第05讲一元二次方程根与系数的关系（5个考点+易错分析）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第05讲一元二次方程根与系数的关系（5个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解一元二次方程的根与系数的关系,能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和、两根之积及与两根有关的代数式的值 2.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根或由一元二次方程的根确定一元二次方程 知识点：一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系 如果方程 有两个实数根，那么 2.有关根与系数的关系的两个重要推论 （1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是 （2）如果方程的两个实数根是，那么 考点1：利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 【例1】已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则＋的值为(　　) A．－1 B. C．－ D．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，所以m＋n＝，mn＝－1，＋＝＝＝－.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0. 【变式1-1】若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 【答案】 【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式1-2】已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系，可得出和的值，再代入即可． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【变式1-3】阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】(1)3， (2) (3)或 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）∵实数s、t满足，， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 考点2：根据方程的根确定一元二次方程 【例2】已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是(　　) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0 解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D. 方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项． 【变式2-1】（23-24九年级上·福建泉州·期末）以2和为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系可得出，，取找出b、c的值，由此即可得出以2、为根的一元二次方程，理解根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的根为2和 则，， ∴当时，，， ∴该一元二次方程可以为． 故选：C． 【变式2-2】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中，有两个符号相反的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根与系数的关系．根据有两个符号相反的解，得到两根之积为负数，进行判断即可． 【详解】解：A、,两根之积为0，本选项不符合题意； B、，方程没有实数根，本选项不符合题意； C、，两根之积为，本选项不符合题意； D、，且两根之积为，本选项符合题意； 故选：D． 【变式2-3】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为或，那么正确的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：由各个选项可知，原一元二次方程二次项系数为1， 由于甲看错了方程的常数项，得出的两根为8和2，则一次项系数为， 而乙看错了方程的一次项的系数，得出两根为或，则常数项为， 所以原一元二次方程为． 故选：A． 考点3：根据根与系数的关系确定方程的解 【例3】已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________． 解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1. 方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决． 【变式3-1】若方程：的一个根为，则k=________；另一个根为________． 【答案】；． 【解析】将代入方程，可得：，再由韦达定理可得：，得另一根为． 【总结】本题考查韦达定理，的应用． 【变式3-2】已知是方程的一个根，则方程的另一个根是_____． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设另外一个根为x， 由根与系数的关系可知：，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．若是一元二次方程的两根时，． 【变式3-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设的两个实数根为，，其中， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 考点4：利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数 【例4】关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　　) A．－1或5 B．1 C．5 D．－1 解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x＋x＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a＝－1.故选D. 方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面． 【变式4-1】、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________． 【答案】 【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案． 【详解】解：∵是方程的根 ∴， ∴ ∴k=-4 故答案是-4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 【变式4-2】关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 【答案】/-0.125 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可． 【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵Δ=16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 【变式4-3】已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可． 【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0， ∴x12＝2x1﹣k+1， ∵＝x12+2x2﹣1， ∴＝2（x1+x2）﹣k， ∴＝4﹣k， 解得k＝2或k＝5， 当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意； 当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意； ∴k＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 考点5：一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用 【例5】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根． (1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值． 解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－，x1x2＝.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－＋4＝，解得a＝24.经检验a＝24是方程－＋4＝的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立． (2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－＋＋1＝为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12. 【变式5-1】已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长． 【答案】． 【解析】解：设直角三角形的三边长为，，，且是斜边长，由题知，，， 由勾股定理，可得：，所以， 所以直角三角形的周长． 【总结】本题考查韦达定理，的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用． 【变式5-2】实数使关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值； (3)给出的两个值，使方程的根是整数． 【答案】(1)， (2)，或 (3)见解析 【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式得出，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得出，，再把变形为，然后得出关于k的的方程，并解方程，最后结合（1）中所求k的范围确定k即可； （3）选取k的值，使为完全平方数，写出对应的一元二次方程，然后解方程，并确定是否为整数解即可． 