第05讲 五种直线方程（九大考点）-【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第05讲 五种直线方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程． 2、掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 3、根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程 4、掌握直线的一般式方程 5、会进行直线方程的五种形式之间的转化． 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 考点一：点斜式直线方程 【典例1-1】（2024·高二·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·河南·阶段练习）经过点，斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·山东·阶段练习）经过点，斜率为3的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 考点二：斜截式直线方程 【典例2-1】（2024·高二·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【典例2-2】（2024·高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 【变式2-2】（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 【变式2-3】（2024·高二·全国·课后作业）斜率与直线的斜率相等，且过点的直线的点斜式方程是 ；直线的斜截式方程是 . 考点三：两点式直线方程 【典例3-1】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）过点，直线的两点式方程为 ． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 考点四：截距式直线方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）过两点，的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【变式4-2】（2024·高二·全国·专题练习）将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 考点五：中点坐标公式 【典例5-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）若点与的中点为，则直线必定经过点 A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高二·湖北·阶段练习）直线l过点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点（A､B不重合），若点M恰为线段的中点，则直线l的方程为 . 【变式5-1】（2024·高一·内蒙古包头·期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为 ． 【变式5-2】（2024·高二·全国·专题练习）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 ． 【变式5-3】（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为 . 考点六：直线的一般式方程 【典例6-1】（2024·高二·宁夏银川·期末）倾斜角为，在轴上的截距是的直线方程为 .（写成一般式方程） 【典例6-2】（2024·高二·福建宁德·期中）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则的面积取最小值时直线的方程为 ．（答案写成一般式） 【变式6-1】（2024·高二·湖北黄石·期中）若直线过点且在两坐标轴上的截距之差为，则直线的一般式方程为 . 【变式6-2】（2024·高一·上海浦东新·期末）已知点，则直线的一般式方程为 . 考点七：直线方程的综合应用 【典例7-1】（2024·高二·浙江·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 【典例7-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 【变式7-1】（2024·高二·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 . 【变式7-2】（2024·高二·浙江宁波·期中）已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是 ． 考点八：判断动直线所过定点 【典例8-1】（2024·高二·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·高二·河北·期中）直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高二·甘肃白银·期中）若直线恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·高二·全国·专题练习）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 考点九：直线与坐标轴形成三角形问题 【典例9-1】（2024·高二·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值． 【典例9-2】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【变式9-1】（2024·高二·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【变式9-2】（2024·高二·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【变式9-3】（2024·高二·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 1．（2024·高二·全国·课后作业）直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示（    ） A．任何一条直线 B．不过原点的直线 C．不与坐标轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线 2．（2024·高一·陕西延安·期末）若光线沿倾斜角为的直线射向轴上的点，经轴反射，则反射直线的点斜式方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为 ． 5．（2024·高二·全国·课后作业）经过点､的直线的两点式方程为 . 6．（2024·高二·全国·课后作业）（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为 . （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是 . 7．（2024·高二·河北·开学考试）过点且横截距是纵截距2倍的直线方程为 ．（写成一般式方程） 8．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）直线经过点，在轴有不为0且相等的截距，则直线的一般式方程为 9．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 10．（2024·高二·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 11．（2024·高二·贵州·阶段练习）已知直线的方程为. (1)证明：不论为何值，直线过定点. (2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程. 12．（2024·高二·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 13．（2024·高二·江苏宿迁·期中）设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 14．（2024·高二·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 15．（2024·高二·湖北·期中）已知直线l：，． (1)证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标； (2)直线l与坐标轴分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程． 16．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知为直线的方向向量，，A为MN的中点． (1)求出点A的坐标； (2)若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 五种直线方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程． 2、掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 3、根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程 4、掌握直线的一般式方程 5、会进行直线方程的五种形式之间的转化． 