专题04 反比例函数10大核心考点【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

专题04 反比例函数 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、反比例函数的定义 2、反比例函数的图像 3、反比例函数的对称性 4、反比例函数的性质 5、反比例函数系数k的几何意义 6、反比例函数图像上点的坐标 7、待定系数法求反比例函数 8、反比例函数与一次函数综合 9、反比例函数的应用 10、反比例函数与几何综合 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 反比例函数与一次函数综合 2023·浙江湖州·中考真题 反比例函数与几何综合 2023·浙江衢州·中考真题 反比例函数与一次函数综合 2023·浙江杭州·中考真题 反比例函数系数k的几何意义 2023·浙江绍兴·中考真题 反比例函数的应用 2023·浙江台州·中考真题 反比例函数的应用 2023·浙江温州·中考真题 反比例函数与一次函数综合 2023·浙江宁波·中考真题 反比例函数的性质 2023·浙江嘉兴·中考真题 一．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 二．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 三．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 四．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 五．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 六．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 七．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 八．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 九．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 十．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 1.反比例函数系数k的几何意义 K的几何意义 在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k 基本图形面积 基本图形面积 2.反比例函数解析式的确定 待定系数法 1. 设所求反比例函数解析式为： 2. 找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab； 3. 确定反比例函数解析式 利用k得几何意义 题中已知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得，再综合图像所在象限判段k得正负，从而得出k的值，代入解析式即可 3.反比例与一次函数的综合 方法1：分类讨论k、b的符号； 方法2：四个图逐个分析判断； 方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一） 真题感知 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(   )    A．或 B．或 C．或 D．或 4．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 5．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    6．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    7．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 8．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．    (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 9．（2022·浙江台州·中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 提升专练 1．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 2．函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积．那么下列说法错误的是（    ） A．当a为定长时，S是h的一次函数 B．当h为定长时，S是a的一次函数 C．当S确定时，a是h的一次函数 D．当S确定时，h是a的反比例函数 4．点在反比例函数的图象上，则a的值是（    ） A．4 B． C． D．1 5．已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（　　） x 1 2 3 y 3 9 A． B． C． D． 6．下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接AB，且轴．点是轴上一点，连接PA，PB，若，，则与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足（    ）      A． B． C． D． 10．如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 11．已知，是同一个反比例函数图象上的两点，若，且，则这个反比例函数的表达式为 ． 12．已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则a的值为 ． 13．反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则 ． 14．某蓄电池的电压为定值，电流与电阻成反比例关系，已知电阻时，电流，若电阻增加到时，则电流减少 ． 15．如图，线段与轴平行，点的坐标为，将线段沿着轴水平向左平移到线段，点的对应点的坐标为，反比例函数的图象同时经过点与点．则的值为 ． 16．如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为 ． 17．如图，平面直角坐标系中，反比例函数 经过点，过点作轴，垂足为，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)①作的垂直平分线，垂足为点，交反比例函数图象于点，交于点，交轴于点，并求点的坐标尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②求证∶． 18．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，． (1)分别求出两个函数的解析式； (2)连接，求的面积． 19．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 20．根据以下素材，探索完成任务 探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？ 素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等． 素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数． 素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为． 问题解决 任务1 求铁块的重力为多少N？ 任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式． 任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？ 21．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 反比例函数 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、反比例函数的定义 2、反比例函数的图像 3、反比例函数的对称性 4、反比例函数的性质 5、反比例函数系数k的几何意义 6、反比例函数图像上点的坐标 7、待定系数法求反比例函数 8、反比例函数与一次函数综合 9、反比例函数的应用 10、反比例函数与几何综合 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 反比例函数与一次函数综合 2023·浙江湖州·中考真题 反比例函数与几何综合 2023·浙江衢州·中考真题 反比例函数与一次函数综合 2023·浙江杭州·中考真题 反比例函数系数k的几何意义 2023·浙江绍兴·中考真题 反比例函数的应用 2023·浙江台州·中考真题 反比例函数的应用 2023·浙江温州·中考真题 反比例函数与一次函数综合 2023·浙江宁波·中考真题 反比例函数的性质 2023·浙江嘉兴·中考真题 一．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 二．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 三．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 四．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 五．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 六．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 七．