21.2 公式法（第3课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

九年级人教版数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 第三课时 公式法 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 解： 移项，得 配方 由此可得 利用配方法解一元二次方程 情景导入 复习引入 化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式. 移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方. 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方. 求解：解一元一次方程. 定解：写出原方程的解. 用配方法解一元二次方程的步骤 方程右边是 非负数 x2＋px＋ ( )2 = －q＋ ( )2 ( x+ )2 =－q＋ ( )2 【思考】如何用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？ 情景导入 用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0). 配方，得 即 解: 移项，得 方程两边都除以a 问题：接下来能用直接开平方解吗？ 1.求根公式的推导 新知探究 即 一元二次方程的求根公式 特别提醒 解：∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时， 解：∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时， 而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根. 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0. 注意 解：a＝1，b＝－4，c＝－7. Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44>0. 方程有两个不等的实数根 课本例题（1）x2－4x－7＝0 确定a，b，c的值时，要注意它们的符号. 即 2.公式法解方程 新知探究 解：a＝2，b＝ ，c＝1. Δ＝b2－4ac＝ －4×2×1＝0. 方程有两个相等的实数根 （2）2x2－ ＋1＝0 课本例题 （3） 5x2－3x＝x＋1 解：方程化为5x2－4x－1＝0. a＝5，b＝－4，c＝－1. Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0. 方程有两个不等的实数根 即 课本例题 （4）x2＋17＝8x 解：方程化为x2－8x＋17＝0. a＝1，b＝－8，c＝17. Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0. 方程无实数根． 课本例题 公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 概念归纳 14 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 > 0 = 0 < 0 ≥ 0 注意：一元二次方程有实根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根这两种情况，此时 Δ ≥ 0，不要漏掉等号． 3.一元二次方程根的判别式 新知探究 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac. 15 按要求完成下列表格： 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 练一练 16 3.判别根的情况，得出结论. 1.化为一般式，确定a,b,c的值. 2.计算 的值，确定 的符号. 用公式法解一元二次方程的一般步骤 总结归纳 (1)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : 写出一元二次方程的根. (2)当∆=0时，代入求根公式： 写出一元二次方程的根. （3）当∆<0时，方程无实数根. 3.判别根的情况，得出结论. 总结归纳 1.解方程：x2 +7x – 18 = 0. 解：这里 a=1, b= 7, c= -18. ∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0, 即 x1 = -9, x2 = 2 . 练一练 2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号 ，得 x –2 - 3x2 + 6x = 6, 化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = -7 , c = 8. ∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96 = - 47 < 0, ∴原方程没有实数根. 练一练 3. 解方程：2x2 - x + 3 = 0 解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 . ∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 , ∴ 即 x1= x2= 练一练 例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B. B 典例剖析 22 例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B. B 典例剖析 23 例7:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． 典例剖析 24 例8:不解方程，判断下列方程的根的情况． (3) 7y=5(y2+1). 解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程有两个相等的实数根． 典例剖析 25 例9:关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根． 解：(1)依题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5＞0， 解得m＞ (2)答案不唯一，如：m＝1. 此时方程为x2＋3x＝0， 解得x1＝－3，x2＝0. (1)求m的取值范围； (2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 典例剖析 1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（ ） A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，5 2.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（ ） A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和2 3.方程x2-3x+2=0的根是 . 4. 方程 的根是 . D D x1=1, x2=2 练一练 5.关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实根，则(　　) A．k＝－4　　　　 B．k＝4　　　　 C．k≥－4　　　　 D．k≥4 B 6．关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是(　 ) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 7．若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． m＞－4 D 练一练 8.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 . 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况. 解： ∴ 练一练 29 1.用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0； （2） 2x2－ ＋1＝0； （3） 5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x. 课本例题 课本练习 1.解下列方程： （1）x²+x-6=0； （2）； （3）3x²-6x-2=0； （4）4x²-6x=0； （5）x²+4x+8=4x+11； （6）x（2x-4）=5-8x. 2.求第 21.1 节中问题 1 的答案. 