【详解】（1）解：原方程整理为． ． 由，得． （2）解：由根系关系，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得，或．均符合． （3）解：取，原方程为．解得，，根为整数． 取，原方程为．解得，，根为整数．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【变式5-3】关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中． (1)求证此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根是、，且，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的，再根据、、是的三条边，结合，即可解答。 （2）根据韦达定理得，，再用完全平方公式化简得，代入即可解答。 【详解】（1）解：关于的一元二次方程去括号，整理为一般形式为：， ， 、、是的三条边，其中， ， ， ， 此方程有两个不相等的实数根； （2）方程的两个根是、， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键． 易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。 【例6】已知关于x的方程有两个正整数根，求整数k和p的值． 【答案】． 【解析】设是原方程的两根，因为是正整数根，所以且都 是正整数，由韦达定理，得：，所以是正整数， 所以是正整数，即是正整数，所以， 代入原方程可得：，方程的两根为，所以． 【总结】本题考查韦达定理的灵活应用，结合正整数根，题目较综合． 一、单选题 1．（23-24九年级上·云南德宏·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的两根为，则，，据此进行解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：C 2．（22-23九年级上·广东广州·期末）设一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（   ） A．1 B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，则，，熟知此部分知识是解题关键．利用根与系数的关系，即可得出答案． 【详解】解：根据根与系数的关系，得，， ， 故选A． 3．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）已知方程的两根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．是关于的一元二次方程（，，，为常数）的两个实数根，则，．据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根分别是， ∴，， ∴， 故选：D． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据判别式判断有无实数根，再根据来判断两个根是否互为倒数． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，无实数根，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（23-24九年级上·江苏常州·期末）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知关于的一元二次方程：，是解本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，即可得出答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：， ∴方程的另一个根是， 故选：B． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据两根之积求解即可． 【详解】 解：设方程另外一个根为t， 根据一元二次方程根与系数的关系得， 解得． 故选：C． 7．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ， 故选：B． 8．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系．先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，再将化为，最后整体代入即可求解． 【详解】解：，是方程的两个实数根， 即， ， ， 故选：A． 9．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记，是解题的关键．根据题意得到，，再将其代入式子的变形式中计算，即可解题． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 10．（23-24九年级上·山东德州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 由m，n为方程的解，把代入方程求出的值，再利用根与系数的关系求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程，得， ∴， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：C． 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）以和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 （一般形式）． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设所求方程为，根据，，求出b，c的值，即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为和7， 根据根与系数关系可得：，， ，， 以和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是， 故答案为：． 12．（2024·河南洛阳·一模）方程的两根之和为 ． 【答案】6 【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用计算即可． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等实数根， ∴， 故答案为：6． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系；根据题意得出，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴即，， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，再由进行求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴ ， 故答案为：4. 15．（23-24九年级上·四川成都·期末）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再将计算得，代入即可得到答案． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，且，则整数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程相关，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程的解法是解题的关键．由题意根据方程有两个不相等的实数根，其根的判别式大于0得到且，然后求出关于x的一元二次方程的解，进而代入，且，进行分析计算得出整数m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴且， ∵ ∴ ∴， 解得， ∵，且， ∴， ∴ ∴ 又∵，且 ∴ ∵m是整数 ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24九年级上·福建·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)若该方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系．掌握相关知识点，是解题的关键． （1）根据方程有两个实数根，得到，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可； （2）根据根与系数之间的关系，得到，利用整体代入法，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：且， 解得：且； （2）∵该方程的两个实数根为，， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的解． 18．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)0． 【分析】（1）设一元二次方程的一个根为，则另一个根为，结合新定义与根与系数的关系可求解； （2）先解方程可得，再结合新定义分两种情况求解代数式的值即可． 【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为，则另一个根为， ∴由根与系数的关系得，， 解得，，即一个根为1，另一个根为2， ． （2）， ， 当时，，原式， 当时，，原式． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，求解代数式的值，掌握基础知识是解本题的关键． 19．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）若为菱形的两条对角线长，且是一元二次方程的两个根，求该菱形的周长． 【答案】20 【分析】本题考查了根与系数的关系、菱形的性质以及勾股定理，利用根与系数的关系及勾股定理，求出菱形的边长是解题的关键． 利用根与系数的关系可得出，进而可得出的值，利用勾股定理及菱形的性质，可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出菱形的周长． 【详解】解：∵为一元二次方程的两根， ∴菱形的边长为， ∴菱形的周长为． 20．