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 八．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 九．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 十．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 1.反比例函数系数k的几何意义 K的几何意义 在反比例函数上任取一点P(x，y),过这个点分别作x轴，y轴的垂线PM、PN，于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k 基本图形面积 基本图形面积 2.反比例函数解析式的确定 待定系数法 1. 设所求反比例函数解析式为： 2. 找出反比例函数图像上一点P（a,b），并将其代入解析式得k=ab； 3. 确定反比例函数解析式 利用k得几何意义 题中已知面积时，考虑利用k得几何意义，由面积得，再综合图像所在象限判段k得正负，从而得出k的值，代入解析式即可 3.反比例与一次函数的综合 方法1：分类讨论k、b的符号； 方法2：四个图逐个分析判断； 方法3：运用特殊点（值）去排除（此种方法作参考，不能完全排三选一） 真题感知 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(   )    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：B． 【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键． 4．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可． 【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴． 令，则，． 将点和点代入，得； 将点和点代入，得． ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去． 综上，t的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键． 5．（2023·浙江温州·中考真题）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    【答案】20 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 6．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．    【答案】24 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 7．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，    故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 8．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．    (1)求的值． (2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出； （2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可． 【详解】（1）∵点的横坐标是2， ∴将代入 ∴， ∴将代入得，， ∴， ∵点的纵坐标是， ∴将代入得，， ∴， ∴将代入得，， ∴解得， ∴； （2）如图所示，    由题意可得，，， ∴设所在直线的表达式为， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴直线经过原点． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9．（2022·浙江台州·中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）由题意设， 把，代入，得． ∴关于的函数解析式为． （2）把代入，得． ∴小孔到蜡烛的距离为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键． 提升专练 1．反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 2．函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点，依次判断，即可求解， 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由a的取值确定函数所在的象限． 【详解】解：当时，，在一、二、四象限，在二、四象限，只有B符合， 当时，，在二、三、四象限，在一、三象限，无选项符合， 故选：B． 3．如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积．那么下列说法错误的是（    ） A．当a为定长时，S是h的一次函数 B．当h为定长时，S是a的一次函数 C．当S确定时，a是h的一次函数 D．当S确定时，h是a的反比例函数 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义：一般地，形如（k、b为常数，），那么y叫做x的一次函数；反比例函数定义：一般地，形如(k为常数，)的函数称为反比例函数．根据一次函数和反比例函数定义进行求解即可． 【详解】解：三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积， A．当a为定长时，S是h的一次函数，正确，不符合题意； B．当h为定长时，S是a的一次函数，正确，不符合题意； C．当S确定时，a是h的反比例函数，原说法错误，符合题意； D．当S确定时，h是a的反比例函数，正确，不符合题意． 故选：C． 4．点在反比例函数的图象上，则a的值是（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象上的点需满足函数解析式的特征，要求的值，只需将点坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】解： 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：B． 5．已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（　　） x 1 2 3 y 3 9 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据表格中的数据可知，两个变量的积一定，说明这个函数为反比例函数，然后用待定系数法求出函数解析式． 【详解】解：由表格知，两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系， ∴设函数的解析式为， 把，代入得，， ∴该函数的解析式为：， 故选：B． 6．下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】 本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据图象上一次函数和反比例函数的性质就可得出判断． 【详解】 解：根据一次函数图象过一、二、三象限可知：，， 根据反比例函数图象过一、三象限可知：， ，，， 故选：A． 7．若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知当时，在第三象限内，y随x的增大而减小，由，可得，解得，由第三象限内的点坐标特点可知，即，，可求，进而可得a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，在第三象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴a的取值范围是． 故选：A. 8．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接AB，且轴．点是轴上一点，连接PA，PB，若，，则与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键．设点A的坐标为，由轴，得点，根据，得，由此解出，进而表示点B的坐标，再根据得由此解出，进而得点B，然后利用待定系数法求出直线的表达式，据此可得点C的坐标， 【详解】点A在反比例函数的图象上， 设点A的坐标为， 轴， 点B的纵坐标为， 点B在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点B的坐标为， ， ， ， 解得：， 点B的坐标为， 点， ， ， ， ， 整理得：， ， 由，解得， 由，解得，不合题意，舍去 当时，点A的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将点B的坐标为，代入得， ， 解得：， 直线的表达式为：， 当时， 点C的坐标为 故选：C 9．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数解析式是解题的关键． 设，将代入得，，由题意知，，当时，，然后判断作答即可． 【详解】解：设， 将代入得，， 由题意知，， 当时，， ∴当小明想用不超过的动力撬动这块大石头，则动力臂（单位：m）需满足， 故选：C． 10．如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的性质，作轴于，轴于，由得，进而得，再由，，即可判断 ；当， 四边形是矩形，不能确定与相等，故不能判断，即不能判断，由此不能确定，即可判断；若四边形是菱形，可证，得到，即得，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，故正确； ∵，， ∴，故正确； 当， 四边形是矩形， ∴不能确定与相等， 而， ∴不能判断， ∴不能判断， ∴不能确定，故错误； 若四边形是菱形，则，而， ∴， ∴， ∴， 又由图象可得，，， ∴， ∴，故正确； ∴结论正确的是， 故选：． 