k的图象上有A(3＋eq \r(2)，y1)、B(2，y2)、C(－1，y3)三个点，则y1、y2、y3的大小关系为(　　) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 11．如图，点A、B的坐标分别为(1,4)和(4,4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为(　　) A．－3　　　 B．1　　　 C．5　　　 D．8 12．如图所示是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，则该图象在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是 ． 13．把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝eq \f(1,2)(x＋1)2－1的图象，试确定a、h、k的值． 解：由题意，得a＝eq \f(1,2)，2－h＝1，k＋4＝－1，∴h＝1，k＝－5. 14．如图，抛物线y1＝－x2＋2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题： (1)抛物线y2的顶点坐标为 ； (2)阴影部分的面积为 ； (3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°，得到抛物线y3，则抛物线y3的开口向 ，顶点坐标为 ． 15．如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)． (1)求图象与x轴的交点A、B的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB＝eq \f(5,4)S△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将抛物线x轴下方的图象沿x轴向上翻折，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，请结合这个新图象回答：当直线y＝x＋b(b＜1)与新图象有两个公共点时，求b的取值范围． 解：(1)A(－1,0)、B(3,0)；　 (2)存在点P.∵S△PAB＝eq \f(5,4)S△MAB＝eq \f(1,2)AB×|yp|＝eq \f(5,4)×eq \f(1,2)×AB×4，∴|yp|＝5.∴yp＝5或yp＝－5.由于顶点纵坐标为－4，∴yp＝5.将yp＝5代入得(x－1)2－4＝5，∴x1＝4，x2＝－2，∴P1(－2,5)、P2(4,5)；　 (3)结合图象得－3＜b＜1. 【思路分析】　可令x＋h＝0得出顶点的横坐标，代入得顶点的纵坐标，平移规律仍为“上加下减，左加右减”． 【规范解答】　(1)由y1＝－eq \f(1,2)x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线是y2＝－eq \f(1,2)(x－1)2＋2.∴a＝－eq \f(1,2)，h＝－1，k＝2； (2)函数图象如图所示． (3)观察y2＝－eq \f(1,2)(x－1)2＋2的图象，可知当x＜1时，y2随x的增大而增大；当x＝1时，函数y2有最大值，最大值是y2＝2； (4)由图可知对于一切x的值，总有函数值y2≤2. 二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与性质 1.将抛物线y1＝－eq \f(1,2)x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位正好是抛物线y2＝a(x＋h)2＋k. (1)求a、h、k的值； (2)画出这两个函数的图象； (3)当x为何值，y2随x的增大而增大？当x为何值，y2有最大(小)值？ (4)写出函数y2的取值范围． 利用二次函数的增减性比较大小 2.已知二次函数y＝2(x－1)2＋3的图象上有A(eq \r(2)，y1)、B(2，y2)、C(－eq \r(5)，y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系是(　　) A．y1＞y2＞y3　 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 【思路分析】　思路一：将各点横坐标分别代入关系式，分别求出y1、y2、y3的值，再比较其大小，但计算较繁，此方法不可取；思路二：根据二次函数图象的特征来比较，利用增减性及点在抛物线上的大致位置可以确定y1、y2、y3的大小. $$