专题03特殊平行四边形6大核心考点【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

专题03 特殊平行四边形 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、菱形的性质 2、菱形的判定 3、矩形的性质 4、矩形的判定 5、正方形的性质 6、正方形的判定 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 菱形的判定 2023·浙江嘉兴·中考真题 正方形的性质 2023·浙江绍兴·中考真题 菱形的性质 2023·浙江绍兴·中考真题 矩形的性质 2023·浙江台州·中考真题 矩形的性质 2022·浙江宁波·中考真题 矩形的性质 2023·浙江宁波·中考真题 菱形的性质 2023·浙江丽水·中考真题 一．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 二．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 三．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 四．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 五．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 六．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 七．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 八．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 九．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 ①定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②有一个角是直角的菱形是正方形； ③有一组邻边相等的矩形是正方形； ④对角线相等的菱形是正方形； ⑤对角线互相垂直的矩形是正方形. 【注】①以菱形和矩形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形等.解题时可根据实际情况灵活选择； ②矩形判定条件＋菱形判定条件=正方形判定条件； ③证明正方形的一般步骤是：先证明四边形是矩形或菱形，再根据以上判定方法证明是正方形. 1.菱形的面积 菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 2.四边形与特殊平行四边形的关系 1. 从属关系 2. 从概念分析联系与区别 3.中点四边形：顺次连接各边中点所得的四边形 原四边形 一般四边形 矩形 菱形 正方形 图示 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 【注】 （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 真题感知 1．（2023·浙江·中考真题）如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度． 【详解】解：连接与交于O．    ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 【答案】A 【分析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵、， ∴ ∵对称， ∴， ∴ ∵对称， ∴， ∴， 同理， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 如图所示，    当三点重合时，， ∴ 即 ∴四边形是菱形， 如图所示，当分别为的中点时， 设，则，， 在中，， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴，， ∴， 根据对称性可得， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形，      当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形    ∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到 4．（2023·浙江台州·中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用矩形的性质、勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明． （2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：菱形， ， 又， ． 在和中， ， ． ． （2）解：菱形， ， ， ． 又， ． 由（1）知， ． ． ， 等边三角形． ． 【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与垂直，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质，得到，结合垂直于同一条直线的两条直线平行，可得，再根据平行线的性质解答即可； （2）连接交于点，由证明，再根据全等三角形对应角相等得到，继而证明四边形为矩形，最后根据矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在正方形中， ∴， ∴． （2）与垂直，理由如下． 连接交于点． ∵为正方形的对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在正方形中，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判断与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 提升专练 1．如图，在中，，是两条对角线，如果添如一个条件，可推出是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形”解答即可． 【详解】解；四边形是平行四边形， 添加， 是矩形， 故选：B． 2．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为（    ） A．36 B．42 C．55 D．25 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及根据正方形的性质求面积，设阴影部分的小正方形边长为a， 阴影部分的大正方形边长为b， 白色正方形的边长为C．根据题意有，又，即可得出答案． 【详解】解：设阴影部分的小正方形边长为a， 阴影部分的大正方形边长为b， 白色正方形的边长为C． 则阴影部分的面积为：, 根据题意有：， 又∵， ∴， 故阴影部分的面积之和为：． 故选：D． 3．下列四个选项中，说法不正确的是（    ） A．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形 D．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 【答案】D 【分析】本根据中点四边形的概念、全等三角形的判定、等腰三角形的三线合一、平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确，不符合题意； B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； C．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，正确，不符合题意； D．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故原说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4．如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的定义和性质．根据菱形的四条边都相等和对角线互相平分得出，，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线等于第三边的一半即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴，， ∵为边中点，为的中点， ∴， 故选：D． 5．如图，在菱形中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形性质，平行线性质，角平分线性质等．根据题意可知，继而得到，再利用角平分线性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，矩形的对角线交于点O．若，，则的长为（　　） A．6 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，根据矩形性质得出，，根据直角三角形的性质得出，根据矩形性质求出． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 故选：B． 7．如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，周角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合正方形的性质以及等边三角形的性质，可以知道，以及和为等腰三角形，利用三角形内角和求得和，最后利用周角求得的度数． 【详解】四边形是正方形 ， 为等边三角形 ， ，， 同理 故选：B． 8．如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 9．如图，在菱形中，，点在上（不与、重合），将沿直线折叠得到，连结和，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形性质，折叠变换的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据折叠和菱形的性质可推出，的度数，再由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得，，最后利用可求得答案． 【详解】由折叠得： 又四边形ABCD是菱形， ， 故选：B． 10．如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴是边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 11．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到是等边三角形，结合，得到，解得即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】根据矩形的性质，得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 解得． 故选C． 12．如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，，设，则，，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可． 【详解】解：在矩形中，，， ， ， 根据折叠可得：，， 设，则，，， 在中：， ， 解得：， 故选：D 13．在菱形中，若对角线，，则菱形的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键； 根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，根据勾股定理即可求出，进而根据菱形的四条边相等即可解答． 【详解】解：如图所示： 四边形是菱形， ，，，， ，， ， 在中 ， 菱形的周长是：． 14．如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．若菱形的周长为72，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查菱形性质，直角三角形斜边中线性质等．根据题意可得菱形边长为，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到本题答案． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O， ∴，即时直角三角形， ∵菱形的周长为72， ∴菱形边长为， ∵E为的中点， ∴， 故答案为：9． 15．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数为 ． 【答案】67.5 【分析】本题考查了正方形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由正方形的性质得出，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质出，最后再由计算即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是一个正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，已知矩形，，，点E是线段上一点，且不与A，D重合，沿折叠使点C落在矩形某边所在直线上，则的长是 ．    【答案】4或 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、正方形的判定、勾股定理等知识，应注意分类讨论，以免丢解．设点、点的对应点分别为点、点，由矩形的性质得，，，由折叠得，，，，再分两种情况讨论，一是点在的延长线上，可证明四边形是正方形，则；二是点在的延长线上，可证明，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点、点的对应点分别为点、点， 四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，，， 当点在的延长线上，如图，则，   四边形是矩形， ， ， 四边形是正方形， ； 当点在的延长线上，如图，   ， ， 由折叠得， ， ， ， ， 综上所述，的长为4或。 故答案为：4或． 18．如图，四边形中，，，在边上，且，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】延长至，使得，证明，进而根据已知条件得出，可得，过点作于点，则是矩形，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴，    ∵ 设，则， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 过点作于点，则是矩形， ∴， ∴， ∵，则 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 19．如图，将的边延长到点，使，连接，交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，，求出，，根据平行四边形的判定得出即可； （2）根据平行四边形的性质得出，求出，根据矩形的判定得出即可． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 由（1）知：四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 20．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，， ， ， ， 在中，， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 21．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．请用无刻度直尺按要求作图，并保留作图痕迹，不要求写作法． (1)在图中，以为对角线作矩形，且都在格点上（作出一个即可）． (2)在图中，不在格点上而在格线上，请在图内找到点并作出． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）根据网格特征即可； （2）根据网格特征即可； 本题考查了网格作图，平行四边形和矩形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，根据网格特征即可， ∴四边形即为所求； （2）如图，根据网格特征即可， ∴四边形即为所求． 22．如图，平行四边形的对角线相交于点，是等边三角形，． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）根据等边三角形的三条边都相等得出，根据平行四边形的对角线互相平分得出，，推得，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； （2）根据等边三角形的三条边都相等得出，根据矩形的对角线互相平分和四个角都是直角得出，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵平行四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， 故四边形的面积为． 23．问题解决：如图1，在矩形中，点，分别在，上，，于点．    （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 类比迁移： （3）如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）为等腰三角形，理由见解析；（3）的长为 【分析】（1）根据矩形性质，得到，证明，得到从而得出结论； （2）先证明，得到，再证明得到，即可得出结论； （3）延长至H，使，连，通过菱形性质证明，得到是等边三角形，过D作于M，通过勾股定理即可得出结果． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）结论：是等腰三角形， 理由：由（1）知： ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）如图，延长至H，使，连，   四边形是菱形， ，， ， 在和中， ，，， ， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ， 过D作于M， 则， 在中， 在中,， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 24．