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 考点一：点斜式直线方程 【典例1-1】（2024·高二·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 故选： 【典例1-2】（2024·高二·河南·阶段练习）经过点，斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，经过点，斜率为的直线的点斜式方程为. 故选：B 【变式1-1】（2024·高二·山东·阶段练习）经过点，斜率为3的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据直线的点斜式方程：过点且斜率为的直线方程是， 所以经过点，斜率为3的点斜式方程为： 故选：A. 【变式1-2】（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将，斜率为带入直线方程点斜式，得. 故选：B. 考点二：斜截式直线方程 【典例2-1】（2024·高二·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【解析】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 【典例2-2】（2024·高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 【变式2-1】（2024·高二·全国·课后作业）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 【答案】或 【解析】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为， 令，得，令，得， 故所围三角形面积为，即， 当时，上式可化为，解得或； 当时，上式可化为，方程无解； 综上：直线的斜截式方程是或. 故答案为：或. 【变式2-3】（2024·高二·全国·课后作业）斜率与直线的斜率相等，且过点的直线的点斜式方程是 ；直线的斜截式方程是 . 【答案】 【解析】直线的斜率为， 又所求直线过点，故由点斜式得． 斜截式方程是. 故答案为：； 考点三：两点式直线方程 【典例3-1】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）过点，直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】过点，直线的两点式方程为 故答案为： 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确. 故选：D. 考点四：截距式直线方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）过两点，的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于直线过，两点， 所以直线在x轴，y轴上的截距分别为－2，3，由截距式可知，方程为． 故选：D 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三顶点坐标为， 又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：， 则直线的两点式方程为：，故截距式方程为. 故选：A． 【变式4-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【解析】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 【变式4-2】（2024·高二·全国·专题练习）将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 【解析】（1）将原方程移项，可得，可得直线的截距式方程为， 则直线的斜率为，在轴上的截距为. （2）将原方程化简为，可得直线的截距式方程为， 所以直线在轴和轴上的截距分别为. 考点五：中点坐标公式 【典例5-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）若点与的中点为，则直线必定经过点 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由中点坐标公式可得，所以直线化为，令，定点 【典例5-2】（2024·高二·湖北·阶段练习）直线l过点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点（A､B不重合），若点M恰为线段的中点，则直线l的方程为 . 【答案】. 【解析】由题意，设，由中点坐标公式得，则，则直线l的方程为：. 故答案为：. 【变式5-1】（2024·高一·内蒙古包头·期末）直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线与和，分别交于点和， 因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得， 所以和，则， 可得直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高二·全国·专题练习）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，设P（x，1），Q（7，y）， ∵线段PQ的中点坐标为（1，0）， ∴，解得x＝﹣5，y＝﹣1，∴P（﹣5，1）， ∴直线l的斜率， 故直线l的方程为y﹣0（x﹣1），即， 故答案为：． 【变式5-3】（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为 . 【答案】 【解析】因为点，，线段PQ的中点为， 所以，所以， 所以， 所以直线PQ的方程为，即， 故答案为：. 考点六：直线的一般式方程 【典例6-1】（2024·高二·宁夏银川·期末）倾斜角为，在轴上的截距是的直线方程为 .（写成一般式方程） 【答案】 【解析】由题设，所求直线斜率为且过点， 所以，所求直线为，即. 故答案为： 【典例6-2】（2024·高二·福建宁德·期中）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则的面积取最小值时直线的方程为 ．（答案写成一般式） 【答案】 【解析】因为直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，则可设直线的斜率为，且， 所以直线的方程为：即， 令，得到，所以；令，得到，所以. 由，则三角形AOB的面积为 , 当且仅当,即，因为，所以， 所以直线方程为. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·高二·湖北黄石·期中）若直线过点且在两坐标轴上的截距之差为，则直线的一般式方程为 . 【答案】或 【解析】直线过点，即直线在轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为， 则直线在轴上的截距为或， 则或， 所以直线方程为或， 故答案为：或 【变式6-2】（2024·高一·上海浦东新·期末）已知点，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【解析】， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 考点七：直线方程的综合应用 【典例7-1】（2024·高二·浙江·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解析】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点， 又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点， 所以， 则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值是. 故选：A. 【典例7-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】直线即， 由题意，解得，即直线恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 【变式7-1】（2024·高二·黑龙江大庆·期中）已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】直线，即， 所以直线过定点. 直线，即， 所以直线过定点. 所以， 由于，所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 【变式7-2】（2024·高二·浙江宁波·期中）已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是 ． 【答案】4 【解析】直线的方程变形为，由，得， 所以，动直线过定点，同理可知，动直线过定点， 由题意可知，且为与的交点，所以， 由勾股定理可得， 由重要不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 考点八：判断动直线所过定点 【典例8-1】（2024·高二·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点. 故选：C. 【典例8-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 代入直线方程中， 得，即， 令，解得， 所以该直线必过定点. 故选：D 【变式8-1】（2024·高二·河北·期中）直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于直线，由可得， 所以，直线恒过定点. 