11．已知，是同一个反比例函数图象上的两点，若，且，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意可知，再由得出，再根据即可得出结论．根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵，是同一个反比例函数图象上的两点， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∴，则， ∴这个反比例函数的表达式为． 故答案为：． 12．已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，关于y轴对称的点的特征，先根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点关于y轴的对称点为，再代入，计算即可． 【详解】解： 与关于y轴的对称， ， 解得：， 故答案为：． 13．反比例函数，当时，函数y的最大值与最小值之差为6， 则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，结合，函数y的最大值与最小值之差为6，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数 ∴反比例函数在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小 ∵当时，函数y的最大值与最小值之差为6， ∴， 解得， 故答案为：9． 14．某蓄电池的电压为定值，电流与电阻成反比例关系，已知电阻时，电流，若电阻增加到时，则电流减少 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查反比例函数的应用，由，结合，求出的值，进而得到函数表达式，把代入解析式求出，再计算即可． 【详解】解：由题意，， 即蓄电池的电压是， 与的函数关系式为， 当时，（A）， （A）， 电流减少， 故答案为：0.6． 15．如图，线段与轴平行，点的坐标为，将线段沿着轴水平向左平移到线段，点的对应点的坐标为，反比例函数的图象同时经过点与点．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，平移的性质，坐标与图形，根据线段与轴平行可得点的横坐标为，再结合平移的性质和平移的途径可得，，问题随之得解． 【详解】∵线段与轴平行，点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∵线段沿着轴水平向左平移到线段，点的对应点的坐标为， ∴线段沿着轴水平向左平移2个单位到线段， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点A的纵坐标相同为， 即，， ∵反比例函数的图象同时经过点与点， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，设，可得点的坐标，再求出直线的解析式，再求出点的坐标，根据的面积为，列方程，即可解答，表示出直线的解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 为直角三角形，且， ，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式可得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得， ， 的面积为， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 17．如图，平面直角坐标系中，反比例函数 经过点，过点作轴，垂足为，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)①作的垂直平分线，垂足为点，交反比例函数图象于点，交于点，交轴于点，并求点的坐标尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②求证∶． 【答案】(1) (2)①图见解析；；②见解析 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交，过两弧交点做直线，交于点，交反比例函数于点，交轴于点，交于点，由垂直平分，，得，当时，，从而即可得解；②先证明四边形是矩形，得，，再证，即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数 得， ， ∴反比例函数为 ； （2）解：①作图如下： ∵垂直平分，， ∴， 当时，， ∴； ②∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，反比函数的性质，尺规作垂线，熟练掌握矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及尺规作垂线是解题的关键． 18．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，． (1)分别求出两个函数的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，掌握待定系数法求解函数解析式是解本题的关键； （1）先把代入反比例函数解析式可得，再求解D的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先求解B的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由过点和可得： ∴，， ∴， 又由过点和可得： ∴， 解得， ∴． （2）由过点B，可知， ∴， 而点D到y轴的距离为2， ∴． 19．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． 20．根据以下素材，探索完成任务 探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？ 素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等． 素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数． 素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为． 问题解决 任务1 求铁块的重力为多少N？ 任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式． 任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？ 【答案】任务1：；任务2：；任务3：只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受 【分析】本题考查了反比例函数的应用； 任务1：根据重力质量重力系数；密度，列式计算即可求解； 任务2：压强，即可求解； 任务3：根据反比例函数的性质可得随的增大而减小，根据桌面所能承受的最大压强为，分别计算三个侧面分别放置在桌面上时的压强，即可求解． 【详解】解：任务1：依题意， 任务2：依题意， 任务3：∵随的增大而减小， ∴当时， ∵. ∴只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受 21．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与，分别交于点，点，连接，，． (1)若的面积为3， ①当，求k的值和的面积； ②当直线的解析式为，求的面积． (2)我们定义有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．若，当为“半直角三角形”时，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)①k的值为6，的面积为8；②的面积为 (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）①根据三角形面积得出的值，求出点坐标，再根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积计算三角形面积即可； ②根据三角形面积得出的值，根据点和点的坐标在直线上，列方程组求解的值，再根据①中式子，计算三角形面积即可； （2）分和两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：①点的坐标为，， ，， 设反比例函数的解析式为， 则， 的面积为3， ， 解得， 即反比例函数解析式为， ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 的值为6，的面积为8； ②设，的面积为3， ， ， ，直线的解析式为， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（舍去是负数的情况）， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积， 代入的值得， 的面积为； （2）解：， ，，， ①当时，作，交延长线于点，作，交延长线于， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， ， 解得（舍去负值）， ②当时，作，交延长线于点，过点作轴于点， 同理①可证， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得或， 当时，点和点与点重合，此情况舍去， 综上所述，符合条件的值为或12， 即反比例函数解析式为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$