第04讲 直线的斜率与倾斜角（四大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第04讲 直线的斜率与倾斜角 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式． 2、理解并掌握直线的斜率． 3、理解并掌握直线的斜率的求法． 4、理解并掌握斜率公式的简单应用． 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 考点一：直线的倾斜角与斜率定义 【典例1-1】（2024·高二·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·山西太原·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·安徽黄山·期末）直线的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点二：斜率与倾斜角的变化关系 【典例2-1】（2024·高二·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高二·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例3-1】（2024·高二·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【典例3-2】（2024·高二·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【变式3-1】（2024·高二·全国·专题练习）若点在过点，的直线上，则 ． 【变式3-2】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角为，则 【变式3-3】（2024·高二·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【变式3-4】（2024·高二·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 考点四：直线与线段相交关系求斜率范围 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围． 【典例4-2】（2024·高二·吉林延边·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式4-1】（2024·高二·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【变式4-2】（2024·高二·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选题）（2024·高二·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 1．（2024·高二·西藏山南·期末）经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2024·高二·北京·期中）过和两点的直线的斜率是（　　） A．1 B． C． D． 5．（2024·高二·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·江苏宿迁·期末）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·宁夏吴忠·开学考试）若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2024·高三·辽宁葫芦岛·期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 10．（2024·高二·新疆和田·期中）已知点，点，且过、两点直线斜率，则 . 11．（2024·高二·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 12．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 13．（2024·高二·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 14．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，求的值． 15．（2024·高二·全国·课后作业）经过两点的直线的倾斜角为．若点在直线上，求的值． 16．（2024·高二·全国·专题练习）已知 ，，三点在同一条直线上，求的值． 17．（2024·高二·全国·专题练习）若，且三点共线，求的值． 18．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，，点在线段上. (1)求直线的斜率； (2)求的最大值. 19．（2024·高二·上海·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 20．（2024·高二·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 21．（2024·高二·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直线的斜率与倾斜角 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解并掌握直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式． 2、理解并掌握直线的斜率． 3、理解并掌握直线的斜率的求法． 4、理解并掌握斜率公式的简单应用． 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 考点一：直线的倾斜角与斜率定义 【典例1-1】（2024·高二·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为. 故选：C 【典例1-2】（2024·高二·山西太原·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：D. 【变式1-1】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线，可得该直线的倾斜角为. 故选：D. 【变式1-2】（2024·高二·安徽黄山·期末）直线的倾斜角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】化简得，显然斜率为，故倾斜角为. 故选：B 【变式1-3】（2024·高二·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】设直线的倾斜角为，则 因为，所以， 当时，即，则； 当时，即，则， 所以直线的倾斜角为或. 故选：B. 考点二：斜率与倾斜角的变化关系 【典例2-1】（2024·高二·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 【典例2-2】（2024·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 【变式2-1】（2024·高二·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 【变式2-2】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上， 故选：C. 考点三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例3-1】（2024·高二·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【答案】/ 【解析】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 【典例3-2】（2024·高二·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】 【解析】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为： 【变式3-1】（2024·高二·全国·专题练习）若点在过点，的直线上，则 ． 【答案】 【解析】由点在过点和的直线上， 可得，即，解得. 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角为，则 【答案】/ 【解析】倾斜角为，斜率为， 所以， 解得. 故答案为： 【变式3-3】（2024·高二·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【解析】因为三个不同的点、、在同一条直线上， 所以，即，解得或，经检验符合题意. 【变式3-4】（2024·高二·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【解析】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 考点四：直线与线段相交关系求斜率范围 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围． 【解析】设点，由题意作出图形，如图， 因为，, 若要使直线与线段相交，则或， 所以直线的斜率满足或. 【典例4-2】（2024·高二·吉林延边·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 【变式4-1】（2024·高二·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C 【变式4-2】（2024·高二·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 【变式4-3】（多选题）（2024·高二·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【解析】由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点， 则， 又， 则直线的斜率的取值范围是. 故选：ABC. 1．（2024·高二·西藏山南·期末）经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设经过点和的直线的的斜率为，倾斜角为， 由两点斜率公式可得， 所以，又， 所以. 所以经过点和的直线的倾斜角为. 故选：D. 2．（2024·高二·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线的斜率，即， 又， 所以， 故选：D 3．（2024·高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为斜率，且，其中时直线无斜率， 当时，得； 当时，得； 故选：C. 4．（2024·高二·北京·期中）过和两点的直线的斜率是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据斜率公式求得所给直线的斜率. 故选：A 5．（2024·高二·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以，即直线的倾斜角为. 故选：D 6．（2024·高二·江苏宿迁·期末）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，. 故选：D 7．（2024·高二·宁夏吴忠·开学考试）若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线经过、两点，则其斜率为， 设直线倾斜角为，则， 由于直线的倾斜角范围为大于等于小于， 故该直线的倾斜角为， 故选：B 8．（多选题）（2024·高三·辽宁葫芦岛·期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， 当直线与线段相交时，，， 所以，斜率取值范围是或. 故选：AB 9．（2024·高二·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【答案】（满足的一个值即可） 【解析】因为过，的直线的斜率大于，所以， 则，解得． 故答案为：（满足的一个值即可） 10．（2024·高二·新疆和田·期中）已知点，点，且过、两点直线斜率，则 . 【答案】 【解析】已知点，点，由斜率公式可得，解得. 故答案为：. 11．（2024·高二·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【解析】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 12．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 13．（2024·高二·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，故. 故答案为：. 14．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，求的值． 【解析】由题意知直线的斜率存在，即． 所以， 所以， 整理得，即， 解得或（舍去），所以． 15．（2024·高二·全国·课后作业）经过两点的直线的倾斜角为．若点在直线上，求的值． 【解析】，解得，所以． 又三点共线，所以，所以． 即，. 16．（2024·高二·全国·专题练习）已知 ，，三点在同一条直线上，求的值． 【解析】三点共线， ，，解得或． 故所求的a的值为2或． 17．（2024·高二·全国·专题练习）若，且三点共线，求的值． 【解析】由题意，可知直线的斜率存在， 又三点共线，则， 即， 解得． 18．（2024·高二·全国·课后作业）已知点，，点在线段上. (1)求直线的斜率； (2)求的最大值. 【解析】（1）由题意知，直线的斜率. （2）当点在两点之间时， 由点在线段上， 易知，即， 即， 当P与重合时也满足， 因此， 亦即，且， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最大值为. 19．（2024·高二·上海·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【解析】（1）因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 20．（2024·高二·全国·课后作业）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【解析】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 21．（2024·高二·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上， 此时由增大到，又，，所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$