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．      (1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，在（2）的旋转过程中， ①当为最大值时，则___________． ②当为最小值时，则___________． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论； （2）如图2，连接，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论； （3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．②利用三角形的三边关系确定的最小值，此时如图③中，，，共线． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1，延长交于．     是等腰直角三角形，，点是的中点， ，， ． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ； （2）（1）中的结论仍然成立，，．理由如下： 如图②，连接，延长交于，交于．      在中，为斜边中点， ，， ． 四边形为正方形， ，且， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． （3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．     ， ． ． 在中，由勾股定理，得 ， ． 故答案为：； ②如图④中，连接．    如图②中，在中，，， ， 的最小值为1，此时如图④中，，，共线， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 特殊平行四边形 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、菱形的性质 2、菱形的判定 3、矩形的性质 4、矩形的判定 5、正方形的性质 6、正方形的判定 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 菱形的判定 2023·浙江嘉兴·中考真题 正方形的性质 2023·浙江绍兴·中考真题 菱形的性质 2023·浙江绍兴·中考真题 矩形的性质 2023·浙江台州·中考真题 矩形的性质 2022·浙江宁波·中考真题 矩形的性质 2023·浙江宁波·中考真题 菱形的性质 2023·浙江丽水·中考真题 一．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 二．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 三．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 四．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 五．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 六．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 七．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 八．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 九．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 ①定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②有一个角是直角的菱形是正方形； ③有一组邻边相等的矩形是正方形； ④对角线相等的菱形是正方形； ⑤对角线互相垂直的矩形是正方形. 【注】①以菱形和矩形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形等.解题时可根据实际情况灵活选择； ②矩形判定条件＋菱形判定条件=正方形判定条件； ③证明正方形的一般步骤是：先证明四边形是矩形或菱形，再根据以上判定方法证明是正方形. 1.菱形的面积 菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 2.四边形与特殊平行四边形的关系 1. 从属关系 2. 从概念分析联系与区别 3.中点四边形：顺次连接各边中点所得的四边形 原四边形 一般四边形 矩形 菱形 正方形 图示 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 【注】 （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 真题感知 1．（2023·浙江·中考真题）如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 4．（2023·浙江台州·中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 ． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 提升专练 1．如图，在中，，是两条对角线，如果添如一个条件，可推出是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为（    ） A．36 B．42 C．55 D．25 3．下列四个选项中，说法不正确的是（    ） A．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形 D．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 4．如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，矩形的对角线交于点O．若，，则的长为（　　） A．6 B．4 C． D．8 7．如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 9．如图，在菱形中，，点在上（不与、重合），将沿直线折叠得到，连结和，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 11．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 12．如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 故选：D 13．在菱形中，若对角线，，则菱形的周长是 ． 14．如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．若菱形的周长为72，则的长为 ． 15．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 16．如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数为 ． 17．如图，已知矩形，，，点E是线段上一点，且不与A，D重合，沿折叠使点C落在矩形某边所在直线上，则的长是 ．    18．如图，四边形中，，，在边上，且，若，，则的长为 ．    19．如图，将的边延长到点，使，连接，交于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 20．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 21．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．请用无刻度直尺按要求作图，并保留作图痕迹，不要求写作法． (1)在图中，以为对角线作矩形，且都在格点上（作出一个即可）． (2)在图中，不在格点上而在格线上，请在图内找到点并作出． 22．如图，平行四边形的对角线相交于点，是等边三角形，． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)求四边形的面积． 23．问题解决：如图1，在矩形中，点，分别在，上，，于点．    （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 类比迁移： （3）如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 24．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．      (1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，在（2）的旋转过程中， ①当为最大值时，则___________． ②当为最小值时，则___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$