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根恰好是斜边为的直角三角形的两直角边长，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查的是勾股定理、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，根据勾股定理列出方程并正确解出方程是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式、配方法证明即可； （2）根据根与系数的关系求出，再根据勾股定理列出方程，利用公式法解出方程，得到答案． 【详解】（1）证明：，，， 则 ， 所以无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根为、， 则，， 则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：的值为或． 21．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，也考查了根与系数的关系：．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据根与系数的关系得，解不等式即可． 【详解】（1）， ， ， ， ∴不论取何值，方程总有两个实数根． （2）∵，且， ， 解得， ∴的取值范围为：． 22．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）阅读材料： 材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式． 材料2：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____． (2)应用探究：一元二次方程两个根为，则_______． (3)思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）首先将变形为，然后代入，求解即可； （3）把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，可得，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）∵一元二次方程两个根为， ∴，； （2）∵， ∴ ∴； （3）解：把，两边同时除以得：， 则实数s和可看作方程的根， ∴，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲一元二次方程根与系数的关系（5个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解一元二次方程的根与系数的关系,能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和、两根之积及与两根有关的代数式的值 2.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根或由一元二次方程的根确定一元二次方程 知识点：一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系 如果方程 有两个实数根，那么 2.有关根与系数的关系的两个重要推论 （1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是 （2）如果方程的两个实数根是，那么 考点1：利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 【例1】已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则＋的值为(　　) A．－1 B. C．－ D．1 【变式1-1】若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 【变式1-2】已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【变式1-3】阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 考点2：根据方程的根确定一元二次方程 【例2】已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是(　　) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0 【变式2-1】（23-24九年级上·福建泉州·期末）以2和为根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中，有两个符号相反的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为或，那么正确的方程为（ ） A． B． C． D． 考点3：根据根与系数的关系确定方程的解 【例3】已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________． 【变式3-1】若方程：的一个根为，则k=________；另一个根为________． 【变式3-2】已知是方程的一个根，则方程的另一个根是_____． 【变式3-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是 ． 考点4：利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数 【例4】关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　　) A．－1或5 B．1 C．5 D．－1 【变式4-1】、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________． 【变式4-2】关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 【变式4-3】已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____． 考点5：一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用 【例5】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根． (1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值． 【变式5-1】已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长． 【变式5-2】实数使关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值； (3)给出的两个值，使方程的根是整数． 【变式5-3】关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中． (1)求证此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根是、，且，求． 易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。 【例6】已知关于x的方程有两个正整数根，求整数k和p的值． 一、单选题 1．（23-24九年级上·云南德宏·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 2．（22-23九年级上·广东广州·期末）设一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（   ） A．1 B． C．0 D．3 3．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）已知方程的两根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏常州·期末）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（   ） A． B． C．0 D．2 6．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．2 B． C．5 D． 8．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 9．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 10．（23-24九年级上·山东德州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）以和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 （一般形式）． 12．（2024·河南洛阳·一模）方程的两根之和为 ． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ． 14．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知是方程的两个实数根，则的值为 ． 15．（23-24九年级上·四川成都·期末）若是方程的两个实数根，则的值为 ． 16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，且，则整数m的值为 ． 三、解答题 17．（23-24九年级上·福建·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)若该方程的两个实数根为，，且，求的值． 18．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值． 19．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）若为菱形的两条对角线长，且是一元二次方程的两个根，求该菱形的周长． 20．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根恰好是斜边为的直角三角形的两直角边长，求m的值． 21．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求的取值范围． 22．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）阅读材料： 材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式． 材料2：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____． (2)应用探究：一元二次方程两个根为，则_______． (3)思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$