课本练习 课本练习 课本练习 问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得 化简，得 方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 课本练习 问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 课本练习 b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 　 C 分层练习-基础 分层练习-基础 1 －2 －2 　 12 　 C 分层练习-基础 分层练习-基础 A 　 B 　 分层练习-巩固 A ±1 13 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2-4ac 务必将方程化为一般形式 课堂小结 知识点一：一元二次方程根的判别式 式子 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用希腊字母“Δ”来表示．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当 时，方程有两个不相等的实数根，当 时，方程有两个相等的实数根，当 时，方程无实数根． 1．已知一元二次方程x2－2x＋a＝0的根的判别式的值为3，则a的值为　　. eq \f(1,4) 2．(山西中考)下列一元二次方程中，没有实数根的是(　　) A．x2－2x＝0　　　　　　 B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2 3．不解方程，判断下列方程根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0；　　(2)16y2＋9＝24y；　　(3)5(x2＋1)－7x＝0. 解：(1)a＝2，b＝3，c＝－4，Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0.∴原方程有两个不相等的实数根；　 (2)原方程可化为：16y2－24y＋9＝0.a＝16，b＝－24，c＝9，Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0，∴原方程有两个相等的实数根；　 (3)将原方程整理得：5x2－7x＋5＝0，a＝5，b＝－7，c＝5，Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝49－100＜0，∴原方程无实数根． 知识点二：用公式法解一元二次方程 当Δ≥0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是 　 　. 4．方程2x＝x2－2中，a＝ ，b＝ ，c＝ ，b2－4ac＝ . 5．一元二次方程x2－x－1＝0的根为(　　) A.eq \f(1±\r(3),2)　　　 B．eq \f(－1±\r(3),2)　　　　 C.eq \f(1±\r(5),2)　　　 D．eq \f(－1±\r(5),2) x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) 能力点：能根据一元二次方程的定义及根的判别式求字母系数的值 在运用根的判别式时，一要找准a、b、c的值，二要注意二次项的系数不为0. 6．关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＋2m－1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根． 解：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m≠0,[－3m－1]2－4m2m－1＝1))，解得m＝2，则原方程为2x2－5x＋3＝0，解得x1＝eq \f(3,2)，x2＝1，即m的值为2，原方程的根为x1＝eq \f(3,2)，x2＝1. 7．方程2x2－x＝5化为一般形式后的a、b、c的值分别为(　　) A．2、－1、－5　　　　　 B．2、－1、5 C．2、1、5 D．1、2、－5 8．一元二次方程x2＋2x＋1＝0的根的情况为(　　) A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 9．一元二次方程eq \r(2)x2＋4eq \r(3)x－2eq \r(2)＝0，计算b2－4ac的值正确的是(　　) A．64　　 B．－64　　 C．32　　 D．－32 10．若关于x的方程x2－(m＋2)x＋m＝0的判别式Δ＝5，则m＝ . 11．(黔南中考)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则此三角形周长是 . 12．(扬州中考)若关于x的方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　. m＜eq \f(1,3)且m≠0 13．用公式法解下列方程： (1)x2＝6x＋1； (2)x(x－4)＝3－8x. 解：(1)x＝3±eq \r(10)；　 (2)x＝－2±eq \r(7). 14．解方程x2＝4x＋2时，有一位同学解答如下： 解：a＝1，b＝4，c＝2，Δ＝b2－4ac＝42－4×1×2＝8，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－4±\r(8),2×1)＝－2＋eq \r(2).即：x1＝－2＋eq \r(2)，x2＝－2－eq \r(2). 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程． 解：有错误．没有将原方程化为一般形式，把b、c的值搞错了．正确的解法：原方程可化为x2－4x－2＝0，a＝1，b＝－4，c＝－2，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2)＝24.∴x＝eq \f(4± 2\r(6),2)＝2±eq \r(6).x1＝2＋eq \r(6)，x2＝2－eq \r(6). 15．已知关于x的方程x2＋(2k－3)x＋k2－eq \f(3,4)＝0，求当k取何值时： (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根，并求出这两个等根； (3)方程没有实数根． 解：Δ＝(2k－3)2－4(k2－eq \f(3,4))＝－12k＋12.(1)当－12k＋12＞0，即k＜1时，方程有两个不相等实数根；　 (2)当－12k＋12＝0，即k＝1时，方程有两个等根，将k＝1代入原方程得：x2－x＋eq \f(1,4)＝0，解得x1＝x2＝eq \f(1,2)；　 (3)当－12k＋12＜0即k＞1时，方程无实数根． 16．(北京中考)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0. (1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根． 解：(1)当b＝a＋2时，原方程可变形为ax2＋(a＋2)x＋1＝0，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，故当b＝a＋2时，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根；　 (2)若方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2－4a＝0，当a＝1，b＝2时，满足b2－4a＝0，此时方程为x2＋2x＋1＝0，方程的根为x1＝x2＝－1(不唯一)． 会根据根的情况求字母参数的值或取值范围． 【例1】当m为何值时，方程x2＋4x＋2m－1＝0. (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 【方法归纳】根据Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0可判断一元二次方程根的情况，反之根据一元二次方程根的情况可得到Δ与0相应的关系，从而可求出某字母系数的值或取值范围． 【思路分析】(1)(2)(3)分别根据Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来求m的值． 【规范解答】Δ＝b2－4ac＝42－4(2m－1)＝20－8m.(1)当Δ＞0，即20－8m＞0时，方程有两个不相等的实数根，解不等式得m＜eq \f(5,2)；　 (2)当Δ＝0，即20－8m＝0时，方程有两个相等的实数根，解方程得m＝eq \f(5,2)；　 (3)当Δ＜0，即20－8m＜0时，方程没有实数根，解不等式得m＞eq \f(5,2). 会用公式法解一元二次方程． 【例2】用公式法解下列方程： (1)x2＋3＝2eq \r(2)x； (2)t2－eq \f(\r(2),2)t＋eq \f(1,8)＝0. 【思路分析】用公式法解方程时，不是一元二次方程的一般形式时，先转化为一般形式，然后确定a、b、c的值．代入求根公式求解． 【规范解答】(1)移项，得x2－2eq \r(2)x＋3＝0.∵a＝1，b＝－2eq \r(2)，c＝3，b2－4ac＝(－2eq \r(2))2－4×1×3＝－4＜0，∴原方程没有实数根；　 (2)方程两边都乘以8，得8t2－4eq \r(2)t＋1＝0.∵a＝8，b＝－4eq \r(2)，c＝1，b2－4ac＝(－4eq \r(2))2－4×8×1＝0，∴t＝eq \f(－－4\r(2)±\r(0),2×8)＝eq \f(\r(2),4)，∴t1＝t2＝eq \f(\r(2),4). 【方法归纳】(1)当b2－4ac＜0时，可直接得到原方程没有实数根；(2)当b2－4ac＝0时，应把方程的解写成x1＝x2＝－eq \f(b,2a)的形式，从而说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根. $$