故选：A. 【变式8-2】（2024·高二·甘肃白银·期中）若直线恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 令，得，且， 所以直线恒过定点． 故选：A. 【变式8-3】（2024·高二·全国·专题练习）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 考点九：直线与坐标轴形成三角形问题 【典例9-1】（2024·高二·江苏·期中）已知直线分别交轴、轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)求的最小值． 【解析】（1）由题意易得直线AB过定点，又 ，且， 则，而是直角三角形， 故M为AB的中点， 故， 故． （2）设，，其中，，则直线AB的方程可写成， 将代入得，， 故， 当且仅当，即，亦即时取等号， 故的最小值为． 【典例9-2】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【解析】（1）直线可化为， 要使直线不经过第三象限，则，解得， 的取值范围为. （2）由题意可得中，取，得， 取，得， ， 当且仅当时，即时，取“=”， 此时的最小值为4，直线的方程为. 【变式9-1】（2024·高二·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【解析】（1）由，令，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程：或 （2）由（1）可知，， 当且仅当，即取等号. 即直线方程：. 【变式9-2】（2024·高二·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【解析】（1）直线方程为， 可化为， 令，解得，所以直线恒过定点. 设定点为，当变化时，与该直线垂直时，点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，为 （2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且， 可设直线方程为可得与轴､轴的负半轴交于，两点，∴，，解得. ∴， 当且仅当时取等号，面积的最小值为4， 此时直线的方程为：，即：. 【变式9-3】（2024·高二·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【解析】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 1．（2024·高二·全国·课后作业）直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示（    ） A．任何一条直线 B．不过原点的直线 C．不与坐标轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线 【答案】D 【解析】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线． 故选：D. 2．（2024·高一·陕西延安·期末）若光线沿倾斜角为的直线射向轴上的点，经轴反射，则反射直线的点斜式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】光线沿倾斜角为的直线射向轴上经轴反射，则反射直线的倾斜角为, 反射光线斜率为,且反射光线过点, 这反射光线所在直线方程为点斜式方程是. 故选:B. 3．（2024·高二·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线 即， 根据的任意性可得，解得， 不论取什么实数时，直线都经过一个定点． 故选：B 4．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为 ． 【答案】 【解析】易得直线过，故l的斜率为. 故答案为： 5．（2024·高二·全国·课后作业）经过点､的直线的两点式方程为 . 【答案】 【解析】因为直线经过点､， 由直线的两点式方程可得，可得，即， 所以直线的两点式方程为. 故答案为：. 6．（2024·高二·全国·课后作业）（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为 . （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是 . 【答案】 或 或 【解析】（1）设直线方程为，因为直线过点， 所以，整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． （2）由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为－2， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5， 则所求直线方程为或 故答案为：（1）或；（2）或. 7．（2024·高二·河北·开学考试）过点且横截距是纵截距2倍的直线方程为 ．（写成一般式方程） 【答案】或 【解析】当直线过原点时，直线的斜率为，此时直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设所求直线的方程为（），即， 将点的坐标代入直线方程可得，解得， 此时直线的方程为， 因此，所求直线方程为或． 故答案为：或. 8．（2024·高二·河南南阳·阶段练习）直线经过点，在轴有不为0且相等的截距，则直线的一般式方程为 【答案】 【解析】直线经过点，在轴有不为0且相等的截距，设直线的方程为， 于是，解得，即有， 所以直线的一般式方程为. 故答案为： 9．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【解析】直线：的倾斜角为，则， 故，故直线的斜率为，截距为， 故直线方程为，即. 故答案为： 10．（2024·高二·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】直线与与x轴、y轴分别交于， 可设直线的截距式，直线过点，，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 11．（2024·高二·贵州·阶段练习）已知直线的方程为. (1)证明：不论为何值，直线过定点. (2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程. 【解析】（1）证明：直线的方程， 可整理为. 由，解得， 所以直线过定点. （2）由（1）知，直线过定点， 设过点且与直线垂直的直线方程为， 令，则. 令，则. 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 12．（2024·高二·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【解析】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； （3）不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为， 此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点. 13．（2024·高二·江苏宿迁·期中）设为实数，直线． (1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程． 【解析】（1）因为直线， 所以，对恒成立， 从而由，解得，从而直线过定点. （2）由题意设， 因为直线过定点，所以， 与两坐标轴的正半轴的截距之和为， ，当且仅当， 即时等号成立， 从而的方程为，即. 14．（2024·高二·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 【解析】（1）当直线过原点时，设，因为点在上，所以，即， 此时直线的方程为； 当直线不过原点时，设直线的方程为，点在上，，即， 此时直线的方程为， 综上所述：直线的方程为或； （2）设，，，，则的方程为， 点在上，故， ，当且仅当，即时等号成立， 故当时，取得最小值且最小值为． 15．（2024·高二·湖北·期中）已知直线l：，． (1)证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标； (2)直线l与坐标轴分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程． 【解析】（1）方程变形为：， 由解得，显然对任意实数，当时，方程恒成立， 所以直线l恒过定点． （2）由（1）知直线l过点， 当截距为0时，即直线l过原点，直线l方程为：； 当截距不为0时，设直线l方程为：，则有，解得， 此时直线l的方程为：， 所以直线l的方程为：或． 16．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知为直线的方向向量，，A为MN的中点． (1)求出点A的坐标； (2)若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程； 【解析】（1）因为直线的斜率， 由题意可得：，解得， 则，所以MN的中点A的坐标为，即. （2）因为直线过点，设直线在x轴上的截距为，则在y轴上的截距是的， 则当直线过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为，即； 当直线的横纵截距均不为零时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 此时直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$